電験三種 学習ノート

はじめに

小さな電池なのに、フラッシュはなぜ強く一瞬で光れるのか

向かい合わせた2枚の金属板が、電気をためる部品

電池がポンプなら、この部品は水をためるタンク

主役はコンデンサと、ためられる量を表す静電容量

静電容量から静電エネルギーまで、順に学んでいく

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「カメラのフラッシュは、小さな電池なのに、どうしてあんなに強く一瞬で光れるの……？」

前回の記事では、電界の中の高さにあたる電位と、物質によらない電気の線である電束を学びました。最後に、平行な金属板に電荷を与えると、板の間に電束がまっすぐ通ることも見ました。

実は、この「向かい合わせた2枚の金属板」こそが、電気をためる部品の正体です。カメラのフラッシュは、電池から少しずつ電気をためておき、それを一気に放出して光ります。家電の電源回路やエアコンのモーター、電力会社の設備にも、電気をためる部品がたくさん使われています。

水にたとえると、電池が「ポンプ」なら、この部品は「水をためるタンク」です。タンクの大きさ、ためられる量、ためたエネルギーには、それぞれ決まった計算式があります。

そこで登場するのが、今回の主役「コンデンサ」です。そして、コンデンサがどれだけ電荷をためられるかを表す量が「静電容量」です。

今回の記事では、コンデンサと静電容量の意味、平行平板コンデンサと比誘電率、コンデンサをつないだときの合成静電容量、そしてコンデンサにたまる静電エネルギーについて解説します。

コンデンサと静電容量：電荷をためる部品

2枚の電極をすき間をあけて向かい合わせる

電池をつなぐと、電極に+Qと−Qがたまる

電池を外しても、たまった電荷はそのまま残る

電荷は電圧に比例。Q = CVのCが静電容量

1Fは大きいので、μF・nF・pFをよく使う

同じ水位なら、底面積の広いタンクほど多くたまる

10μFに100Vで1×10⁻³C。200Vなら2倍

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はじめに、コンデンサと静電容量について紹介します。

2枚の金属板（電極）を、すき間をあけて向かい合わせた部品を コンデンサ と呼びます。キャパシタともいいます。2枚の電極の間は、空気や絶縁物で隔てられていて、電流は通り抜けられません。

コンデンサに電池をつなぐと、電池のプラス側につないだ電極に $+Q$、マイナス側につないだ電極に $-Q$ の電荷がたまります。電池を外しても、電荷はそのまま残ります。これが「電気をためる」ということです。

ためられる電荷の量は、かけた電圧に比例します。

$$Q = CV$$

記号の意味は、$Q$ がたまる電荷［C］、$V$ がかけた電圧［V］、$C$ が比例の定数です。この $C$ を 静電容量 と呼び、単位は ファラド［F］ です。言葉で言うと、「1V あたり何クーロンためられるか」が静電容量です。

1F はとても大きな値なので、実際には次の小さな単位をよく使います。

【静電容量の単位】

• 1 μF（マイクロファラド）= $10^{-6}$ F
• 1 nF（ナノファラド）= $10^{-9}$ F
• 1 pF（ピコファラド）= $10^{-12}$ F

水のタンクにたとえると、電圧は「水を押し込む圧力」、電荷は「たまった水の量」、静電容量は「タンクの底面積」です。底面積の広いタンクほど、同じ水位まで入れたときに多くの水がたまります。

具体的に計算してみましょう。静電容量 $10\ \mu\text{F}$ のコンデンサに 100V をかけると、たまる電荷は $Q = 10 \times 10^{-6} \times 100 = 1 \times 10^{-3}$ C です。電圧を 2倍の 200V にすると、電荷も2倍の $2 \times 10^{-3}$ C になります。

このように、コンデンサは2枚の電極に電荷をためる部品で、たまる電荷は $Q = CV$、その比例の定数が静電容量です。

以上が、コンデンサと静電容量についてです。

平行平板コンデンサと比誘電率：容量を決めるもの

平行平板コンデンサの容量はC = εA/d

電極が広いほど、間隔が狭いほど容量は大きい

比誘電率εrの物質を入れると、容量はεr倍

真空は1、空気もほぼ1。絶縁物は1より大きい

比誘電率は、タンクに入れるスポンジの吸い込みやすさ

10cm四方を1mm離すと約88.5pF。εr = 5で約443pF

εr = 4の例では、500Vで約1.77×10⁻⁷Cたまる

容量は面積とεrに比例し、間隔に反比例する

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次に、平行平板コンデンサと比誘電率について紹介します。

同じ面積の2枚の平らな電極を、平行に向かい合わせたコンデンサを 平行平板コンデンサ と呼びます。電験三種で最もよく出るコンデンサです。その静電容量は、電極の形と、間にある物質で決まります。

$$C = \frac{\varepsilon A}{d} = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon_r A}{d}$$

