電験三種 学習ノート

はじめに

コイルやコンデンサに交流を流すと、何が起きるのか

交流では、コイルやコンデンサも電流の流れを妨げる

モーターの巻線はコイル、エアコンにはコンデンサ

位相のずれまで含めると、オームの法則の形で解ける

R・L・Cのふるまいから並列回路まで、順に学ぶ

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「コイルやコンデンサに交流を流すと、何が起きるの……？」

前回の記事では、交流を矢印で表すフェーザと、複素数を使った計算の方法を学びました。今回は、その道具を使って、いよいよ交流回路を解いていきます。

直流の回路では、電流の流れにくさを決めるのは抵抗だけでした。ところが交流では、コイルやコンデンサも電流の流れを妨げます。例えば、蛍光灯の安定器や、モーターの巻線はコイルのはたらきを持っています。エアコンや冷蔵庫の中には、コンデンサも入っています。

実は、コイルとコンデンサの流れにくさは、周波数によって変わります。しかも、電流と電圧の位相を、それぞれ逆の向きにずらします。この「位相のずれ」まで含めて流れにくさを表すと、交流回路もオームの法則と同じ形で解けるようになります。

そこで登場するのが、今回の主役「インピーダンス」です。抵抗・コイル・コンデンサをまとめた、交流での流れにくさです。

今回の記事では、抵抗・コイル・コンデンサの交流でのふるまいとリアクタンス、インピーダンス、RLC直列回路、そしてRLC並列回路とアドミタンスについて解説します。

抵抗・コイル・コンデンサ：交流でのふるまい

3つの部品に同じ交流電圧をかけて、電流を比べる

抵抗では、電圧と電流の位相が同じ（同相）

コイルは重いはずみ車のように、電流の変化に逆らう

XLは周波数に比例。60Hz・0.05Hで18.8Ω

コイルの電流は、電圧より90°遅れる

コンデンサは、ばねのように電荷をためては戻す

XCは周波数に反比例。60Hz・100μFで26.5Ω

コンデンサの電流は、電圧より90°進む

周波数を2倍にすると、XLは2倍、XCは2分の1

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はじめに、抵抗・コイル・コンデンサの交流でのふるまいについて紹介します。

3つの部品に、同じ交流の電圧をかけてみます。電流の大きさと位相が、部品ごとにどう変わるかを1つずつ見ていきましょう。

1. 抵抗

抵抗では、直流と同じくオームの法則がそのまま成り立ちます。電流は $I = V/R$ で、電圧と電流の位相は同じです。これを「同相」と言います。電圧が山のときに電流も山、谷のときに電流も谷です。

2. コイルと誘導性リアクタンス

コイルには、インダクタンスの記事で学んだように、電流の変化を妨げる性質があります。重いはずみ車を手で回すとき、回し始めにも止めるときにも抵抗を感じるのと同じです。交流は向きがたえず変わるので、コイルはいつも電流の変化に逆らいます。

このはたらきによる流れにくさを 誘導性リアクタンス と呼び、$X_L$ で表します。

$$X_L = \omega L = 2\pi f L$$

記号の意味は、$X_L$ が誘導性リアクタンス［Ω］、$\omega$ が角周波数［rad/s］、$f$ が周波数［Hz］、$L$ が自己インダクタンス［H］です。言葉で言うと、「周波数が高いほど、インダクタンスが大きいほど、コイルは電流を通しにくい」です。電流の向きが速く変わるほど、はずみ車を速く切り返すのが大変になるイメージです。

コイルに流れる電流は、電圧より位相が 90° 遅れます。電流がはずみ車のように、電圧の後を追いかけて動くからです。

具体的に計算してみましょう。60Hz で 0.05H のコイルなら、$X_L = 2\pi \times 60 \times 0.05 \fallingdotseq 18.8$ Ω です。

3. コンデンサと容量性リアクタンス

コンデンサは、電荷をためたり出したりする部品でした。ばねにたとえると、押すと縮んで力をため、離すと戻る動きをします。交流では、充電と放電をくり返すことで、見かけの上で電流が流れます。

