電験三種 学習ノート

はじめに

交流はきれいな正弦波と習ったが、実際の波形もそうなのか

コンセントの電圧は、波の山が少しつぶれていることが多い

パソコンなどは、正弦波の電圧でもとがった電流を流す

ゆがんだ波も、周波数の違う正弦波の足し算で表せる

ひずみ波から実効値・高調波の回路・ひずみ率へ学ぶ

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「交流はきれいな正弦波だと習ったけれど、実際の波形もそうなの……？」

前回の記事では、スイッチを入れた直後の電流・電圧の変化と、時定数を学びました。過渡現象が落ち着いた後の交流は、これまで、きれいな正弦波の形をしていると考えてきました。

ところが、実際のコンセントの電圧を測ってみると、波の山が少しつぶれた形をしていることがよくあります。パソコンやテレビ、インバータで動くエアコンなどは、正弦波の電圧をかけても、とがった形の電流を流すからです。こうした電流が電線を流れると、電圧の波形までゆがんでしまいます。

実は、どんなにゆがんだ波形でも、周波数の違ういくつかの正弦波を足し合わせたものとして表せます。楽器の音が、いちばん低い音と、その2倍・3倍の高さの音の重なりでできているのと同じです。

そこで登場するのが、今回の主役「ひずみ波」と「高調波」です。ゆがんだ波を正弦波に分けてしまえば、これまで学んだ交流の計算がそのまま使えます。

今回の記事では、ひずみ波を基本波と高調波に分ける考え方、ひずみ波の実効値、高調波を含む回路の計算、そして波形のゆがみ具合を表すひずみ率について解説します。

ひずみ波と高調波：ゆがんだ波は正弦波の足し算

方形波・三角波・山のとがった波は、どれもひずみ波

ひずみ波は直流分・基本波・高調波の足し算で表せる

第3高調波は、基本波の3倍の周波数を持つ

同じドでも、高調波の混ざり方で音色が違う

50Hzなら、第3高調波は150Hz、第5高調波は250Hz

基本波に1/3の第3、1/5の第5…と足すと方形波に近づく

正負が裏返しの同じ形なら、奇数次の高調波だけを含む

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はじめに、ひずみ波と高調波について紹介します。

正弦波でない形をした、周期的に繰り返す交流を ひずみ波 と呼びます。方形波（四角い波）や三角波、山のとがった波などが、その例です。

ひずみ波は、次のような成分の足し算で表せます。

$$v = V_0 + \sqrt{2}V_1\sin(\omega t + \theta_1) + \sqrt{2}V_2\sin(2\omega t + \theta_2) + \sqrt{2}V_3\sin(3\omega t + \theta_3) + \cdots$$

記号の意味は、$V_0$ が直流分［V］、$V_1, V_2, V_3, \ldots$ が各成分の実効値［V］、$\omega$ がひずみ波の繰り返しの角周波数［rad/s］、$\theta_1, \theta_2, \ldots$ が各成分の位相です。このように分けて表したものを、フーリエ級数と呼びます。

それぞれの成分には名前があります。ひずみ波と同じ周期（同じ周波数）を持つ正弦波の成分を 基本波 と呼びます。基本波の2倍、3倍、……と、整数倍の周波数を持つ成分を 高調波 と呼び、2倍のものを第2高調波、3倍のものを第3高調波のように呼びます。

楽器の音にたとえてみましょう。同じ「ド」の音でも、ピアノとバイオリンでは音色が違います。どちらも、いちばん低い「ド」の音（基本波）に、2倍・3倍の高さの音（高調波）が混ざっていて、その混ざり方が違うのです。電気の波形も、高調波の混ざり方で形が決まります。

具体的に見てみましょう。周波数 50Hz の電源で、波形がゆがんでいるとします。基本波は 50Hz、第3高調波は 3 × 50 = 150Hz、第5高調波は 5 × 50 = 250Hz です。

例えば、方形波は、基本波に、第3高調波を $\dfrac{1}{3}$ の大きさ、第5高調波を $\dfrac{1}{5}$ の大きさ、……と足していくと作れます。足す高調波を増やすほど、波の形は四角に近づきます。

