電験三種 学習ノート

はじめに

スイッチを入れたら、電流はすぐ一定になるのだろうか

フラッシュは、コンデンサに電気がたまるまで待つ

コンデンサとコイルは急な変化をきらい、少しずつ変わる

今回の主役は過渡現象と、変化の速さを表す時定数

過渡現象からRC回路・RL回路・時定数へ順に学ぶ

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「スイッチを入れたら、電流はすぐに一定の値になるんじゃないの……？」

前回の記事では、三相交流の Y結線・Δ結線と、三相電力の計算を学びました。ここまでの計算は、どれもスイッチを入れてから十分に時間がたった後の、落ち着いた状態を考えてきました。

ところが、身の回りには、スイッチを入れてからじわじわ変わっていく現象があります。例えば、カメラのフラッシュは、ボタンを押してから光れるようになるまで少し待たされます。中のコンデンサに電気がたまるのを待っているのです。大きなモーターでも、スイッチを入れた瞬間には、ふだんと違う電流が流れます。

実は、コンデンサとコイルには「急な変化をきらう」性質があります。そのため、スイッチを切り替えると、電流や電圧は一瞬では新しい値にならず、少しずつ近づいていきます。

そこで登場するのが、今回の主役「過渡現象」と「時定数」です。変化のしかたにははっきりした決まりがあり、その速さは時定数という1つの数で表せます。

今回の記事では、過渡現象と定常状態の考え方、RC回路とRL回路の電流・電圧の変化、そして時定数の意味と求め方について解説します。

過渡現象と定常状態：変化の途中と落ち着いた後

落ち着くまでの途中が過渡現象、落ち着いた後が定常状態

加速の途中が過渡現象、一定の速さが定常状態

コンデンサの電圧、コイルの電流は急に変わらない

直後のコンデンサは導線、コイルは切れた線。定常で逆

コンデンサはばね、コイルははずみ車にたとえられる

例題：12Vに2Ω、その先に4Ωとコンデンサの並列

直後はCを導線とみて6A、定常状態は切れた線で2A

電流は6Aから2Aへ、少しずつ減っていく

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はじめに、過渡現象と定常状態について紹介します。

スイッチを入れて十分に時間がたち、電流や電圧が一定の値（交流なら一定のリズムの繰り返し）に落ち着いた状態を 定常状態 と呼びます。一方、スイッチを入れたり切ったりしてから定常状態に落ち着くまでの、変化の途中の現象を 過渡現象 と呼びます。

自動車にたとえてみましょう。信号が青になってアクセルを踏んでも、車はいきなり時速 60km にはなりません。少しずつ速くなり、やがて一定の速さで走るようになります。加速している途中が過渡現象、一定の速さで走っている状態が定常状態にあたります。

過渡現象が起きるのは、コンデンサとコイルがエネルギーをためる部品だからです。エネルギーは一瞬では出し入れできないので、次の2つの決まりが成り立ちます。

【変化をきらう2つの性質】

• コンデンサ： 両端の電圧は、急に変わらない
• コイル： 流れる電流は、急に変わらない

この性質から、スイッチを入れた直後と定常状態で、部品をどう見ればよいかが決まります。

【直流回路での部品の見方】

• 電荷 0 のコンデンサ： 直後は電圧 0 なので導線（短絡）、定常状態では電流が流れないので切れた線（開放）
• 電流 0 のコイル： 直後は電流 0 なので切れた線（開放）、定常状態では電圧 0 なので導線（短絡）

コンデンサはばねに、コイルははずみ車にたとえると分かりやすいです。ばねは縮み具合（電圧）が急に変わらず、はずみ車は回る速さ（電流）が急に変わりません。

例題：スイッチを閉じた直後と定常状態

起電力 12V の直流電源に、抵抗 $R_1$ = 2Ω を直列につなぎ、その先に抵抗 $R_2$ = 4Ω とコンデンサを並列にしたものをつなぎます。コンデンサの電荷は最初 0 です。スイッチを閉じた直後と、十分に時間がたった後に、電源から流れる電流を求めなさい。

