電験三種 学習ノート

はじめに

抵抗がいくつもつながると、どう計算すればよいか迷う

家電を足すほど、全体の電流が増える

抵抗のつなぎ方は、一列の直列と横に並べる並列の2通り

いくつもの抵抗を、1つの合成抵抗にまとめる

直列・分圧・並列・分流と進み、直並列回路を解く

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「抵抗が1つなら計算できる。でも、いくつもつながっていたら、どうすればいいの……？」

前回の記事では、電圧・電流・抵抗の関係を表すオームの法則を学びました。ところが、実際の回路では、抵抗が1つだけということはほとんどありません。

例えば、家のコンセントには、テレビや冷蔵庫、照明など、たくさんの電気製品がつながっています。ブレーカーが落ちるのは、同時に使う電気製品が多すぎて、全体の電流が大きくなりすぎたときです。電気製品を1つ足すと、なぜ全体の電流が増えるのでしょうか？

実は、抵抗のつなぎ方は、基本的に「一列につなぐ」か「横に並べる」かの2通りしかありません。この2つのルールを押さえれば、どんなに複雑に見える回路も、1つの抵抗に置きかえて計算できます。

そこで登場するのが、今回の主役 合成抵抗 です。いくつもの抵抗を、同じはたらきをする1つの抵抗にまとめたものです。

今回の記事では、直列接続と並列接続の合成抵抗、電圧の分かれ方（分圧）と電流の分かれ方（分流）、そして並列の計算で便利なコンダクタンスについて解説します。

直列接続と合成抵抗：抵抗を一列につなぐ

直列接続は抵抗を一列につなぐ。通り道は1本だけ

細い管を一列につないでも、どこでも流量は同じ

直列の合成抵抗は、抵抗の足し算

10Ω・20Ω・30Ωの直列に120Vで、電流は2A

電球の直列は、1つ切れただけで全部消える

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はじめに、直列接続と合成抵抗について紹介します。

抵抗を、枝分かれなしで一列につなぐことを 直列接続 と呼びます。電流の通り道は1本だけです。

一本道なので、どの抵抗にも 同じ大きさの電流 が流れます。水道管にたとえると、細い管を何本もつなぎ合わせて1本の長い管にした状態です。途中に分かれ道がないので、どこで流量を測っても同じです。

一方で、電圧は抵抗ごとに分かれてかかります。電源の電圧は、それぞれの抵抗の電圧降下の合計に等しくなります。

いくつかの抵抗を、同じはたらきをする1つの抵抗に置きかえたものを 合成抵抗 と呼びます。直列接続の合成抵抗は、抵抗の値をそのまま足し算したものです。

$$R = R_1 + R_2 + R_3$$

記号の意味は、$R$ が合成抵抗［Ω］、$R_1$・$R_2$・$R_3$ がそれぞれの抵抗［Ω］です。言葉で言うと、「一列につなぐと、抵抗は足し算」です。

なぜ足し算になるのでしょうか？ 流れる電流を $I$ とすると、それぞれの抵抗の電圧は $R_1 I$、$R_2 I$、$R_3 I$ です。電源の電圧 $V$ はその合計なので、$V = (R_1 + R_2 + R_3) I$ となります。これは、抵抗 $R_1 + R_2 + R_3$ にオームの法則を当てはめた形そのものです。

具体的に計算してみましょう。10Ω・20Ω・30Ω の3つの抵抗を直列につなぎ、120V の電源につなぎます。

$$R = 10 + 20 + 30 = 60\ \Omega$$

流れる電流は、オームの法則から $I = 120 \div 60 = 2$ A です。それぞれの抵抗の電圧は、10 × 2 = 20V、20 × 2 = 40V、30 × 2 = 60V で、合計すると 120V になり、電源の電圧と一致します。

身近な例では、昔ながらの電飾の電球が直列につながっていることがあります。一本道なので、電球が1つ切れると、電流の通り道がなくなり、全部が消えてしまいます。

このように、直列接続では電流が共通で、合成抵抗はそれぞれの抵抗の足し算になります。

以上が、直列接続と合成抵抗についてです。

分圧：直列では電圧を分け合う

大きい抵抗ほど、大きな電圧を受け持つ

急な坂（大きい抵抗）ほど、大きく高さが下がる

30Ωと70Ωに100Vをかけると、30Vと70Vに分かれる

R₂が3Vなら電流は1mA、R₂は3kΩ

直列では、電圧の比と抵抗の比が等しい

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次に、分圧について紹介します。

直列接続では、電源の電圧がそれぞれの抵抗に分かれてかかります。このように電圧が分かれることを 分圧 と呼びます。

どの抵抗にも同じ電流が流れるので、抵抗の電圧 $RI$ は抵抗の大きさに比例します。つまり、大きい抵抗ほど、大きな電圧を受け持つ ということです。2つの抵抗 $R_1$・$R_2$ を直列につないで電圧 $V$ をかけたとき、$R_1$ にかかる電圧 $V_1$ は次のようになります。