記号の意味は、$C$ が静電容量［F］、$A$ が電極の面積［m²］、$d$ が電極の間隔［m］、$\varepsilon$ が間の物質の誘電率［F/m］です。言葉で言うと、「電極が広いほど、間隔が狭いほど、静電容量は大きい」です。

なぜこの式になるのでしょうか？ 前回学んだように、電極に $Q$ をためると、電束密度は $D = Q/A$ です。電界は $E = D/\varepsilon = Q/(\varepsilon A)$ で、電極の間の電圧は $V = Ed = Qd/(\varepsilon A)$ です。$C = Q/V$ に代入すると、$C = \varepsilon A/d$ が得られます。

1. 比誘電率

$\varepsilon_r$ は 比誘電率 と呼ばれ、間の物質の誘電率が、真空の誘電率 $\varepsilon_0$ の何倍かを表します。単位はありません。真空は 1 で、空気もほぼ 1 です。紙や油、雲母、磁器などの絶縁物は 1 より大きな値をもちます。

電極の間に比誘電率 $\varepsilon_r$ の物質をすき間なく入れると、静電容量は $\varepsilon_r$ 倍になります。同じ大きさのコンデンサでも、間に入れる物質を選ぶだけで、たくさんの電荷をためられるようになるのです。

たとえ話で言うと、比誘電率は「タンクの内側に入れるスポンジの吸い込みやすさ」のようなものです。よく吸うスポンジを入れると、同じ圧力で、より多くの水を抱え込めます。

具体的に計算してみましょう。面積 0.01m²（10cm 四方）の電極を 1mm 離した、真空の平行平板コンデンサの静電容量は次のとおりです。

$$C = \frac{8.854 \times 10^{-12} \times 0.01}{1 \times 10^{-3}} \fallingdotseq 8.85 \times 10^{-11}\ \text{F}$$

つまり、約 88.5 pF です。間に比誘電率 5 の絶縁物を入れると、5倍の約 443 pF になります。

例題：平行平板コンデンサの電荷

面積 0.02m² の電極を 2mm 離し、間に比誘電率 4 の絶縁物を入れた平行平板コンデンサがあります。このコンデンサに 500V をかけたとき、たまる電荷は何Cでしょうか？ ただし、真空の誘電率を $8.854 \times 10^{-12}$ F/m とします。

【解き方】

1. 間隔をメートルに直す： 2mm = $2 \times 10^{-3}$ m
2. 静電容量を求める： $C = 8.854 \times 10^{-12} \times 4 \times 0.02 \div (2 \times 10^{-3}) \fallingdotseq 3.54 \times 10^{-10}$ F
3. 電荷を求める： $Q = CV = 3.54 \times 10^{-10} \times 500 \fallingdotseq 1.77 \times 10^{-7}$ C

答えは、約 $1.77 \times 10^{-7}$ C です。

試験のポイント：静電容量は面積に比例し、間隔に反比例し、比誘電率に比例します。「間隔を2倍、面積を2倍にしたら？」のように、比で答える問題がよく出ます。

このように、平行平板コンデンサの静電容量は $C = \varepsilon_0 \varepsilon_r A/d$ で、電極の面積・間隔と、間の物質の比誘電率で決まります。

以上が、平行平板コンデンサと比誘電率についてです。

合成静電容量：コンデンサをつなぐ

つなぎ方は直列と並列。計算の形は抵抗と逆

並列ではどれにも同じ電圧。合成は足し算

並列は、タンクを横に並べて底面積を足すのと同じ

直列ではどのコンデンサにも同じ電荷Qがたまる

直列は間隔を広げたのと同じで、容量は小さくなる

抵抗は直列が足し算、コンデンサは並列が足し算

2μFと3μFの直列に100V。合成は1.2μF

直列では、容量の小さいほうに大きな電圧がかかる

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続いて、合成静電容量について紹介します。

いくつかのコンデンサを、同じはたらきをする1つのコンデンサにまとめたときの静電容量を 合成静電容量 と呼びます。合成抵抗の記事と同じく、直列と並列の2通りがあります。ただし、計算の形が抵抗とは逆になる点に注意しましょう。1つずつ見ていきましょう。