このときの流れにくさを 容量性リアクタンス と呼び、$X_C$ で表します。

$$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi f C}$$

記号の意味は、$X_C$ が容量性リアクタンス［Ω］、$C$ が静電容量［F］です。言葉で言うと、「周波数が高いほど、静電容量が大きいほど、コンデンサは電流を通しやすい」です。コイルとは逆です。直流（周波数 0）では、コンデンサは電流を通しません。

コンデンサに流れる電流は、電圧より位相が 90° 進みます。電荷がたまるにつれて電圧が上がるので、電流の方が先に動くからです。

具体的に計算してみましょう。60Hz で 100μF のコンデンサなら、$X_C = 1 \div (2\pi \times 60 \times 100 \times 10^{-6}) \fallingdotseq 26.5$ Ω です。μF は $10^{-6}$ F に直すのを忘れないようにしましょう。

試験のポイント：周波数を2倍にすると、$X_L$ は2倍、$X_C$ は2分の1になります。また、「コイルは電流が遅れ、コンデンサは電流が進む」の向きを取り違えないようにしましょう。

このように、交流では抵抗の電流は同相、コイルの電流は 90° 遅れ、コンデンサの電流は 90° 進み、コイルとコンデンサの流れにくさは周波数で変わります。

以上が、抵抗・コイル・コンデンサについてです。

インピーダンス：交流の流れにくさ

抵抗は実部、コイルは+j、コンデンサは−jに置く

抵抗とリアクタンスをまとめた流れにくさがインピーダンス

交流のオームの法則。電圧はインピーダンス×電流

横の距離が抵抗、高さがリアクタンス、斜面がZ

30Ωと40Ωなら、Zは50Ω。位相差は約53.1°

200Vをかけると電流は4A。電流は電圧より遅れる

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次に、インピーダンスについて紹介します。

抵抗とリアクタンスは、どちらも単位はオーム［Ω］です。しかし、位相への影響が違うので、そのまま足すことはできません。そこで、前回学んだ複素数を使って、まとめて表します。

抵抗は実部、リアクタンスは虚部に置きます。コイルは $+j$（電圧が電流より 90° 進む向き）、コンデンサは $-j$（電圧が電流より 90° 遅れる向き）です。

【複素数で表した流れにくさ】

• 抵抗： $R$
• コイル： $jX_L = j\omega L$
• コンデンサ： $-jX_C = \dfrac{1}{j\omega C}$

抵抗とリアクタンスをまとめた交流の流れにくさを インピーダンス と呼び、$\dot{Z}$ で表します。単位はオーム［Ω］です。

$$\dot{Z} = R + jX, \qquad Z = \sqrt{R^2 + X^2}$$

記号の意味は、$R$ が抵抗［Ω］、$X$ がリアクタンス［Ω］、$Z$ がインピーダンスの大きさ［Ω］です。インピーダンスを使うと、交流でもオームの法則と同じ形の式が成り立ちます。

$$\dot{V} = \dot{Z} \dot{I}$$

言葉で言うと、「電圧のフェーザ = インピーダンス × 電流のフェーザ」です。大きさだけなら $V = ZI$ です。

坂道にたとえると、抵抗は横に進む距離、リアクタンスは高さです。実際に歩く斜面の長さが、インピーダンスの大きさにあたります。斜面の角度 $\theta$ が、電圧と電流の位相差になります。

$$\tan \theta = \frac{X}{R}$$

具体的に計算してみましょう。抵抗 30Ω と誘導性リアクタンス 40Ω を直列につなぐと、$Z = \sqrt{30^2 + 40^2} = 50$ Ω です。200V をかけると、電流は 200 ÷ 50 = 4A です。位相差は $\tan \theta = 40/30$ より約 53.1° で、電流が遅れます。

このように、インピーダンスは抵抗とリアクタンスを複素数でまとめた交流の流れにくさで、$\dot{V} = \dot{Z}\dot{I}$ という交流のオームの法則が成り立ちます。

