キルヒホッフの法則

理論-3　電気理論・電子理論・電気計測

キルヒホッフの電流則
キルヒホッフの電圧則
節点
閉回路
起電力
電圧降下

はじめに

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「電池が2つある回路は、どうやって解けばいいの……？」

前回の記事では、抵抗を直列や並列につないだときの合成抵抗と、分圧・分流を学びました。抵抗がいくつあっても、電池が1つなら、合成抵抗にまとめてオームの法則を使えば電流が求まります。

ところが、実際の回路はもっと複雑です。例えば、自動車には、エンジンで回る発電機とバッテリーの2つの電源があり、どちらもライトなどの電気製品につながっています。電源が2つ以上になると、直列と並列の組み合わせだけでは回路を整理できなくなります。

実は、どんなに複雑な回路でも、たった2つの決まりで電流と電圧を求められます。1つは「分かれ道で電流は消えない」、もう1つは「一周すると電圧の上り下りはつり合う」という決まりです。

そこで登場するのが、今回の主役「キルヒホッフの法則」です。ドイツの物理学者キルヒホッフがまとめた、回路の計算の土台になる2つの法則です。

今回の記事では、節点と閉回路という回路の見方と、キルヒホッフの電流則・電圧則、そして2つの法則を組み合わせて回路を解く手順について解説します。

節点と閉回路：回路の分かれ道と一周

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はじめに、節点と閉回路について紹介します。

キルヒホッフの法則を使うには、まず回路を地図のように眺めます。地図で大事なのは、道が分かれる交差点と、ぐるっと一周できる道順です。回路でも、この2つに名前が付いています。

導線が3本以上つながって、電流が分かれたり合流したりする点を節点と呼びます。道路でいえば交差点、川でいえば支流が合流する地点にあたります。回路図では、導線のつなぎ目に黒い点を打って表すことがよくあります。

節点と節点の間をつなぐ1本の道筋を枝と呼びます。1本の枝の中では電流は分かれないので、枝のどこでも電流の大きさは同じです。

一方、回路の中をたどって、もとの点に戻ってくる道筋を 閉回路 と呼びます。ループともいいます。公園の散歩道をぐるっと歩いて、出発した場所に戻ってくるイメージです。

具体的に見てみましょう。左の枝に電池 $E_1$ 、右の枝に電池 $E_2$ 、真ん中の枝に抵抗 $R_3$ があり、上の導線に抵抗 $R_1$ と $R_2$ が入った回路を考えます。3本の枝は、上のつなぎ目 a と下のつなぎ目 b で1つにまとまっています。この回路の節点は、a と b の2つです。

閉回路は、左半分を一周する道、右半分を一周する道、そして外側をぐるっと回る道の3つがあります。どの道順も、出発した点に戻ってくるので閉回路です。この回路は、このあとの例題でも使います。

このように、節点は電流の分かれ道、閉回路は回路を一周する道順で、キルヒホッフの法則はこの2つを舞台にして成り立ちます。

以上が、節点と閉回路についてです。

キルヒホッフの電流則：入る電流と出る電流は等しい

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次に、キルヒホッフの電流則について紹介します。

キルヒホッフの電流則 は、節点についての決まりです。キルヒホッフの第1法則とも呼ばれます。

【キルヒホッフの電流則】回路の節点に流れ込む電流の和は、その節点から流れ出る電流の和に等しい。

\text{流れ込む電流の和} = \text{流れ出る電流の和}

なぜでしょうか？電流は電荷の流れでした。電荷は、節点で急に消えたり、生まれたり、たまったりしません。だから、入ってきた電荷は、必ずどこかの枝から出ていきます。

水道管にたとえると分かりやすいです。1本の管が2本に分かれる所では、流れ込んだ水の量と、2本の管へ流れ出た水の量の合計が等しくなります。途中で水が消えることはないからです。

具体的に計算してみましょう。ある節点に 5A の電流が流れ込み、2A と $I$ ［A］の電流が流れ出ているとします。電流則より 5 = 2 + $I$ なので、 $I$ = 5 − 2 = 3A です。