$$V_1 = \frac{R_1}{R_1 + R_2} V$$

記号の意味は、$V_1$ が $R_1$ の電圧［V］、$V$ が全体の電圧［V］です。言葉で言うと、「全体の電圧を、抵抗の大きさの比で分ける」です。分子には、電圧を求めたい抵抗そのもの が入ります。

坂道にたとえると、分かりやすくなります。高さ 100V の坂を下りるとき、急な坂（大きい抵抗）では大きく高さが下がり、ゆるい坂（小さい抵抗）では少しだけ下がります。下がった高さの合計は、いつも坂全体の高さに等しくなります。

具体的に計算してみましょう。30Ω と 70Ω を直列につなぎ、100V をかけます。

$$V_1 = \frac{30}{30 + 70} \times 100 = 30\ \text{V}$$

70Ω のほうは、残りの 100 − 30 = 70V です。抵抗の比が 30 : 70 なので、電圧の比も 30 : 70 になっています。

例題：分圧で抵抗を決める

12V の電源に、9kΩ の抵抗 $R_1$ と、値の分からない抵抗 $R_2$ を直列につないだところ、$R_2$ の両端の電圧が 3V になりました。$R_2$ は何kΩでしょうか？

【解き方】

1. $R_1$ の電圧を求める： 12 − 3 = 9V
2. 電流を求める： $9 \div 9000 = 0.001$ A（1mA）
3. $R_2$ を求める： $3 \div 0.001 = 3000$ Ω

答えは 3kΩ です。

比を使うと、もっと速く解けます。電圧の比は $V_1 : V_2 = 9 : 3 = 3 : 1$ です。直列では抵抗の比も同じ 3 : 1 なので、$R_2$ は 9kΩ の3分の1で 3kΩ です。

試験のポイント：直列の回路では「電圧の比 = 抵抗の比」です。電流を求めなくても、比だけで答えが出る問題がよく出ます。

このように、分圧では全体の電圧が抵抗の大きさに比例して分かれ、大きい抵抗ほど大きな電圧を受け持ちます。

以上が、分圧についてです。

並列接続とコンダクタンス：抵抗を横に並べる

並列接続では、どの抵抗にも同じ電圧がかかる

家の電気製品は並列。どれにも同じ約100V

改札を増やすほど、全体として多くの人が通れる

20Ωと30Ωの並列は、和分の積で12Ω

並列の合成抵抗は、いちばん小さい抵抗より小さい

抵抗の逆数がコンダクタンス。単位はジーメンス

4Ω・5Ω・20Ωの並列は、合計0.5Sで2Ω

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続いて、並列接続とコンダクタンスについて紹介します。

抵抗の両端をそれぞれまとめて、横に並べるようにつなぐことを 並列接続 と呼びます。電流の通り道が、抵抗の数だけ枝分かれします。

並列接続では、どの抵抗の両端も同じ2点につながっています。そのため、どの抵抗にも 同じ大きさの電圧 がかかります。家のコンセントがよい例です。テレビも冷蔵庫も並列につながっているので、どれにも同じ約 100V がかかります。

一方で、電流は枝ごとに分かれて流れ、全体の電流はそれぞれの枝の電流の合計になります。駅の改札にたとえると、改札の数を増やすほど、全体として通れる人数が増えるイメージです。通り道が増えるので、並列につなぐほど全体の電流は流れやすくなります。

並列接続の合成抵抗は、逆数の足し算で求めます。

$$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$$

なぜでしょうか？ 電圧 $V$ が共通なので、それぞれの電流は $V/R_1$ と $V/R_2$ です。全体の電流はその合計で、$I = V (1/R_1 + 1/R_2)$ となります。これを $I = V/R$ と比べると、上の式が出てきます。

