電位と電束

理論-8　電気理論・電子理論・電気計測

電位
等電位面
電位の傾き
電束
電束密度

はじめに

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「電界の『強さ』は分かった。でも、電圧とは何が違うの……？」

前回の記事では、電荷どうしにはたらく力を表すクーロンの法則と、その力の場である電界を学びました。電界は、その場所に +1C の電荷を置いたときに受ける力でした。

ところで、オームの法則の記事では、電圧を「電気的な高さの差」と説明しました。乾電池の 1.5V や、コンセントの 100V も、この高さの差です。では、静電気の世界で、この「高さ」はどう決まるのでしょうか？

山にたとえると、電界は「坂の急さ」、電圧は「高さの差」にあたります。地図に等高線を描くと、どこが高くて、どこの坂が急かが一目で分かります。実は、電気の世界にも、この等高線とまったく同じものがあります。

そこで登場するのが、今回の主役「電位」です。電界の中の「高さ」を表す量です。そして、まわりの物質に左右されない電気の線として「電束」も紹介します。

今回の記事では、電位の意味と求め方、等電位面と電位の傾き、そして電束と電束密度について解説します。

電位：電界の中の高さ

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はじめに、電位について紹介します。

坂の上にボールを置くと、ボールは下へ転がります。ボールを坂の上まで運ぶには、重力に逆らって仕事をする必要があります。高い場所ほど、運ぶのに多くの仕事が要ります。

電気でも同じです。正の電荷 $Q$ の近くに、別の正の電荷を近づけるには、反発する力に逆らって仕事をする必要があります。そこで、+1C の電荷を、基準の点からその場所まで運ぶのに必要な仕事 を、その場所の電位と呼びます。単位は ボルト［V］ です。1V は、1C あたり 1J の仕事にあたります。

基準の点は、ふつう電荷から無限に遠い所（無限遠）にとり、そこを 0V とします。回路の問題で大地を 0V にしたのと同じく、高さを測る「地面」を決めておくわけです。

1. 点電荷のまわりの電位

真空中の点電荷 $Q$ から距離 $r$ の場所の電位は、次の式で表されます。

V = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r} \fallingdotseq 9 \times 10^9 \times \frac{Q}{r}

記号の意味は、 $V$ が電位［V］、 $Q$ が電荷［C］、 $r$ が距離［m］、 $\varepsilon_0$ が真空の誘電率［F/m］です。言葉で言うと、「電位は電荷に比例し、距離に反比例する」です。

ここがポイントです。前回学んだ電界は距離の2乗に反比例しましたが、電位は距離に反比例します。分母が $r^2$ か $r$ かの違いは、試験でよく問われます。

具体的に計算してみましょう。 $1\ \mu\text{C}$ の正の点電荷から 0.3m の点の電位は、 $9 \times 10^9 \times 1 \times 10^{-6} \div 0.3 = 3 \times 10^4$ V です。0.6m の点では $1.5 \times 10^4$ V で、距離が2倍になると電位は半分になります。

2. 電位差と仕事

2つの点の電位の差が 電位差、つまり電圧です。電荷 $q$ を、電位の低い点から高い点へ運ぶのに必要な仕事は、次の式で求まります。

W = qV

記号の意味は、 $W$ が仕事［J］、 $q$ が運ぶ電荷［C］、 $V$ が2点の電位差［V］です。

先ほどの例で、 $2\ \mu\text{C}$ の正の電荷を 0.6m の点から 0.3m の点へ運ぶと、電位差は $3 \times 10^4 - 1.5 \times 10^4 = 1.5 \times 10^4$ V です。必要な仕事は $2 \times 10^{-6} \times 1.5 \times 10^4 = 0.03$ J です。

3. 電位の足し合わせ

電荷が2つ以上あるときの電位は、それぞれの電荷が作る電位を足し合わせます。電界と違って、電位は向きをもたない量（スカラー） なので、ただの足し算で済みます。負の電荷が作る電位は、マイナスとして足します。