【解き方】

1. 直後： コンデンサは導線とみなせるので、$R_2$ は短絡される。電流は $12 \div 2 = 6$ A
2. 定常状態： コンデンサは切れた線とみなせるので、$R_1$ と $R_2$ の直列。電流は $12 \div (2 + 4) = 2$ A

答えは、直後が 6A、十分に時間がたった後が 2A です。電流は 6A から 2A へ、少しずつ減っていきます。

試験のポイント：「直後」と「十分に時間がたった後」の電流を問う問題は頻出です。コンデンサとコイルの見方が逆になることを、しっかり押さえましょう。

このように、過渡現象は定常状態に落ち着くまでの変化の途中で、直後と定常状態はコンデンサとコイルを導線か切れた線に置きかえて求めます。

以上が、過渡現象と定常状態についてです。

RC回路：コンデンサの充電と放電

抵抗とコンデンサを直列にしたRC回路に電圧Eを加える

直後の電流はE/R。電荷がたまると減り、最後は0

電流はE/Rから0へ、コンデンサの電圧は0からEへ

指数関数的とは、はじめは速く、だんだんゆっくり

タンクの水位が電圧、管を流れる水の量が電流

10V・1kΩ・100μFならRC=0.1s。0.1秒後は6.32V

放電では、コンデンサの電圧はEから0へ減る

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次に、RC回路について紹介します。

抵抗 $R$ とコンデンサ $C$ を直列につないだ回路を RC回路 と呼びます。電荷 0 のコンデンサに、抵抗を通して直流電圧 $E$ を加えたときの変化を見ていきましょう。

スイッチを入れた直後は、コンデンサの電圧は 0 なので、抵抗に電源の電圧がすべてかかり、電流 $E/R$ が流れます。電荷がたまるにつれてコンデンサの電圧が上がり、抵抗にかかる電圧が減るので、電流は減っていきます。最後はコンデンサの電圧が $E$ になり、電流は 0 になります。この変化は、次の式で表されます。

$$i = \frac{E}{R}\,e^{-\frac{t}{RC}},\qquad v_C = E\left(1 - e^{-\frac{t}{RC}}\right)$$

記号の意味は、$i$ が電流［A］、$v_C$ がコンデンサの電圧［V］、$t$ がスイッチを入れてからの時間［s］、$R$ が抵抗［Ω］、$C$ が静電容量［F］です。$e$ は自然対数の底で、約 2.718 です。

言葉で言うと、電流は「最初の値から、0 に向かって指数関数的に減る」、コンデンサの電圧は「0 から、$E$ に向かって指数関数的に増える」です。指数関数的とは、はじめは速く、だんだんゆっくり変わっていく、という意味です。

水がいっぱいの大きな水槽と空のタンクを、細い管でつないだ場面にたとえてみましょう。空のタンクには、はじめ勢いよく水が流れ込みます。水位が上がるにつれて高さの差が小さくなり、流れはだんだん弱くなります。タンクの水位がコンデンサの電圧、管を流れる水の量が電流にあたります。

具体的に計算してみましょう。$E$ = 10V、$R$ = 1kΩ、$C$ = 100μF とします。直後の電流は $10 \div 1000 = 0.01$ A = 10mA です。$RC = 1000 \times 100 \times 10^{-6} = 0.1$ s なので、0.1 秒後のコンデンサの電圧は $10 \times (1 - e^{-1}) \fallingdotseq 10 \times 0.632 = 6.32$ V です。

充電したコンデンサを、抵抗だけにつないで放電させることもできます。このときコンデンサの電圧は、$E$ から 0 に向かって減っていきます。

$$v_C = E\,e^{-\frac{t}{RC}}$$

補足（ここは読み飛ばしてOK）： 充電のときの式は、キルヒホッフの電圧則 $E = Ri + v_C$ と、コンデンサの電流の式 $i = C\,\dfrac{dv_C}{dt}$ を組み合わせた微分方程式を解いて得られます。電験三種では、式の形と使い方を覚えておけば十分です。