1. 並列接続

コンデンサを並列につなぐと、どのコンデンサにも同じ電圧がかかります。たまる電荷はそれぞれ $C_1 V$、$C_2 V$ なので、合計は $(C_1 + C_2)V$ です。

$$C = C_1 + C_2$$

並列の合成静電容量は、足し算です。タンクを横に並べてつなぐと、底面積が足し合わされて大きなタンクになるのと同じです。電極の面積を広げたのと同じだ、と考えることもできます。

2. 直列接続

コンデンサを直列につなぐと、どのコンデンサにも 同じ電荷 $Q$ がたまります。間の電極どうしは外とつながっていないので、静電誘導で $+Q$ と $-Q$ が同じ量ずつ現れるからです。電圧は $Q/C_1$ と $Q/C_2$ に分かれ、合計が全体の電圧になります。

$$\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$$

直列の合成静電容量は、逆数の和の逆数です。2つなら $C = \dfrac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}$（和分の積）です。直列にすると、電極の間隔を広げたのと同じになるので、静電容量は小さくなります。

【抵抗とコンデンサの合成の比較】

• 抵抗： 直列は足し算、並列は逆数の和の逆数
• コンデンサ： 並列は足し算、直列は逆数の和の逆数

例題：直列のコンデンサにかかる電圧

$2\ \mu\text{F}$ と $3\ \mu\text{F}$ のコンデンサを直列につなぎ、100V をかけました。合成静電容量と、それぞれのコンデンサにかかる電圧を求めなさい。

【解き方】

1. 合成静電容量を求める： $2 \times 3 \div (2 + 3) = 1.2\ \mu\text{F}$
2. たまる電荷を求める： $Q = 1.2 \times 10^{-6} \times 100 = 1.2 \times 10^{-4}$ C（どちらも同じ）
3. $2\ \mu\text{F}$ の電圧： $1.2 \times 10^{-4} \div (2 \times 10^{-6}) = 60$ V
4. $3\ \mu\text{F}$ の電圧： $1.2 \times 10^{-4} \div (3 \times 10^{-6}) = 40$ V

答えは、合成静電容量 $1.2\ \mu\text{F}$、電圧は $2\ \mu\text{F}$ に 60V、$3\ \mu\text{F}$ に 40V です。60 + 40 = 100V で、全体の電圧と一致します。同じ2つを並列につなぐと、合成静電容量は $2 + 3 = 5\ \mu\text{F}$ です。

試験のポイント：直列のコンデンサでは、静電容量の小さいほうに大きな電圧 がかかります。抵抗の分圧（大きい抵抗に大きな電圧）と逆なので、取り違えに注意しましょう。

このように、合成静電容量は並列なら足し算、直列なら逆数の和の逆数で、抵抗とは計算の形が逆になります。

以上が、合成静電容量についてです。

静電エネルギー：コンデンサにたまるエネルギー

ためたエネルギーを一気に出して、フラッシュが光る

静電エネルギーは½QV = ½CV² = Q²/2C

電圧は0から上がるので平均V/2。だから½が付く

ばねは縮むほど強く押し返す。たまるのは半分

10μFに100Vで0.05J。電圧2倍でエネルギー4倍

電荷一定で間隔を2倍にすると、0.005Jが0.01Jに

電源を外せば電荷が一定、つないだままなら電圧が一定

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最後に、静電エネルギーについて紹介します。

電荷をためたコンデンサは、エネルギーを蓄えています。カメラのフラッシュが一瞬で強く光れるのは、このエネルギーを一気に放出するからです。コンデンサに蓄えられるエネルギーを 静電エネルギー と呼びます。

$$W = \frac{1}{2} QV = \frac{1}{2} CV^2 = \frac{Q^2}{2C}$$

記号の意味は、$W$ が静電エネルギー［J］、$Q$ が電荷［C］、$V$ が電圧［V］、$C$ が静電容量［F］です。3つの形は、$Q = CV$ を使って書きかえたものです。

なぜ $\dfrac{1}{2}$ が付くのでしょうか？ 電荷を $W = qV$ のように「電荷 × 電圧」と計算したくなりますが、充電の途中では、電圧は 0 から少しずつ上がっていきます。最初の電荷は低い電圧で、最後の電荷だけが電圧 $V$ で運び込まれます。平均すると $V/2$ の電圧で $Q$ を運んだことになるので、$\dfrac{1}{2}$ が付くのです。