例題：2つの電荷の中点の電位

真空中で、 $+2\ \mu\text{C}$ の点電荷を点 A に、 $-1\ \mu\text{C}$ の点電荷を点 B に置きます。AB 間の距離は 0.3m です。AB の中点 M の電位を求めなさい。ただし、 $\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 9 \times 10^9$ とします。

【解き方】

中点 M までの距離は、A からも B からも 0.15m
A の電荷による電位： $9 \times 10^9 \times 2 \times 10^{-6} \div 0.15 = 1.2 \times 10^5$ V
B の電荷による電位： $9 \times 10^9 \times (-1 \times 10^{-6}) \div 0.15 = -6 \times 10^4$ V
足し合わせる： $1.2 \times 10^5 - 6 \times 10^4 = 6 \times 10^4$ V

答えは $6 \times 10^4$ V です。向きを考えずに、符号付きで足すだけで求まりました。

試験のポイント：同じ大きさの正と負の電荷の中点では、電位は 0 ですが、電界は 0 ではありません。電位はスカラーで打ち消し合い、電界はベクトルで同じ向きに重なるからです。

このように、電位は +1C を基準の点から運ぶのに必要な仕事で表す「電気の高さ」で、点電荷のまわりでは距離に反比例します。

以上が、電位についてです。

等電位面と電位の傾き：電気の等高線と坂の急さ

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次に、等電位面と電位の傾きについて紹介します。

地図の等高線は、同じ高さの地点を結んだ線です。電気でも、電位が等しい点を結んでできる面を 等電位面 と呼びます。平面の図に描くと、等高線のような線（等電位線）になります。

点電荷のまわりでは、電位は距離だけで決まるので、等電位面は電荷を中心とする球面です。玉ねぎの皮が何層も重なったような形をしています。

【等電位面の性質】

等電位面の上で電荷を動かしても、仕事はいらない（高さが変わらないから）
電気力線は、等電位面と直角に交わる
違う電位の等電位面どうしは交わらない

山道でも、等高線に沿って歩けば、上りも下りもなく楽に進めます。そして、ボールが転がり落ちる向き（いちばん急な向き）は、等高線と直角です。電気力線と等電位面が直角に交わるのは、このためです。

1. 電位の傾き

山の等高線が混み合っている場所は、坂が急です。電気も同じで、等電位面が混み合っている場所ほど、電界が強くなります。電界の強さは、距離あたりの電位の変化、つまり 電位の傾き に等しいのです。

E = \frac{V}{d}

記号の意味は、 $E$ が電界の強さ［V/m］、 $V$ が2点の電位差［V］、 $d$ が電界の向きに測った2点の距離［m］です。この式は、平行な金属板の間のように、電界がどこでも同じ（一様な）場所で使えます。電界の単位が［V/m］なのは、「1m 進むと何V 下がるか」を表しているからです。

電界の向きは、電位が下がる向きです。ボールが坂を下る向きに転がるのと同じで、正の電荷は電位の高い所から低い所へ押されます。

補足（ここは読み飛ばしてOK）：電界が一様でないときは、ごく短い距離 $\Delta x$ で電位が $\Delta V$ 変わるとして、 $E = -\dfrac{\Delta V}{\Delta x}$ と表します。マイナスは、電位が下がる向きに電界が向くことを表します。

例題：平行な金属板の間の電界と電位

2枚の平行な金属板を 5mm 離して置き、200V の電圧をかけます。負の側の板を 0V とします。板の間の電界の強さと、負の側の板から 2mm の点の電位を求めなさい。

【解き方】

距離をメートルに直す： 5mm = $5 \times 10^{-3}$ m
電界を求める： $E = 200 \div (5 \times 10^{-3}) = 4 \times 10^4$ V/m
2mm の点の電位を求める： 1m あたり $4 \times 10^4$ V 上がるので、 $4 \times 10^4 \times 2 \times 10^{-3} = 80$ V