以上が、インピーダンスについてです。

RLC直列回路：電圧をフェーザで足す

RLC直列回路では、3つの部品に同じ電流が流れる

XLとXCは逆向き。綱引きのように打ち消し合う

XLが大きいと誘導性、XCが大きいと容量性

12Ω・20Ω・4Ωに100Vをかけると、電流は5A

リアクタンスの差は16Ω。Zは12と16の斜辺で20Ω

部品の電圧をそのまま足すと180V。電源を超える

フェーザで足すと、√(60²+80²)で100V

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続いて、RLC直列回路について紹介します。

抵抗 $R$、コイル $L$、コンデンサ $C$ を1列につないだ回路を RLC直列回路 と呼びます。直列なので、3つの部品には同じ電流が流れます。インピーダンスは、それぞれを複素数のまま足して求めます。

$$\dot{Z} = R + j(X_L - X_C), \qquad Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$$

ここがポイントです。コイルとコンデンサのリアクタンスは、向きが逆なので引き算になります。綱引きで、左右のチームの力が打ち消し合うのと同じです。

$X_L$ の方が大きいと、回路全体はコイルのようにふるまい、電流が電圧より遅れます。これを「誘導性」と言います。$X_C$ の方が大きいと、電流が進み、「容量性」と言います。

例題：RLC直列回路の電流と電圧

$R = 12$ Ω、$X_L = 20$ Ω、$X_C = 4$ Ω の RLC 直列回路に、100V の交流電圧をかけました。回路に流れる電流と、各部品の電圧を求めなさい。

【解き方】

1. リアクタンスの差を求める： $X_L - X_C = 20 - 4 = 16$ Ω
2. インピーダンスを求める： $Z = \sqrt{12^2 + 16^2} = 20$ Ω
3. 電流を求める： $I = 100 \div 20 = 5$ A
4. 各部品の電圧を求める： $V_R = 12 \times 5 = 60$ V、$V_L = 20 \times 5 = 100$ V、$V_C = 4 \times 5 = 20$ V

答えは、電流が 5A、電圧は抵抗 60V、コイル 100V、コンデンサ 20V です。$X_L > X_C$ なので誘導性で、電流は電圧より遅れます。

ここで1つ注意があります。3つの電圧を足すと 180V になり、電源の 100V を超えています。しかし、これは間違いではありません。$V_L$ と $V_C$ は逆向きなので、フェーザで足すと次のようになります。

$$V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2} = \sqrt{60^2 + 80^2} = 100\ \text{V}$$

試験のポイント：直列回路では、部品の電圧を大きさのまま足してはいけません。コイルの電圧が電源電圧と同じか、それより大きくなることもあります。

このように、RLC直列回路では、同じ電流が流れ、コイルとコンデンサのリアクタンスが打ち消し合う形でインピーダンスが決まります。

以上が、RLC直列回路についてです。

RLC並列回路とアドミタンス：電流をフェーザで足す

RLC並列回路では、3つの部品に同じ電圧がかかる

IRは同相、ILは90°遅れ、ICは90°進む

並列は改札の通路を増やすこと。流れやすさを足す

アドミタンスはインピーダンスの逆数。単位はS

200Vで、IRは8A、ILは10A、ICは4A

ILとICの差は6A。全体の電流は10A、Zは20Ω

Yは0.04−j0.03S。大きさ0.05Sの逆数で20Ω

直列はリアクタンスの大きい方、並列は電流の大きい方

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最後に、RLC並列回路とアドミタンスについて紹介します。

抵抗・コイル・コンデンサを並列につないだ回路を RLC並列回路 と呼びます。並列なので、3つの部品には同じ電圧がかかります。そこで、各部品の電流を求めて、フェーザで足します。

電圧を基準にすると、抵抗の電流 $I_R$ は同相、コイルの電流 $I_L$ は 90° 遅れ、コンデンサの電流 $I_C$ は 90° 進みです。$I_L$ と $I_C$ は向きが逆なので、引き算になります。

$$I = \sqrt{I_R^2 + (I_L - I_C)^2}$$

並列回路の計算には、インピーダンスの逆数を使うと便利です。これを アドミタンス と呼び、$\dot{Y}$ で表します。単位は ジーメンス［S］ です。合成抵抗と分圧・分流の記事で学んだ、コンダクタンスの交流版です。

$$\dot{Y} = \frac{1}{\dot{Z}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{jX_L} + \frac{1}{-jX_C} = \frac{1}{R} + j\left( \frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_L} \right)$$