たとえ話で言うと、ばねを縮めるときに似ています。縮め始めは軽い力で済みますが、縮むほど押し返す力が強くなります。たまるエネルギーは、「最後の力 × 縮めた長さ」の半分です。

具体的に計算してみましょう。$10\ \mu\text{F}$ のコンデンサを 100V で充電すると、静電エネルギーは $\dfrac{1}{2} \times 10 \times 10^{-6} \times 100^2 = 0.05$ J です。電圧を2倍の 200V にすると、エネルギーは $2^2 = 4$ 倍の 0.2J になります。

例題：電極の間隔を広げたときのエネルギー

$1\ \mu\text{F}$ の平行平板コンデンサを 100V で充電した後、電源を外しました。その後、電極の間隔を2倍に広げました。広げる前と後の静電エネルギーをそれぞれ求めなさい。

【解き方】

1. 電荷を求める： $Q = 1 \times 10^{-6} \times 100 = 1 \times 10^{-4}$ C。電源を外したので、この後も電荷は変わらない
2. 広げる前のエネルギー： $W = \dfrac{1}{2} \times 1 \times 10^{-6} \times 100^2 = 0.005$ J
3. 間隔が2倍なので、静電容量は半分の $0.5\ \mu\text{F}$
4. 広げた後のエネルギー： $W = \dfrac{Q^2}{2C} = (1 \times 10^{-4})^2 \div (2 \times 0.5 \times 10^{-6}) = 0.01$ J

答えは、前が 0.005J、後が 0.01J です。電荷が一定のまま静電容量が半分になったので、電圧は 200V に上がり、エネルギーは2倍になりました。増えた分のエネルギーは、引き合う2枚の電極を引き離すためにした仕事から来ています。

試験のポイント：電源を外した後は「電荷が一定」、電源につないだままなら「電圧が一定」です。どちらの条件かで、使う式（$Q^2/(2C)$ か $CV^2/2$ か）が変わります。

このように、コンデンサには静電エネルギー $W = \dfrac{1}{2} CV^2$ が蓄えられ、電圧の2乗に比例して大きくなります。

以上が、静電エネルギーについてです。

今回のまとめ

たまる電荷はQ = CV。単位はファラド［F］

C = ε₀εrA/d。面積とεrに比例、間隔に反比例

並列は足し算、直列は逆数の和の逆数

静電エネルギーは½QV = ½CV² = Q²/2C

キーワードはコンデンサ・静電容量・比誘電率など

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それでは、今回の内容を振り返ります。

今回は、コンデンサと静電容量について紹介しました。コンデンサは電荷をためるタンクで、その大きさが静電容量です。電極の形と間の物質で容量が決まり、つなぎ方で合成の容量が決まり、ためた電荷はエネルギーとして取り出せます。

今回のポイントを振り返りましょう。

振り返り

• コンデンサにたまる電荷は $Q = CV$。静電容量の単位はファラド［F］。
• 平行平板コンデンサは $C = \varepsilon_0 \varepsilon_r A/d$。面積と比誘電率に比例し、間隔に反比例する。
• 合成静電容量は、並列なら足し算、直列なら逆数の和の逆数。直列では容量の小さいほうに大きな電圧がかかる。
• 静電エネルギーは $W = \dfrac{1}{2} QV = \dfrac{1}{2} CV^2 = \dfrac{Q^2}{2C}$。

キーワードのおさらい

• コンデンサ: 2枚の電極を向かい合わせ、電荷をためる部品
• 静電容量: 1V あたりにためられる電荷の量。$C = Q/V$。単位はファラド［F］
• 平行平板コンデンサ: 平らな2枚の電極を平行に向かい合わせたコンデンサ。$C = \varepsilon A/d$
• 比誘電率: 物質の誘電率が真空の誘電率の何倍かを表す値。単位はない
• 合成静電容量: いくつかのコンデンサを、同じはたらきの1つのコンデンサにまとめたときの静電容量
• 静電エネルギー: コンデンサに蓄えられるエネルギー。$W = \dfrac{1}{2} CV^2$

以上が、今回のまとめです。

さて、ここまでの静電気の分野では、止まった電荷が作る電界を学びました。では、電荷が動いて電流になると、まわりには何が生まれるのでしょうか？ 電線のそばに方位磁針を置くと、針が動くことが知られています。

次回は、電流のまわりにできる磁界の向きと大きさを学ぶ「電流と磁界」について紹介します。

それでは、次の記事へ進んでいきましょう。