ここで1つ注意があります。方形波のように、正の半分と負の半分が上下を裏返しただけの同じ形をしている波形には、奇数次の高調波（第3・第5・第7……）だけが含まれます。電力系統の波形もこの形に近いので、問題に出てくる高調波は、第3や第5などの奇数次が中心です。

補足（ここは読み飛ばしてOK）： 高調波は、インバータや整流器など、電流を細かく切ったりつないだりする機器から多く発生します。高調波の対策については、電力や法規の記事で触れます。

このように、ひずみ波は直流分・基本波・高調波という周波数の違う成分の足し算で表せ、高調波は基本波の整数倍の周波数を持ちます。

以上が、ひずみ波と高調波についてです。

ひずみ波の実効値：2乗して足してルート

実効値は、同じ抵抗で同じ熱を出す直流の値

各成分の実効値を2乗して足し、平方根を取る

周波数の違う正弦波の積は、1周期で平均すると0

2台のストーブの熱は、そのまま足し算になる

30Vと40Vのひずみ波の実効値は50V。70Vではない

直流分20V・基本波60V・第3高調波30Vなら70V

最大値は√2で割って実効値に。直流分はそのまま

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次に、ひずみ波の実効値について紹介します。

交流の基礎の記事で学んだように、実効値は「同じ抵抗で同じ熱を出す直流の値」でした。ひずみ波でも、この考え方は変わりません。

ひずみ波の実効値は、直流分と各成分の実効値を、それぞれ2乗して足し、その平方根を取って求めます。

$$V = \sqrt{V_0^2 + V_1^2 + V_2^2 + V_3^2 + \cdots}$$

記号の意味は、$V$ がひずみ波の実効値［V］、$V_0$ が直流分［V］、$V_1, V_2, \ldots$ が基本波・高調波の実効値［V］です。言葉で言うと、「各成分の実効値の2乗和の平方根」です。

なぜ、ただの足し算ではないのでしょうか？ 実効値は、抵抗で出る熱、つまり電力で決まります。周波数の違う2つの正弦波を掛け合わせると、1周期で平均したときに 0 になります。そのため、各成分が出す熱はお互いに干渉せず、熱の量（実効値の2乗に比例）がそのまま足し算になるのです。

ストーブを2台並べる場面にたとえてみましょう。2台のストーブが出す熱は、そのまま足し算になります。熱は電圧の2乗に比例するので、電圧の側では「2乗して足して、平方根を取る」ことになります。

具体的に計算してみましょう。基本波の実効値が 30V、第3高調波の実効値が 40V のひずみ波なら、実効値は $\sqrt{30^2 + 40^2} = 50$ V です。30 + 40 = 70V ではありません。

例題：直流分を含むひずみ波の実効値

電圧が $v = 20 + 60\sqrt{2}\sin\omega t + 30\sqrt{2}\sin 3\omega t$［V］で表されるひずみ波の実効値を求めなさい。

【解き方】

1. 各成分の実効値を読み取る： 直流分 20V、基本波 $60\sqrt{2} \div \sqrt{2} = 60$ V、第3高調波 $30\sqrt{2} \div \sqrt{2} = 30$ V
2. 2乗して足す： $20^2 + 60^2 + 30^2 = 400 + 3600 + 900 = 4900$
3. 平方根を取る： $\sqrt{4900} = 70$ V

答えは 70V です。

試験のポイント：式に書かれているのは最大値（$\sqrt{2}$ が付いた値）であることが多いので、まず $\sqrt{2}$ で割って実効値に直します。直流分は、そのままの値を使います。