このように、RC回路ではコンデンサの電圧が 0 から $E$ へ、電流が $E/R$ から 0 へ、指数関数的に変わっていきます。

以上が、RC回路についてです。

RL回路：コイルの電流の立ち上がり

抵抗とコイルを直列にしたRL回路。コイルが変化を妨げる

電流は0からE/Rへ増え、コイルの電圧はEから0へ

RC回路とRL回路では、電流と電圧の役割が入れ替わる

はずみ車の回る速さが電流、摩擦が抵抗にあたる

20V・10Ω・0.5HならL/R=0.05s。0.05秒後は1.26A

直後は20Vがすべてコイルに。やがて抵抗の電圧が増える

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続いて、RL回路について紹介します。

抵抗 $R$ とコイル $L$ を直列につないだ回路を RL回路 と呼びます。インダクタンスの記事で学んだように、コイルは電流の変化を妨げる向きに起電力を生じます。そのため、スイッチを入れても電流はすぐには流れず、少しずつ増えていきます。

$$i = \frac{E}{R}\left(1 - e^{-\frac{R}{L}t}\right),\qquad v_L = E\,e^{-\frac{R}{L}t}$$

記号の意味は、$i$ が電流［A］、$v_L$ がコイルの両端の電圧［V］、$L$ がインダクタンス［H］です。

言葉で言うと、電流は「0 から、定常状態の値 $E/R$ に向かって増える」、コイルの電圧は「$E$ から 0 に向かって減る」です。RC回路と比べると、電流と電圧の役割が入れ替わっています。

はずみ車にたとえてみましょう。重いはずみ車は、押してもすぐには回り出しません。押し続けると少しずつ速くなり、やがて摩擦とつり合った一定の速さで回ります。はずみ車の回る速さが電流、摩擦が抵抗にあたります。

具体的に計算してみましょう。$E$ = 20V、$R$ = 10Ω、$L$ = 0.5H とします。定常状態の電流は $20 \div 10 = 2$ A です。$L/R = 0.5 \div 10 = 0.05$ s なので、0.05 秒後の電流は $2 \times (1 - e^{-1}) \fallingdotseq 2 \times 0.632 \fallingdotseq 1.26$ A です。

スイッチを入れた直後は電流が 0 なので、抵抗の電圧も 0 で、電源の電圧 20V はすべてコイルにかかります。電流が増えるにつれて抵抗の電圧が増え、コイルの電圧は減っていきます。

このように、RL回路ではコイルが電流の急な変化を妨げるので、電流は 0 から $E/R$ へ指数関数的に増えていきます。

以上が、RL回路についてです。

時定数：変化の速さを表すものさし

時定数はRC回路でRC、RL回路でL/R。単位は秒

τがたつと、増える量は63.2%、減る量は36.8%

τで63.2%、3τで95.0%、5τで99.3%

時定数が大きいほどゆっくり、小さいほど速く変わる

直後の接線は、ちょうどτで最終値に届く

2kΩ×50μFでτ=0.1s。0.1秒後は63.2V

RL回路で時定数を大きくするには、Rを小さくする

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最後に、時定数について紹介します。

RC回路の式には $RC$、RL回路の式には $L/R$ が出てきました。これらはどちらも時間の単位［s］を持ち、変化の速さを表します。これを 時定数 と呼び、記号 $\tau$（タウ）で表します。

$$\tau = RC \quad (\text{RC回路}),\qquad \tau = \frac{L}{R} \quad (\text{RL回路})$$

記号の意味は、$\tau$ が時定数［s］です。単位を確かめると、Ω × F も H ÷ Ω も秒になります。

時定数がたったとき、指数の部分は $e^{-1} \fallingdotseq 0.368$ になります。つまり、増えていく量は最終値の約 63.2%、減っていく量は最初の値の約 36.8% になります。

【時間と変化の進み具合】

• $t = \tau$： 最終値の約 63.2% まで進む
• $t = 3\tau$： 約 95.0% まで進む
• $t = 5\tau$： 約 99.3% まで進み、ほぼ定常状態とみなせる

