共振回路

理論-18　電気理論・電子理論・電気計測

直列共振
並列共振
共振周波数
選択度

はじめに

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「ラジオは、たくさんの放送局の電波の中から、どうやって1つだけを選んでいるの……？」

前回の記事では、抵抗・コイル・コンデンサの交流でのふるまいと、インピーダンスを学びました。RLC直列回路では、コイルとコンデンサのリアクタンスが逆向きで、打ち消し合うのでした。

空中には、いろいろな周波数の電波が同時に飛んでいます。ラジオのつまみを回すと、その中の1つの周波数だけが大きく聞こえます。電気の世界にも、ある周波数のときだけ電流が大きくなる、そんな「当たり」の周波数があるのです。

実は、コイルとコンデンサのリアクタンスは、周波数を変えると、どこかでちょうど同じ大きさになります。そのとき2つは完全に打ち消し合い、回路は抵抗だけの回路のようにふるまいます。

そこで登場するのが、今回の主役「共振」です。ブランコをタイミングよく押すと大きく揺れるように、回路がある周波数で大きく反応する現象です。

今回の記事では、直列共振のしくみと、共振周波数の求め方、並列共振、そして共振の鋭さを表す選択度について解説します。

直列共振：インピーダンスが最小になる

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はじめに、直列共振について紹介します。

前回学んだように、RLC直列回路のインピーダンスは次の式で表されます。

Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}

$X_L$ と $X_C$ がちょうど等しくなると、かっこの中は 0 になります。すると、インピーダンスは抵抗 $R$ だけになります。この状態を 直列共振 と呼びます。

X_L = X_C \quad \text{のとき} \quad Z = R

言葉で言うと、「コイルとコンデンサの流れにくさが打ち消し合い、抵抗だけが残る」です。綱引きで、左右のチームの力がぴったり同じになり、綱が動かなくなる状態にたとえられます。

直列共振には、次のような特徴があります。

【直列共振の特徴】

インピーダンスが最小になり、 $Z = R$ になる
電流が最大になり、 $I = V/R$ になる
電圧と電流が同相になる

具体的に計算してみましょう。 $R = 20$ Ω、 $X_L = X_C = 40$ Ω の直列回路に 100V をかけます。インピーダンスは 20Ω なので、電流は 100 ÷ 20 = 5A です。

ここで1つ注意があります。このとき、コイルの電圧は $40 \times 5 = 200$ V、コンデンサの電圧も 200V です。電源は 100V なのに、部品には2倍の電圧がかかっています。コイルとコンデンサの電圧は逆向きで打ち消し合うので、外からは見えませんが、部品の中では大きな電圧が生じているのです。

試験のポイント：直列共振では、コイルやコンデンサの電圧が電源電圧より大きくなることがあります。部品の電圧は、リアクタンス × 電流で求めます。

このように、直列共振は $X_L = X_C$ となってインピーダンスが抵抗 $R$ だけになり、電流が最大になる状態です。

以上が、直列共振についてです。

共振周波数：共振が起きる周波数

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次に、共振周波数について紹介します。

前回学んだように、 $X_L$ は周波数に比例して大きくなり、 $X_C$ は周波数に反比例して小さくなります。周波数を低い方から上げていくと、最初は $X_C$ の方が大きく、ある所で2つが等しくなり、その先は $X_L$ の方が大きくなります。2本の坂道が、ある所で交わるイメージです。

この交わる周波数を 共振周波数 と呼び、 $f_0$ で表します。 $X_L = X_C$ の式から求めます。

\omega_0 L = \frac{1}{\omega_0 C} \quad \text{より} \quad \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}

角周波数を周波数に直すと、次のようになります。

f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}

記号の意味は、 $f_0$ が共振周波数［Hz］、 $\omega_0$ が共振のときの角周波数［rad/s］、 $L$ が自己インダクタンス［H］、 $C$ が静電容量［F］です。言葉で言うと、「共振周波数は、 $L$ と $C$ の積だけで決まり、抵抗には関係しない」です。

ブランコにたとえると、ブランコには、鎖の長さで決まる「揺れやすいリズム」があります。そのリズムに合わせて押すと、小さな力でも大きく揺れます。回路にとっての揺れやすいリズムが、共振周波数です。

例題：共振周波数と共振のときの電流

$R = 10$ Ω、 $L = 0.1$ H、 $C = 10$ μF の RLC 直列回路があります。共振周波数と、共振のときに 50V の電圧をかけたときの電流を求めなさい。

【解き方】

静電容量を F に直す： $10\ \mu\text{F} = 10 \times 10^{-6}\ \text{F} = 10^{-5}\ \text{F}$
$LC$ を求める： $0.1 \times 10^{-5} = 10^{-6}$ 、その平方根は $10^{-3}$
角周波数を求める： $\omega_0 = 1 \div 10^{-3} = 1000$ rad/s
共振周波数を求める： $f_0 = 1000 \div 2\pi \fallingdotseq 159$ Hz
電流を求める：共振では $Z = R = 10$ Ω なので、 $I = 50 \div 10 = 5$ A

答えは、共振周波数が約 159Hz、電流が 5A です。このとき $X_L = 1000 \times 0.1 = 100$ Ω、 $X_C = 1 \div (1000 \times 10^{-5}) = 100$ Ω で、確かに等しくなっています。

共振周波数より低い周波数では $X_C > X_L$ なので、回路は容量性で電流が進みます。高い周波数では $X_L > X_C$ なので、誘導性で電流が遅れます。