2つの抵抗なら、式を整理した次の形が便利です。分母が和、分子が積なので、和分の積 と呼ばれます。

$$R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$$

具体的に計算してみましょう。20Ω と 30Ω を並列につなぐと、合成抵抗は次のとおりです。

$$R = \frac{20 \times 30}{20 + 30} = \frac{600}{50} = 12\ \Omega$$

12Ω は、小さいほうの 20Ω よりもさらに小さな値です。ここがポイントです。並列の合成抵抗は、いちばん小さい抵抗よりも小さくなります。 道が増えるほど流れやすくなるからです。なお、同じ大きさの抵抗 $R$ を $n$ 個並列にすると、合成抵抗は $R/n$ になります。

ここで、抵抗の逆数に名前を付けておくと便利です。抵抗の逆数を コンダクタンス と呼びます。記号は $G$、単位は ジーメンス［S］ です。

$$G = \frac{1}{R}$$

抵抗が「流れにくさ」なのに対して、コンダクタンスは「流れやすさ」です。前回学んだ導電率は材料の通しやすさでしたが、コンダクタンスは、その部品全体の通しやすさを表します。オームの法則は $I = GV$ と書けます。

コンダクタンスを使うと、並列の計算がただの足し算になります。

$$G = G_1 + G_2 + G_3$$

せっかくなので、例も見てみましょう。4Ω・5Ω・20Ω の3つを並列につなぎます。コンダクタンスは 0.25S・0.2S・0.05S なので、合計は 0.5S です。合成抵抗は、その逆数で $1 \div 0.5 = 2$ Ω です。

試験のポイント：直列は抵抗の足し算、並列はコンダクタンスの足し算です。並列が3つ以上なら、和分の積をくり返すより、逆数で足すほうが速く確実です。

このように、並列接続では電圧が共通で、合成抵抗はコンダクタンス（抵抗の逆数）の足し算から求まり、いちばん小さい抵抗よりも小さくなります。

以上が、並列接続とコンダクタンスについてです。

分流：並列では電流を分け合う

太い管（小さい抵抗）のほうに、多く流れる

分流の式では、分子に相手の抵抗が入る

20Ωと30Ωに10Aを流すと、6Aと4Aに分かれる

並列部分の電圧120Vから、6Aと4Aを確かめる

分圧は自分の抵抗、分流は相手の抵抗が分子

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次に、分流について紹介します。

並列接続では、全体の電流がそれぞれの枝に分かれて流れます。このように電流が分かれることを 分流 と呼びます。

どの枝にも同じ電圧がかかるので、枝の電流 $V/R$ は抵抗に反比例します。つまり、小さい抵抗の枝ほど、たくさんの電流が流れる ということです。水道管が二股に分かれるとき、太い管のほうに多くの水が流れるのと同じです。

2つの抵抗 $R_1$・$R_2$ を並列につなぎ、全体に電流 $I$ が流れるとき、$R_1$ に流れる電流 $I_1$ は次のようになります。

$$I_1 = \frac{R_2}{R_1 + R_2} I$$

記号の意味は、$I_1$ が $R_1$ の電流［A］、$I$ が全体の電流［A］です。言葉で言うと、「全体の電流を、相手の抵抗の比で分ける」です。

ここで1つ注意があります。分圧の式と形がよく似ていますが、分子に入るのは 相手側の抵抗 $R_2$ です。抵抗が大きいほど電流は少ないので、自分の抵抗ではなく、相手の抵抗が分子に来ます。

具体的に計算してみましょう。20Ω と 30Ω を並列につなぎ、全体に 10A を流します。

$$I_1 = \frac{30}{20 + 30} \times 10 = 6\ \text{A}$$

30Ω のほうには、残りの 10 − 6 = 4A が流れます。確かめてみましょう。合成抵抗は前の節で求めた 12Ω なので、並列部分の電圧は 12 × 10 = 120V です。20Ω には 120 ÷ 20 = 6A、30Ω には 120 ÷ 30 = 4A が流れ、ぴったり一致します。

コンダクタンスで考えると、分流は「流れやすさの比で分ける」と言いかえられます。$I_1 = \dfrac{G_1}{G_1 + G_2} I$ で、分子に自分のコンダクタンスが入るので、分圧と同じ形で覚えられます。