せっかくなので、身近な例も見てみましょう。家庭の分電盤では、主幹のブレーカーを通った電流が、エアコンや照明などの回路に分かれます。主幹に 20A が流れ、エアコンの回路に 12A、照明の回路に 3A が流れているとき、残りのコンセントの回路には 20 − 12 − 3 = 5A が流れています。

電流則は、次のように書くこともできます。流れ込む電流をプラス、流れ出る電流をマイナスとして全部足すと、合計は 0 になります。

\sum I = 0

先ほどの節点なら、5 − 2 − 3 = 0 です。言葉で言うと、「節点では、電流の出入りの差し引きが 0」です。

例題：向きの分からない電流

ある節点に 3A の電流が流れ込み、別の導線から 5A の電流が流れ出ています。この節点につながる残り1本の導線の電流 $I$ を、節点から流れ出る向きと仮に決めて求めなさい。

【解き方】

流れ込む電流の和を求める： 3A
流れ出る電流の和を求める： $5 + I$ ［A］
電流則より $3 = 5 + I$ なので、 $I = 3 - 5 = -2$ A

答えは −2A です。マイナスは、「実際の向きは、仮に決めた向きと逆」という意味です。つまり、残りの導線からは 2A の電流が節点に流れ込んでいます。流れ込む電流は 3 + 2 = 5A、流れ出る電流は 5A で、確かにつり合っています。

試験のポイント：電流の向きが分からないときは、向きを仮に決めて式を立てます。答えがマイナスなら、実際の向きは逆です。向きを決め直して計算し直す必要はありません。

このように、キルヒホッフの電流則は「節点に流れ込む電流と流れ出る電流は等しい」という、電荷が消えないことを表す決まりです。

以上が、キルヒホッフの電流則についてです。

キルヒホッフの電圧則：一周すると電圧はつり合う

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続いて、キルヒホッフの電圧則について紹介します。

電圧則は、閉回路についての決まりです。その前に、電位の「上り坂」と「下り坂」にあたる2つの言葉を押さえておきます。1つずつ見ていきましょう。

1. 起電力と電圧降下

電池や発電機のように、電荷を押し上げて電位差を生み出すはたらきを 起電力 と呼びます。記号は $E$ で、単位は電圧と同じ ボルト［V］ です。電池の中を通ると、電位はマイナス極からプラス極へ、起電力の分だけ高くなります。水にたとえると、低い所の水を高い所へくみ上げるポンプにあたります。

一方、抵抗に電流が流れると、電位は下がります。この下がり幅が、オームの法則の記事で学んだ 電圧降下 です。大きさは $RI$ で、電流が流れていく向きに電位が下がります。水にたとえると、くみ上げた水が滝を流れ落ちる部分です。

2. 電圧則の式

キルヒホッフの電圧則 は、閉回路についての決まりです。キルヒホッフの第2法則とも呼ばれます。

【キルヒホッフの電圧則】回路の閉回路を一周するとき、起電力の和は、電圧降下の和に等しい。

\sum E = \sum RI

記号の意味は、 $E$ が起電力［V］、 $R$ が抵抗［Ω］、 $I$ が電流［A］です。言葉で言うと、「一周する間に電池で上がった電位の合計と、抵抗で下がった電位の合計は等しい」です。

なぜでしょうか？山歩きにたとえると分かります。山道を登ったり下ったりしても、出発点に戻ってくれば、高さの変化の合計は 0 です。電位も同じで、閉回路を一周してもとの点に戻れば、上がった分と下がった分は必ずつり合います。

具体的に計算してみましょう。12V の電池に 2Ω と 4Ω の抵抗を直列につなぐと、電流は 12 ÷ (2 + 4) = 2A です。電圧降下は、2Ω で 2 × 2 = 4V、4Ω で 4 × 2 = 8V です。合計すると 4 + 8 = 12V となり、起電力の 12V と等しくなります。前回学んだ分圧も、実は電圧則の1つの例だったのです。

