電験三種 学習ノート

はじめに

同じ100V・10Aでも、使える電力が違うことがある

モーターにはコイルが入り、電流が電圧より遅れる

工場の電気料金の明細には「力率」が出てくる

位相がずれると、行き来するだけの電力が生まれる

有効電力から複素電力まで、順に学ぶ

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「同じ 100V で 10A 流れているのに、使える電力が違うってどういうこと……？」

前回の記事では、コイルとコンデンサのリアクタンスが打ち消し合う共振の条件と、共振周波数を学びました。共振のときには回路が抵抗だけのようにふるまい、電圧と電流の位相がそろいます。

ところが、ふだんの回路では、電圧と電流の位相はずれています。例えば、エアコンや洗濯機のモーターにはコイルが入っていて、電流が電圧より遅れて流れます。工場の電気料金の明細に「力率」という言葉が出てくるのも、この位相のずれが関係しています。

実は、交流では「電圧 × 電流」がそのまま仕事をする電力になるとは限りません。位相がずれると、電源と負荷の間を行ったり来たりするだけで、仕事をしない電力が生まれます。

そこで登場するのが、今回の主役「有効電力・無効電力・皮相電力」と「力率」です。交流の電力を3つに分けて考えると、位相のずれがどれだけ損をしているのかが、数値ではっきり分かります。

今回の記事では、交流の電力の考え方と3つの電力、電力の三角形、そして複素数を使って電力を求める複素電力について解説します。

瞬時電力と有効電力：交流の電力は平均で見る

瞬間ごとの電圧と電流の積が、瞬時電力p

pは、一定の部分と2倍の周波数で揺れる部分からなる

揺れる部分は平均すると0。残る平均が有効電力

cosθが力率。積のうち仕事に使われる割合

押すタイミングがずれると、ブランコの揺れは育たない

抵抗だけならcosθ=1。ストーブは100×10で1000W

コイルだけなら有効電力は0。ためては返すだけ

5Aが60°遅れると有効電力は250W。積500の半分

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はじめに、瞬時電力と有効電力について紹介します。

直流では、電力は電圧と電流の積 $P = VI$ でした。交流では、電圧も電流も時間とともに変わるので、ある瞬間の電圧と電流の積も時々刻々と変わります。この、その瞬間ごとの電力を 瞬時電力 と呼び、小文字の $p$ で表します。

電圧の実効値を $V$、電流の実効値を $I$ とし、電流が電圧より位相角 $\theta$ だけ遅れているとします。瞬時電力を計算すると、次の形になります。

$$p = VI\cos\theta - VI\cos(2\omega t - \theta)$$

記号の意味は、$p$ が瞬時電力［W］、$V$ と $I$ が電圧と電流の実効値［V］［A］、$\theta$ が電圧と電流の位相差［rad］、$\omega$ が角周波数［rad/s］です。

この式は、2つの部分でできています。1つ目の $VI\cos\theta$ は、時間で変わらない一定の値です。2つ目は、電源の2倍の周波数で、プラスとマイナスに同じだけ揺れる部分です。揺れる部分は、1周期で平均すると 0 になります。

つまり、瞬時電力を平均すると、1つ目の部分だけが残ります。これが、負荷が実際に消費して熱や動力に変える電力で、有効電力 と呼びます。単位は ワット［W］ です。

$$P = VI\cos\theta$$

ここで、$\cos\theta$ を 力率 と呼びます。電圧と電流の積のうち、何割が実際の仕事に使われるかを表す値です。

ブランコにたとえてみましょう。タイミングよく背中を押せば、ブランコはどんどん大きく揺れます。押す力がしっかり仕事になっているからです。ところが、タイミングがずれると、押したり引き戻されたりして、力を入れても揺れは大きくなりません。電圧と電流の位相のずれは、この押すタイミングのずれにあたります。

具体的に見てみましょう。抵抗だけの回路では、電圧と電流の位相がそろうので $\theta = 0$、$\cos\theta = 1$ です。100V で 10A 流れる電気ストーブなら、有効電力は 100 × 10 = 1000W です。

一方、コイルだけの回路では、電流が電圧より $90°$ 遅れるので $\cos 90° = 0$ です。電流は流れていますが、有効電力は 0 です。コイルは、電源から受け取ったエネルギーを磁界にため、次の瞬間にはそのまま電源へ返しているからです。コンデンサだけの回路も同じで、有効電力は 0 です。