このように、ひずみ波の実効値は、直流分と各成分の実効値を2乗して足し、平方根を取って求めます。

以上が、ひずみ波の実効値についてです。

高調波を含む回路：周波数ごとに分けて計算する

直流分・基本波・高調波を1つずつ加えたと考える

第n高調波では、コイルはn倍、コンデンサは1/n倍

高調波を、コイルは通しにくくコンデンサは通しやすい

電力を生むのは、同じ周波数の電圧と電流の組だけ

抵抗だけが電力を消費するなら、P = I²Rでも求まる

基本波は5Ωで20A、第3高調波は9.85Ωで3.05A

電流の実効値は約20.2A、消費電力は約1640W

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続いて、高調波を含む回路の計算について紹介します。

ひずみ波の電圧を回路に加えたときは、回路の定理の記事で学んだ重ねの理を使います。つまり、直流分・基本波・高調波を1つずつ別々に加えたと考えて、成分ごとに電流を求め、最後にまとめます。1つずつ見ていきましょう。

1. 周波数ごとのリアクタンス

ここがポイントです。コイルとコンデンサのリアクタンスは、周波数で変わります。第 $n$ 高調波に対するリアクタンスは、次のようになります。

$$X_{Ln} = n\omega L,\qquad X_{Cn} = \frac{1}{n\omega C}$$

言葉で言うと、第 $n$ 高調波では、誘導性リアクタンスは基本波の $n$ 倍に、容量性リアクタンスは基本波の $\dfrac{1}{n}$ 倍になります。例えば、基本波で 4Ω のコイルは第3高調波で 12Ω、基本波で 12Ω のコンデンサは第3高調波で 4Ω です。

高い音ほど通しやすい道と、通しにくい道がある、というイメージです。コイルは周波数の高い高調波を通しにくく、コンデンサは逆に通しやすくなります。

2. 電流と電力

成分ごとに求めた電流は、実効値と同じように2乗和の平方根でまとめます。

電力は、同じ周波数の電圧と電流の組だけが生みます。周波数の違う電圧と電流の積は、平均すると 0 になるからです。

$$P = V_0I_0 + V_1I_1\cos\theta_1 + V_3I_3\cos\theta_3 + \cdots$$

記号の意味は、$I_0, I_1, I_3$ が各成分の電流の実効値［A］、$\theta_1, \theta_3$ が各成分の電圧と電流の位相差です。抵抗 $R$ だけが電力を消費する回路なら、電流の実効値 $I$ を使って $P = I^2R$ でも求まります。

例題：RL直列回路に加えたひずみ波

抵抗 4Ω と、基本波に対するリアクタンスが 3Ω のコイルを直列につなぎ、$v = 100\sqrt{2}\sin\omega t + 30\sqrt{2}\sin 3\omega t$［V］の電圧を加えました。電流の実効値と消費電力を求めなさい。

【解き方】

1. 基本波： $Z_1 = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ Ω、$I_1 = 100 \div 5 = 20$ A
2. 第3高調波： リアクタンスは $3 \times 3 = 9$ Ω。$Z_3 = \sqrt{4^2 + 9^2} \fallingdotseq 9.85$ Ω、$I_3 = 30 \div 9.85 \fallingdotseq 3.05$ A
3. 電流の実効値： $I = \sqrt{20^2 + 3.05^2} \fallingdotseq 20.2$ A
4. 消費電力： 抵抗だけが消費するので $P = I^2R = 4 \times (20^2 + 3.05^2) \fallingdotseq 1640$ W

答えは、電流の実効値が約 20.2A、消費電力が約 1640W です。基本波が 1600W、第3高調波が約 37W を受け持っています。

このように、高調波を含む回路は周波数ごとに分けて計算し、リアクタンスはコイルで $n$ 倍、コンデンサで $\dfrac{1}{n}$ 倍になることに注意します。

以上が、高調波を含む回路についてです。

ひずみ率：波形のゆがみ具合を数で表す

ひずみ率は、高調波の実効値と基本波の実効値の比

正弦波ならひずみ率は0%。高調波が多いほど大きい

メインの歌声に雑音がどれだけ混ざっているかの割合

200Vに12Vと16Vの高調波なら、ひずみ率は10%

12+16=28として14%とするのは誤り

ひずみ率の計算では、直流分は分子にも分母にも入れない

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最後に、ひずみ率について紹介します。

波形がどれだけゆがんでいるかを、1つの数で表したいことがあります。そこで使うのが ひずみ率 です。高調波全体の実効値が、基本波の実効値の何倍あるかを表します。

$$\text{ひずみ率} = \frac{\sqrt{V_2^2 + V_3^2 + V_4^2 + \cdots}}{V_1}$$

記号の意味は、$V_1$ が基本波の実効値［V］、$V_2, V_3, \ldots$ が高調波の実効値［V］です。分子は、高調波だけをまとめた実効値です。ふつうは百分率［%］で表します。