言葉で言うと、アドミタンスは「電流の流れやすさ」です。改札にたとえると、並列につなぐのは改札の通路を増やすことです。通路を増やすほど、人は通りやすくなります。並列回路では、流れやすさ（アドミタンス）を足し合わせるのが自然なのです。アドミタンスの実部をコンダクタンス、虚部をサセプタンスと呼びます。

アドミタンスを使うと、電流は $\dot{I} = \dot{Y}\dot{V}$ で求まります。

例題：RLC並列回路の電流

$R = 25$ Ω、$X_L = 20$ Ω、$X_C = 50$ Ω の RLC 並列回路に、200V の交流電圧をかけました。電源から流れる電流と、回路のインピーダンスを求めなさい。

【解き方】

1. 各部品の電流を求める： $I_R = 200 \div 25 = 8$ A、$I_L = 200 \div 20 = 10$ A、$I_C = 200 \div 50 = 4$ A
2. コイルとコンデンサの電流の差を求める： $I_L - I_C = 10 - 4 = 6$ A
3. 全体の電流を求める： $I = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$ A
4. インピーダンスを求める： $Z = 200 \div 10 = 20$ Ω

答えは、電流が 10A、インピーダンスが 20Ω です。$I_L > I_C$ なので、全体の電流は電圧より遅れます。

アドミタンスで確かめてみましょう。$\dot{Y} = \dfrac{1}{25} + j\left( \dfrac{1}{50} - \dfrac{1}{20} \right) = 0.04 - j0.03$ S です。大きさは $\sqrt{0.04^2 + 0.03^2} = 0.05$ S で、逆数をとると 20Ω となり、一致します。

補足（ここは読み飛ばしてOK）： 並列回路では、直列回路と逆に、$X_L$ が小さいほどコイルの電流が大きくなります。直列では「リアクタンスの大きい方」、並列では「電流の大きい方」の性質が全体に出る、と覚えると整理しやすいです。

このように、RLC並列回路では同じ電圧がかかり、各部品の電流をフェーザで足すか、アドミタンスを足し合わせて電流を求めます。

以上が、RLC並列回路とアドミタンスについてです。

今回のまとめ

コイルの電流は90°遅れ、コンデンサの電流は90°進む

インピーダンスはR+jX、大きさは√(R²+X²)

直列は電圧を、並列は電流をフェーザで足す

アドミタンスはZの逆数で、並列の計算に便利

キーワードはリアクタンス・インピーダンスなど

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それでは、今回の内容を振り返ります。

今回は、抵抗・コイル・コンデンサの交流でのふるまいと、インピーダンスについて紹介しました。位相のずれを複素数で表すと、交流回路も $\dot{V} = \dot{Z}\dot{I}$ というオームの法則の形で解けます。

今回のポイントを振り返りましょう。

振り返り

• コイルの電流は電圧より 90° 遅れ、$X_L = \omega L$。コンデンサの電流は 90° 進み、$X_C = 1/(\omega C)$。
• インピーダンスは $\dot{Z} = R + jX$、大きさは $\sqrt{R^2 + X^2}$。
• 直列回路は電圧を、並列回路は電流をフェーザで足す。$X_L$ と $X_C$、$I_L$ と $I_C$ は打ち消し合う。
• アドミタンスはインピーダンスの逆数で、並列回路の計算に便利。

キーワードのおさらい

• 誘導性リアクタンス: コイルの交流での流れにくさ。$X_L = \omega L$［Ω］
• 容量性リアクタンス: コンデンサの交流での流れにくさ。$X_C = 1/(\omega C)$［Ω］
• インピーダンス: 抵抗とリアクタンスをまとめた交流の流れにくさ。$\dot{Z} = R + jX$［Ω］
• アドミタンス: インピーダンスの逆数。交流の流れやすさ。単位は［S］
• RLC直列回路: 抵抗・コイル・コンデンサを直列につないだ回路。同じ電流が流れる
• RLC並列回路: 抵抗・コイル・コンデンサを並列につないだ回路。同じ電圧がかかる

以上が、今回のまとめです。

さて、RLC直列回路では、$X_L$ と $X_C$ が打ち消し合いました。もし、この2つがちょうど同じ大きさになったら、回路はどうなるのでしょうか？

次回は、リアクタンスが打ち消し合う「共振回路」について紹介します。

それでは、次の記事へ進んでいきましょう。