せっかくなので、間の例も見てみましょう。100V の電源に負荷をつないだら 5A の電流が流れ、電流が電圧より $60°$ 遅れていました。有効電力は $100 \times 5 \times \cos 60° = 100 \times 5 \times 0.5 = 250$ W です。電圧と電流の積は 500 ですが、使われている電力はその半分です。

このように、交流の電力は瞬時電力を平均して考え、その平均が有効電力 $P = VI\cos\theta$ になります。

以上が、瞬時電力と有効電力についてです。

3つの電力と力率：仕事をする電力としない電力

皮相電力S=VIは見かけの電力。単位はV·A

変圧器の容量はkV·A。負担は電流の大きさで決まる

無効電力Q=VIsinθは行き来するだけ。単位はvar

消費されなくても、電線にはそのぶんの電流が流れる

力率は有効電力÷皮相電力。1に近いほどむだがない

モーターのような負荷は遅れ力率、コンデンサは進み力率

12Ωと16Ωに200Vをかけると、Zは20Ω、電流は10A

抵抗で1200W、リアクタンスで1600var。力率は0.6

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次に、皮相電力・無効電力と力率について紹介します。

有効電力のほかに、交流ではあと2つの電力を使います。1つずつ見ていきましょう。

1. 皮相電力

電圧の実効値と電流の実効値を、位相を気にせずそのまま掛けたものを 皮相電力 と呼びます。「見かけの電力」という意味です。単位は ボルトアンペア［V·A］ です。

$$S = VI$$

皮相電力は、電源や変圧器がどれだけの電圧と電流を受け持っているかを表します。変圧器の容量が「kW」ではなく「kV·A」で書かれているのは、変圧器にとっては、力率に関係なく電流の大きさで負担が決まるからです。

2. 無効電力

電源と負荷の間を行き来するだけで、平均すると仕事をしない電力を 無効電力 と呼びます。単位は バール［var］ です。

$$Q = VI\sin\theta$$

コイルやコンデンサが、エネルギーをためては返す、その行き来の大きさを表します。行き来するだけなので消費はされませんが、電線にはそのぶんの電流が流れます。

3. 力率

先ほど出てきた力率は、皮相電力のうち有効電力の占める割合です。

$$\cos\theta = \frac{P}{S}$$

言葉で言うと、「力率 = 有効電力 ÷ 皮相電力」です。1 に近いほど、流した電流がむだなく仕事に使われています。

電流が電圧より遅れているときの力率を 遅れ力率、進んでいるときの力率を 進み力率 と呼びます。コイルを含むモーターのような負荷は遅れ力率、コンデンサを含む負荷は進み力率になります。

例題：RL直列回路の3つの電力

抵抗 12Ω と誘導性リアクタンス 16Ω を直列につなぎ、200V の交流電圧を加えました。有効電力・無効電力・皮相電力と力率を求めなさい。

【解き方】

1. インピーダンスを求める： $Z = \sqrt{12^2 + 16^2} = 20$ Ω
2. 電流を求める： $I = 200 \div 20 = 10$ A
3. 有効電力を求める： 抵抗だけが電力を消費するので $P = I^2 R = 10^2 \times 12 = 1200$ W
4. 無効電力を求める： リアクタンスで行き来するので $Q = I^2 X = 10^2 \times 16 = 1600$ var
5. 皮相電力を求める： $S = VI = 200 \times 10 = 2000$ V·A
6. 力率を求める： $\cos\theta = 1200 \div 2000 = 0.6$（遅れ）

答えは、有効電力 1200W、無効電力 1600var、皮相電力 2000V·A、力率 0.6 です。力率は $R \div Z = 12 \div 20 = 0.6$ でも求まります。

試験のポイント：有効電力は抵抗で $I^2R$、無効電力はリアクタンスで $I^2X$ と、部品ごとに分けて求められます。単位は W・var・V·A を使い分けます。

このように、交流の電力は、仕事をする有効電力、行き来するだけの無効電力、見かけの皮相電力の3つに分けて考え、その割合を力率で表します。

以上が、3つの電力と力率についてです。

電力の三角形：3つの電力の関係

底辺P、高さQ、斜辺Sの直角三角形が電力の三角形

斜めのロープの、進む向きの成分だけが荷車を進める

Sが500V·A、Pが400Wなら、Qは300var、力率0.8

PどうしとQどうしは足せるが、Sは足せない

モーターは6kWと8kvar、ヒーターは9kW

合計は15kWと8kvar。Sは17kV·A、力率は約0.88

皮相電力を10+9=19kV·Aと足すのは誤り

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続いて、電力の三角形について紹介します。

有効電力は $VI\cos\theta$、無効電力は $VI\sin\theta$、皮相電力は $VI$ でした。この3つは、直角三角形の3辺の関係になっています。底辺に有効電力 $P$、高さに無効電力 $Q$、斜辺に皮相電力 $S$ を置いた直角三角形を、電力の三角形 と呼びます。底辺と斜辺の間の角が、位相差 $\theta$ です。