言葉で言うと、「高調波の実効値の合計（2乗和の平方根）÷ 基本波の実効値」です。きれいな正弦波なら高調波がないので、ひずみ率は 0% です。高調波が多いほど、ひずみ率は大きくなります。

合唱にたとえると、ひずみ率は「メインの歌声に対して、雑音がどれだけ混ざっているか」の割合です。メインの声がしっかりしていて雑音が小さければ、ひずみ率は小さくなります。

具体的に計算してみましょう。基本波の実効値が 200V、第3高調波が 12V、第5高調波が 16V の電圧があるとします。

$$\text{ひずみ率} = \frac{\sqrt{12^2 + 16^2}}{200} = \frac{20}{200} = 0.1$$

したがって、ひずみ率は 10% です。

ここで1つ注意があります。分母は、ひずみ波全体の実効値ではなく、基本波の実効値です。また、分子は高調波の実効値をそのまま足すのではなく、2乗して足して平方根を取ります。12 + 16 = 28 として 14% とするのは誤りです。

試験のポイント：ひずみ率は「高調波の2乗和の平方根 ÷ 基本波」です。直流分は分子にも分母にも入れません。

このように、ひずみ率は高調波の実効値をまとめたものと基本波の実効値の比で、波形のゆがみ具合を表します。

以上が、ひずみ率についてです。

今回のまとめ

ひずみ波は直流分・基本波・高調波の足し算

実効値は、各成分の実効値の2乗和の平方根

コイルはn倍、コンデンサは1/n倍。電力は同じ周波数の組

ひずみ率は、高調波の2乗和の平方根÷基本波

キーワードはひずみ波・基本波・高調波・ひずみ率など

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それでは、今回の内容を振り返ります。

今回は、ひずみ波交流について紹介しました。ゆがんだ波形も、周波数の違う正弦波に分けてしまえば、これまで学んだ交流の計算が使えます。実効値やひずみ率は「2乗して足して平方根」でまとめるのが共通のルールです。

今回のポイントを振り返りましょう。

振り返り

• ひずみ波は、直流分・基本波・高調波の足し算で表せる。高調波は基本波の整数倍の周波数。
• ひずみ波の実効値は $\sqrt{V_0^2 + V_1^2 + V_2^2 + \cdots}$ で、各成分の2乗和の平方根。
• 第 $n$ 高調波では、誘導性リアクタンスは $n$ 倍、容量性リアクタンスは $\dfrac{1}{n}$ 倍。電力は同じ周波数の組だけが生む。
• ひずみ率は、高調波の実効値の2乗和の平方根を、基本波の実効値で割った値。

キーワードのおさらい

• ひずみ波: 正弦波でない形をした、周期的に繰り返す交流
• 基本波: ひずみ波と同じ周期（同じ周波数）を持つ正弦波の成分
• 高調波: 基本波の整数倍の周波数を持つ正弦波の成分。第3高調波、第5高調波など
• ひずみ波の実効値: 直流分と各成分の実効値の2乗和の平方根
• ひずみ率: 高調波の実効値の2乗和の平方根を、基本波の実効値で割った値

以上が、今回のまとめです。

さて、ここまでで電気回路の計算をひととおり学びました。では、ひずみ波を生み出すインバータや整流器の中では、どんな部品が電流を切ったりつないだりしているのでしょうか？

次回は、電子回路の入口として、半導体のしくみと、電流を一方向にだけ流す「半導体とダイオード」について紹介します。

それでは、次の記事へ進んでいきましょう。