答えは、電界 $4 \times 10^4$ V/m、電位 80V です。板の間では、電位は距離に比例してまっすぐ上がっていきます。200V × 2/5 = 80V と、比で求めることもできます。

試験のポイント：mm を m に直し忘れるミスが多いです。 $E = V/d$ の $d$ は、必ずメートルで入れましょう。

このように、等電位面は電位の等しい点を結んだ面で、電界の強さは電位の傾き（距離あたりの電位の変化）に等しくなります。

以上が、等電位面と電位の傾きについてです。

電束と電束密度：物質に左右されない電気の線

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最後に、電束と電束密度について紹介します。

前回学んだガウスの法則では、電荷 $Q$ から出る電気力線は $Q/\varepsilon$ 本でした。つまり、電気力線の本数は、まわりの物質の誘電率 $\varepsilon$ によって変わります。空気の中と油の中では、同じ電荷から出る線の数が違ってしまうのです。

これでは、物質が入りまじった場所で考えるときに不便です。そこで、まわりの物質に関係なく、電荷 $Q$ ［C］から $Q$ 本出る と決めた線を考えます。これを電束と呼びます。電束の単位は、電荷と同じ クーロン［C］ です。

たとえ話で言うと、電束は「水道の蛇口から出る水の量」、電気力線は「その水が管の中で示す勢い」のようなものです。蛇口から出る水の量は、先につなぐ管の種類によらず同じです。電束も、物質によらず電荷の量だけで決まります。

1. 電束密度

1m² あたりを通る電束の量を 電束密度 と呼びます。記号は $D$ 、単位は［C/m²］です。電束密度と電界の間には、次の関係があります。

D = \varepsilon E

記号の意味は、 $D$ が電束密度［C/m²］、 $\varepsilon$ が誘電率［F/m］、 $E$ が電界の強さ［V/m］です。言葉で言うと、「電束密度は、電界に誘電率を掛けたもの」です。

真空中の点電荷 $Q$ から距離 $r$ の場所では、 $Q$ 本の電束が球の表面積 $4\pi r^2$ に均等に広がります。

D = \frac{Q}{4\pi r^2}

この式には $\varepsilon$ が入っていません。電束密度は、物質によらず電荷と距離だけで決まるのです。

具体的に計算してみましょう。 $2\ \mu\text{C}$ の点電荷から 0.2m の点の電束密度は、 $2 \times 10^{-6} \div (4\pi \times 0.2^2) \fallingdotseq 3.98 \times 10^{-6}$ C/m² です。真空中なら、電界は $D \div \varepsilon_0 \fallingdotseq 4.5 \times 10^5$ V/m です。前回の電界の式 $9 \times 10^9 \times 2 \times 10^{-6} \div 0.2^2$ で計算しても、同じ値になります。

もし、まわりが誘電率 $2\varepsilon_0$ の物質で満たされていたら、どうなるでしょうか？電束密度 $D$ は同じ $3.98 \times 10^{-6}$ C/m² のままで、電界 $E = D/\varepsilon$ は半分の約 $2.25 \times 10^5$ V/m になります。

2. 平行な金属板の電束密度

2枚の平行な金属板に $+Q$ と $-Q$ の電荷を与えると、電束は $+Q$ の板から $-Q$ の板へまっすぐ、均等に通ります。板の面積を $A$ ［m²］とすると、電束密度は次のとおりです。

D = \frac{Q}{A}

例えば、面積 0.04m² の板に $2\ \mu\text{C}$ の電荷を与えると、 $D = 2 \times 10^{-6} \div 0.04 = 5 \times 10^{-5}$ C/m² です。板の間の電界は $E = D/\varepsilon$ で求まります。この関係は、次回のコンデンサの記事で、そのまま使います。