時定数は、お湯が冷めていく速さにたとえられます。大きな鍋のお湯はなかなか冷めず、小さなカップのお湯はすぐ冷めます。時定数が大きいほど変化はゆっくりで、小さいほど速く定常状態に落ち着きます。

補足（ここは読み飛ばしてOK）： 変化の曲線に、スイッチを入れた瞬間の点で接線を引くと、接線は時刻 $\tau$ で最終値に届きます。最初の勢いのまま変化し続けたら、ちょうど時定数で終わる、という意味です。

例題：RC回路の時定数とコンデンサの電圧

抵抗 2kΩ と静電容量 50μF のコンデンサを直列につなぎ、100V の直流電圧を加えました。コンデンサの電荷は最初 0 です。時定数と、スイッチを入れてから 0.1 秒後のコンデンサの電圧を求めなさい。

【解き方】

1. 単位をそろえる： $2\ \text{k}\Omega = 2000\ \Omega$、$50\ \mu\text{F} = 50 \times 10^{-6}$ F
2. 時定数を求める： $\tau = 2000 \times 50 \times 10^{-6} = 0.1$ s
3. 0.1 秒は時定数と同じなので、電圧は最終値の約 63.2%： $100 \times 0.632 \fallingdotseq 63.2$ V

答えは、時定数 0.1 秒、コンデンサの電圧は約 63.2V です。0.3 秒後（$3\tau$）なら、約 95.0V まで充電されます。

試験のポイント：時定数を大きくするには、RC回路では $R$ か $C$ を大きく、RL回路では $L$ を大きくするか $R$ を小さくします。RL回路では $R$ が分母にあることに注意しましょう。

このように、時定数は RC回路で $RC$、RL回路で $L/R$ で求まり、その時間がたつと変化が約 63.2% まで進むという、変化の速さのものさしです。

以上が、時定数についてです。

今回のまとめ

過渡現象は、定常状態に落ち着くまでの変化の途中

直後はCを導線、Lを切れた線とみる。定常状態では逆

RC回路は電圧、RL回路は電流が指数関数的に増える

τ=RC、τ=L/R。τで63.2%、5τでほぼ定常状態

キーワードは過渡現象・定常状態・RC回路・RL回路・時定数

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それでは、今回の内容を振り返ります。

今回は、過渡現象について紹介しました。コンデンサは電圧の、コイルは電流の急な変化をきらうので、スイッチを切り替えると、回路は指数関数の形で少しずつ定常状態に近づきます。その速さを表すのが時定数です。

今回のポイントを振り返りましょう。

振り返り

• 過渡現象は、スイッチを切り替えてから定常状態に落ち着くまでの変化。
• 直流回路の直後は、電荷 0 のコンデンサを導線、電流 0 のコイルを切れた線とみなす。定常状態ではその逆。
• RC回路の充電では $v_C = E(1 - e^{-t/RC})$、RL回路では $i = \dfrac{E}{R}(1 - e^{-Rt/L})$。
• 時定数は $\tau = RC$、$\tau = L/R$。$\tau$ で約 63.2%、$5\tau$ でほぼ定常状態。

キーワードのおさらい

• 過渡現象: スイッチの切り替えから定常状態に落ち着くまでの、変化の途中の現象
• 定常状態: 十分に時間がたち、電流や電圧が一定（交流なら一定の繰り返し）に落ち着いた状態
• RC回路: 抵抗とコンデンサの回路。コンデンサの電圧が指数関数的に変わる
• RL回路: 抵抗とコイルの回路。コイルの電流が指数関数的に変わる
• 時定数: 変化の速さを表す時間 $\tau$。RC回路で $RC$、RL回路で $L/R$

以上が、今回のまとめです。

さて、これまでの交流は、きれいな正弦波の形をしていました。ところが、実際の電気の波形は、パソコンやインバータなどの影響で、ゆがんでいることがよくあります。正弦波でない交流は、どう扱えばよいのでしょうか？

次回は、ゆがんだ波形を基本波と高調波に分けて考える「ひずみ波交流」について紹介します。

それでは、次の記事へ進んでいきましょう。