$$S = \sqrt{P^2 + Q^2}$$

言葉で言うと、「有効電力と無効電力を2辺とする直角三角形の斜辺が、皮相電力」です。三平方の定理そのものです。

荷車を斜めのロープで引く場面にたとえてみましょう。ロープを引く力全体が皮相電力です。そのうち、進む向きの成分だけが荷車を前に進め、これが有効電力にあたります。上向きの成分は荷車を持ち上げようとするだけで、前には進みません。これが無効電力にあたります。

具体的に計算してみましょう。皮相電力が 500V·A、有効電力が 400W の負荷なら、無効電力は $\sqrt{500^2 - 400^2} = 300$ var で、力率は 400 ÷ 500 = 0.8 です。

ここで1つ注意があります。負荷を並べてつないだとき、有効電力どうし、無効電力どうしは、そのまま足し算できます。ところが、皮相電力は足し算できません。向きの違う矢印の長さを足しても、合計の矢印の長さにならないのと同じです。

例題：力率の違う2つの負荷

同じ電源に、2つの負荷を並列につなぎました。負荷 A は皮相電力 10kV·A、遅れ力率 0.6 のモーターです。負荷 B は消費電力 9kW、力率 1 のヒーターです。全体の皮相電力と力率を求めなさい。

【解き方】

1. 負荷 A を分ける： $P_A = 10 \times 0.6 = 6$ kW、$\sin\theta = \sqrt{1 - 0.6^2} = 0.8$ より $Q_A = 10 \times 0.8 = 8$ kvar
2. 負荷 B を分ける： 力率 1 なので $P_B = 9$ kW、$Q_B = 0$
3. 合計する： $P = 6 + 9 = 15$ kW、$Q = 8 + 0 = 8$ kvar
4. 皮相電力を求める： $S = \sqrt{15^2 + 8^2} = 17$ kV·A
5. 力率を求める： $\cos\theta = 15 \div 17 \fallingdotseq 0.88$（遅れ）

答えは、皮相電力 17kV·A、力率約 0.88 です。皮相電力を 10 + 9 = 19kV·A と足すのは誤りです。

試験のポイント：力率の違う負荷をまとめるときは、必ず有効電力と無効電力に分けてから足します。$\sin\theta = \sqrt{1 - \cos^2\theta}$ で、力率 0.8 なら 0.6、力率 0.6 なら 0.8 です。

なお、遅れの無効電力を減らして力率を 1 に近づけることを力率改善といいます。詳しくは、法規の「力率改善」の記事で学びます。

このように、有効電力・無効電力・皮相電力は直角三角形の関係にあり、負荷をまとめるときは有効電力と無効電力に分けて足し算します。

以上が、電力の三角形についてです。

複素電力：複素数で電力をまとめて求める

複素電力は電圧と電流の共役の積。P+jQになる

共役を取ると、角度が電圧と電流の角度の差になる

電流が遅れていれば、虚部Qはプラス

100×(8+j6)=800+j600。800Wと600var

電圧60+j80、電流8+j6。電流が少し遅れている

960+j280。960W、280var、力率0.96

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最後に、複素電力について紹介します。

フェーザと複素数の記事で、電圧や電流を複素数で表す方法を学びました。電圧と電流が複素数で与えられたとき、有効電力と無効電力を一度に求められる便利な方法があります。それが 複素電力 です。

$$\dot{S} = \dot{V}\,\overline{\dot{I}} = P + jQ$$

記号の意味は、$\dot{V}$ が電圧のフェーザ［V］、$\overline{\dot{I}}$ が電流のフェーザ［A］の 共役複素数（虚部の符号を反対にしたもの）です。計算結果の実部が有効電力 $P$［W］、虚部が無効電力 $Q$［var］、大きさが皮相電力 $S$［V·A］になります。

なぜ共役を取るのでしょうか？ 電力で知りたいのは、電圧と電流の「角度の差」です。複素数の掛け算では角度が足されますが、共役を取ると電流の角度の符号が反対になるので、掛け算の結果の角度が「電圧の角度 − 電流の角度」になります。そのまま掛けると角度が足されてしまい、位相差になりません。