ここで1つ注意があります。式を立てるときは、まず一周する向き（たどる向き）を決めます。そのうえで、次のように符号を付けます。

【符号の付け方】

起電力：たどる向きに電位を上げる（マイナス極からプラス極へ通る）ならプラス、逆ならマイナス
電圧降下：電流の向きがたどる向きと同じならプラス、逆ならマイナス

例題：向かい合う2つの電池

起電力 12V の電池と 3V の電池が、互いに逆向きに1つの閉回路に入っています。抵抗は 1Ω と 2Ω で、すべて直列です。回路に流れる電流は何Aでしょうか？

【解き方】

たどる向きを、12V の電池が電流を押し出す向きに決める。電流 $I$ も同じ向きと仮に決める
起電力の和を求める： 12V はたどる向きなので +12、3V は逆向きなので −3。合計は 12 − 3 = 9V
電圧降下の和を求める： $1 \times I + 2 \times I = 3I$
電圧則より $9 = 3I$ なので、 $I = 3$ A

答えは 3A です。電圧降下は、1Ω で 3V、2Ω で 6V、合計 9V となり、起電力の和と一致します。

試験のポイント：向かい合う電池は、起電力を引き算します。足し算してしまうミスが多いので、たどる向きと電池の向きを必ず見比べましょう。

このように、キルヒホッフの電圧則は「閉回路を一周すると、起電力の和と電圧降下の和が等しい」という、電位の上り下りがつり合う決まりです。

以上が、キルヒホッフの電圧則についてです。

回路の解き方：2つの法則を組み合わせる

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最後に、2つの法則を組み合わせた回路の解き方について紹介します。

電流則と電圧則を組み合わせると、電源が2つある回路も解けます。やることは連立方程式を立てて解くだけなので、手順を覚えれば機械的に進められます。

【キルヒホッフの法則で解く手順】

各枝の電流を、向きを仮に決めて $I_1$ 、 $I_2$ 、 $I_3$ のように置く
節点で電流則の式を立てる
閉回路を選び、たどる向きを決めて電圧則の式を立てる
連立方程式を解く。答えがマイナスなら、実際の向きは逆

式は、知りたい電流の数だけ立てれば足ります。なぞなぞで答えを1つに絞るには、知りたいことの数だけヒントが要るのと同じです。なお、節点が2つの回路では、電流則の式は1つで十分です。もう1つの節点で式を立てても、同じ内容の式になるからです。

例題：電池が2つある回路

節点と閉回路の節で見た回路で、 $E_1$ = 12V、 $R_1$ = 3Ω、 $E_2$ = 8V、 $R_2$ = 2Ω、 $R_3$ = 2Ω とします。左右の電池は、どちらも上側がプラス極です。各抵抗に流れる電流を求めなさい。

【解き方】

電流を置く： $R_1$ を節点 a へ向かう向きに $I_1$ 、 $R_2$ を節点 a へ向かう向きに $I_2$ 、 $R_3$ を下向きに $I_3$ とする
節点 a で電流則： $I_1 + I_2 = I_3$
左の閉回路（ $E_1$ → $R_1$ → $R_3$ の順に一周）で電圧則： $12 = 3I_1 + 2I_3$
右の閉回路（ $E_2$ → $R_2$ → $R_3$ の順に一周）で電圧則： $8 = 2I_2 + 2I_3$
2 の式を 3 と 4 に代入して整理する： $5I_1 + 2I_2 = 12$ 、 $I_1 + 2I_2 = 4$
上の式から下の式を引くと $4I_1 = 8$ より $I_1 = 2$ A。下の式から $I_2 = (4 - 2) \div 2 = 1$ A。 $I_3 = 2 + 1 = 3$ A

答えは、 $R_1$ に 2A、 $R_2$ に 1A、 $R_3$ に 3A です。どれもプラスなので、仮に決めた向きのとおりに流れています。節点 a と b の間の電圧は、 $R_3$ の電圧降下で 2 × 3 = 6V です。

せっかくなので、使わなかった外側の閉回路で答えを確かめてみましょう。時計回りにたどると、起電力の和は $E_1$ がプラス、 $E_2$ がマイナスで 12 − 8 = 4V です。電圧降下の和は、 $I_1$ がたどる向きと同じで $3 \times 2 = 6$ V、 $I_2$ が逆向きで $-2 \times 1 = -2$ V、合計 4V です。両方が 4V で一致するので、答えは正しいと分かります。