試験のポイント：分圧は「自分の抵抗」、分流は「相手の抵抗」が分子です。逆にすると答えが入れかわるので、選択肢にその値が並んでいることがよくあります。

このように、分流では全体の電流が抵抗に反比例して分かれ、小さい抵抗の枝ほど大きな電流が流れます。

以上が、分流についてです。

直並列回路：組み合わせた回路を解く

内側からまとめて、外側から分けていく

8Ωの先に、20Ωと30Ωの並列がつながった回路

並列をまとめて12Ω、直列を足して全体で20Ω

全体の電流は5A。8Ωに40V、並列部分に60V

30Ωには60÷30で2A、20Ωには3Aが流れる

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最後に、直並列回路について紹介します。

実際の問題では、直列と並列が組み合わさった回路がよく出ます。これを 直並列回路 と呼びます。複雑に見えても、解き方の手順は決まっています。

【直並列回路の解き方】

1. 並列になっている部分を、1つの合成抵抗にまとめる
2. 残った直列の抵抗を足して、全体の合成抵抗を求める
3. オームの法則で、全体の電流を求める
4. 回路を元に戻しながら、分圧・分流で各部の電圧と電流を求める

入れ子の箱を、内側から1つずつ閉じていくイメージです。全体を1つにまとめたら、今度は箱を開けるように、外側から順に分けていきます。

例題：直並列回路の電流

100V の電源に、8Ω の抵抗 $R_1$ を直列につなぎ、その先に 20Ω の $R_2$ と 30Ω の $R_3$ を並列につないだ回路があります。（a）回路全体の合成抵抗と、（b）$R_3$ に流れる電流を求めましょう。

【解き方】

1. 並列部分をまとめる： $\dfrac{20 \times 30}{20 + 30} = 12$ Ω
2. 全体の合成抵抗を求める： 8 + 12 = 20 Ω
3. 全体の電流を求める： $100 \div 20 = 5$ A
4. $R_1$ の電圧を求める： 8 × 5 = 40V。並列部分の電圧は 100 − 40 = 60V
5. $R_3$ の電流を求める： $60 \div 30 = 2$ A

答えは、（a）20Ω、（b）2A です。

手順5は、分流の式でも求められます。$I_3 = \dfrac{20}{20 + 30} \times 5 = 2$ A です。$R_2$ には残りの 3A が流れ、$R_2$ と $R_3$ の電流を足すと、全体の 5A に戻ります。

細かい部分は覚えなくて大丈夫です。ここでは、「まとめてから、分ける」という順番だけ押さえておきましょう。

このように、直並列回路は、並列部分から順に合成抵抗にまとめ、全体の電流を求めてから、分圧・分流で各部に分けていけば解けます。

以上が、直並列回路についてです。

今回のまとめ

直列は電流が共通で、合成抵抗は足し算

分圧では、電圧が抵抗に比例して分かれる

並列は電圧が共通で、コンダクタンスの足し算

分流では、電流が抵抗に反比例して分かれる

直並列回路は、まとめてから分ける

キーワードは直列接続・並列接続・合成抵抗など

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それでは、今回の内容を振り返ります。

今回は、抵抗をつないだときの合成抵抗と、分圧・分流について紹介しました。抵抗のつなぎ方は、一列につなぐ直列と、横に並べる並列の2つだけです。直列は電流が共通で電圧を分け合い、並列は電圧が共通で電流を分け合う、と対にして覚えておきましょう。

今回のポイントを振り返りましょう。

振り返り

• 直列接続は電流が共通。合成抵抗は $R_1 + R_2 + \cdots$ の足し算。
• 分圧では、電圧が抵抗に比例して分かれる。分子は自分の抵抗。
• 並列接続は電圧が共通。合成抵抗は和分の積、またはコンダクタンスの足し算で求まる。
• 分流では、電流が抵抗に反比例して分かれる。分子は相手の抵抗。
• 直並列回路は、まとめてから分ける。

キーワードのおさらい

• 直列接続: 抵抗を枝分かれなしで一列につなぐこと。電流が共通
• 並列接続: 抵抗の両端をまとめて横に並べること。電圧が共通
• 合成抵抗: いくつもの抵抗を、同じはたらきをする1つの抵抗にまとめたもの
• 分圧: 直列の抵抗に、電圧が抵抗の比で分かれること
• 分流: 並列の抵抗に、電流が抵抗の逆比で分かれること
• コンダクタンス: 抵抗の逆数。流れやすさ。単位はジーメンス［S］

以上が、今回のまとめです。

さて、今回の回路は、直列と並列の組み合わせで1つにまとめられました。では、電源が2つあったり、どこが直列でどこが並列か分からない形をしていたりする回路は、どう解けばよいのでしょうか？

次回は、電流の分かれ道と電圧の一周に成り立つ「キルヒホッフの法則」について紹介します。

それでは、次の記事へ進んでいきましょう。