この約束では、電流が電圧より遅れているとき、虚部 $Q$ がプラスになります。つまり、虚部がプラスなら遅れの無効電力、マイナスなら進みの無効電力です。

具体的に計算してみましょう。$\dot{V} = 100$ V、$\dot{I} = 8 - j6$ A とします。電流の共役は $8 + j6$ なので、次のようになります。

$$\dot{S} = 100 \times (8 + j6) = 800 + j600$$

有効電力は 800W、無効電力は 600var（遅れ）、皮相電力は $\sqrt{800^2 + 600^2} = 1000$ V·A です。

補足（ここは読み飛ばしてOK）： 教科書によっては、電圧の側の共役を取って $\overline{\dot{V}}\,\dot{I} = P - jQ$ と書くものもあります。この場合は、遅れの無効電力が虚部にマイナスで出ます。どちらの約束でも、有効電力と無効電力の大きさは同じです。

例題：複素数で与えられた電圧と電流

ある負荷の電圧が $\dot{V} = 60 + j80$ V、電流が $\dot{I} = 8 + j6$ A でした。有効電力・無効電力と力率を求めなさい。

【解き方】

1. 電流の共役を取る： $\overline{\dot{I}} = 8 - j6$
2. 掛け算する： $(60 + j80)(8 - j6) = 480 - j360 + j640 - j^2 480$
3. $j^2 = -1$ を使って整理する： $480 + 480 + j(640 - 360) = 960 + j280$
4. 読み取る： 有効電力 960W、無効電力 280var
5. 皮相電力と力率を求める： $S = \sqrt{960^2 + 280^2} = 1000$ V·A、$\cos\theta = 960 \div 1000 = 0.96$

答えは、有効電力 960W、無効電力 280var（遅れ）、力率 0.96 です。皮相電力は、電圧の大きさ 100V と電流の大きさ 10A の積 1000V·A とも一致します。

このように、複素電力 $\dot{V}\,\overline{\dot{I}}$ を計算すれば、実部から有効電力、虚部から無効電力が一度に求まります。

以上が、複素電力についてです。

今回のまとめ

瞬時電力の平均が有効電力。P=VIcosθ

皮相電力VI、無効電力VIsinθ、力率P/S

3つの電力は直角三角形。PとQは別々に足す

複素電力で、有効電力と無効電力が一度に求まる

キーワードは有効電力・無効電力・皮相電力・力率など

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それでは、今回の内容を振り返ります。

今回は、交流の電力と力率について紹介しました。交流では、電圧と電流の位相がずれると、流れた電流の一部が電源との行き来に使われ、仕事をしなくなります。その割合を表すのが力率で、3つの電力は直角三角形で結ばれています。

今回のポイントを振り返りましょう。

振り返り

• 瞬時電力を平均したものが有効電力で、$P = VI\cos\theta$。
• 皮相電力 $S = VI$、無効電力 $Q = VI\sin\theta$、力率 $\cos\theta = P/S$。
• 3つの電力は $S = \sqrt{P^2 + Q^2}$ の直角三角形の関係。負荷をまとめるときは $P$ と $Q$ を別々に足す。
• 複素電力 $\dot{V}\,\overline{\dot{I}} = P + jQ$ で、有効電力と無効電力が一度に求まる。

キーワードのおさらい

• 有効電力: 負荷が実際に消費する電力。$VI\cos\theta$。単位はワット［W］
• 無効電力: 電源と負荷の間を行き来するだけの電力。$VI\sin\theta$。単位はバール［var］
• 皮相電力: 電圧と電流の実効値の積。見かけの電力。単位はボルトアンペア［V·A］
• 力率: 皮相電力のうち有効電力の割合 $\cos\theta$。遅れ力率と進み力率がある
• 電力の三角形: 有効電力・無効電力・皮相電力がつくる直角三角形
• 複素電力: 電圧と電流の共役の積 $\dot{V}\,\overline{\dot{I}} = P + jQ$

以上が、今回のまとめです。

さて、ここまでは電源が1つの「単相」の交流を考えてきました。ところが、発電所や送電線、工場のモーターでは、3つの交流を組み合わせた電気が使われています。3つの交流は、どのようにつなぎ、電力はどう計算するのでしょうか？

次回は、Y結線とΔ結線、そして三相電力を扱う「三相交流回路」について紹介します。

それでは、次の記事へ進んでいきましょう。