試験のポイント： $f_0$ は $\sqrt{LC}$ に反比例します。 $L$ か $C$ の一方を4倍にすると、 $f_0$ は $\dfrac{1}{2}$ 倍です。4倍ではないことに注意しましょう。

このように、共振周波数は $X_L = X_C$ となる周波数で、 $f_0 = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ と $L$ と $C$ だけで決まります。

以上が、共振周波数についてです。

並列共振：電源の電流が最小になる

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続いて、並列共振について紹介します。

抵抗・コイル・コンデンサを並列につないだ回路でも、共振が起こります。前回学んだように、RLC並列回路では、コイルの電流 $I_L$ とコンデンサの電流 $I_C$ が逆向きで打ち消し合います。この2つがちょうど等しくなる状態を 並列共振 と呼びます。

$I_L = V/X_L$ 、 $I_C = V/X_C$ なので、 $I_L = I_C$ となるのは $X_L = X_C$ のときです。したがって、共振周波数は直列共振と同じ $f_0 = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ です。

ただし、起きることは直列共振と反対です。

【並列共振の特徴】

アドミタンスが最小になり、インピーダンスが最大になる
電源から流れる電流が最小になり、抵抗に流れる電流だけになる
電圧と電流が同相になる

なぜ電源の電流が小さくなるのでしょうか？コイルとコンデンサの間では、エネルギーが行ったり来たりしています。コイルが磁界にためたエネルギーをコンデンサへ渡し、コンデンサが電界にためたエネルギーをコイルへ返します。振り子が、高さのエネルギーと速さのエネルギーを交互に入れかえながら揺れ続けるのと同じです。2つの間で電流がぐるぐる回っているので、電源から補う必要がないのです。

例題：並列共振の電流

$R = 50$ Ω、 $L = 40$ mH、 $C = 100$ μF の RLC 並列回路に、共振周波数で 100V の電圧をかけました。コイルの電流と、電源から流れる電流を求めなさい。

【解き方】

単位をそろえる： $L = 0.04$ H、 $C = 10^{-4}$ F
共振の角周波数を求める： $\omega_0 = 1 \div \sqrt{0.04 \times 10^{-4}} = 1 \div 0.002 = 500$ rad/s
リアクタンスを求める： $X_L = 500 \times 0.04 = 20$ Ω、 $X_C = 1 \div (500 \times 10^{-4}) = 20$ Ω
コイルとコンデンサの電流を求める： $I_L = I_C = 100 \div 20 = 5$ A
電源の電流を求める： $I_L$ と $I_C$ は打ち消し合うので、抵抗の電流だけが残り、 $I = 100 \div 50 = 2$ A

答えは、コイルの電流が 5A、電源から流れる電流が 2A です。コイルとコンデンサの中では、電源の電流より大きな 5A が行き来しています。

このように、並列共振はコイルとコンデンサの電流が打ち消し合い、インピーダンスが最大、電源の電流が最小になる状態です。

以上が、並列共振についてです。

選択度：共振の鋭さ

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最後に、選択度について紹介します。

共振周波数の近くで、電流がどれだけ鋭く大きくなるかは、回路によって違います。周波数を横軸、電流を縦軸にとったグラフを共振曲線と呼びます。とがった山になる回路もあれば、なだらかな山になる回路もあります。

この共振の鋭さを表す値を 選択度 と呼び、 $Q$ で表します。 $Q$ は単位のない数です。直列共振回路では、次の式で表します。

Q = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac{1}{\omega_0 C R}

記号の意味は、 $\omega_0$ が共振の角周波数［rad/s］、 $L$ が自己インダクタンス［H］、 $C$ が静電容量［F］、 $R$ が抵抗［Ω］です。言葉で言うと、「共振のときのリアクタンスが、抵抗の何倍か」です。抵抗が小さいほど $Q$ は大きく、山は鋭くなります。

$Q$ にはもう1つの意味があります。共振のときの電流は $V/R$ なので、コイルの電圧は $\omega_0 L \times V/R = QV$ です。つまり、直列共振では、コイルとコンデンサの電圧は電源電圧の $Q$ 倍になります。

さらに、電流が最大値の $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ 倍になる2つの周波数を $f_1$ 、 $f_2$ とすると、 $Q$ は次のようにも表せます。

Q = \frac{f_0}{f_2 - f_1}

$f_2 - f_1$ は、山の幅にあたる周波数の範囲です。 $Q$ が大きいほど、この幅がせまくなります。

ラジオにたとえると、 $Q$ はチャンネルを選ぶ力です。 $Q$ の大きい回路は、目的の放送局の周波数だけを大きく取り出し、隣の局を拾いません。「選択度」という名前は、ここから来ています。

具体的に計算してみましょう。共振周波数の節の例題の回路では、 $\omega_0 L = 100$ Ω、 $R = 10$ Ω なので、 $Q = 100 \div 10 = 10$ です。50V をかけたとき、コイルの電圧は $10 \times 50 = 500$ V になります。山の幅は $159 \div 10 \fallingdotseq 16$ Hz です。

補足（ここは読み飛ばしてOK）：抵抗・コイル・コンデンサを並列につないだ並列共振回路では、 $Q = \dfrac{R}{\omega_0 L} = \omega_0 C R$ となり、直列のときと逆に、抵抗が大きいほど $Q$ が大きくなります。並列共振の例題の回路では $Q = 50 \div 20 = 2.5$ で、コイルの電流 5A が電源の電流 2A の 2.5 倍になっています。