電験三種 学習ノート

理論・電力・機械・法規を、試験科目の範囲の順に記事と練習問題で学ぶ

理論-7　電気理論・電子理論・電気計測

静電気と電界

  • 静電誘導
  • クーロンの法則
  • 誘電率
  • 電界
  • 電気力線
  • ガウスの法則

はじめに

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「冬にドアノブを触ると、パチッとくる。あの静電気は、いったい何なの……？」

前回の記事では、電力と電力量、ジュールの法則を学びました。ここまでは、電池につないだ回路の中を電流が流れ続ける場面を見てきました。

ところが、電気には、流れずにその場にたまったままの電気もあります。下敷きで髪をこすると、髪の毛が下敷きに吸い寄せられます。乾いた日にセーターを脱ぐと、パチパチと音がします。これらは、こすり合わせたことで物に電気がたまり、その電気どうしが力を及ぼし合っている現象です。

実は、たまった電気どうしにはたらく力は、離れていても届きます。磁石どうしが触れなくても引き合うのと同じです。そして、その力の強さは、距離と電気の量だけで決まるとても単純な式で表せます。

そこで登場するのが、今回の主役「クーロンの法則」と「電界」です。電験三種の理論では、ここから静電気の分野が始まります。

今回の記事では、静電誘導、クーロンの法則と誘電率、電界、そして電気力線とガウスの法則について解説します。

静電気と静電誘導：たまった電気の性質

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はじめに、静電気と静電誘導について紹介します。

物にたまって動かない電気を 静電気 と呼びます。オームの法則の記事で学んだように、電気の量は電荷で表し、単位は クーロン［C］ です。電荷にはプラス（正）とマイナス（負）の2種類があります。

電荷どうしには、次の決まりがあります。

【電荷どうしにはたらく力】

  • 同じ種類（正と正、負と負）： 反発し合う（斥力）
  • 違う種類（正と負）： 引き合う（引力）

磁石の N 極と S 極が引き合い、N 極どうしが反発するのと似ています。

では、電気を帯びていない物は、帯電した物に引き寄せられないのでしょうか？ 実は、引き寄せられます。それを説明するのが、静電誘導です。

金属のように電気を通す物（導体）の中には、自由に動き回れる電子がたくさんあります。そこに、正に帯電した棒を近づけると、負の電荷をもつ電子が棒のほうへ引き寄せられます。その結果、金属の 棒に近い側には負の電荷、遠い側には正の電荷 が現れます。この現象を 静電誘導 と呼びます。

たとえ話で考えてみましょう。教室の片側に人気者が来ると、生徒たちがそちらへ寄っていき、反対側の席が空きます。生徒の数は変わらないのに、片側が混み、反対側がすくのです。静電誘導も、金属全体の電荷の合計は 0 のまま、電荷が片寄るだけです。

片寄った結果、棒に近い負の電荷との引力は、遠い正の電荷との斥力より強くなります。後で学ぶように、力は距離が近いほど強いからです。だから、帯電していない金属も、帯電した棒に引き寄せられます。

具体的な例を見てみましょう。帯電した下敷きを、机の上の小さなアルミ箔に近づけると、アルミ箔が跳び上がって下敷きにくっつきます。アルミ箔の中で静電誘導が起き、下敷きに近い側に反対の電荷が集まったためです。

試験のポイント：静電誘導では、帯電体に近い側に「反対の符号」、遠い側に「同じ符号」の電荷が現れます。導体全体の電荷の合計は変わりません。

このように、静電気は同じ符号どうしが反発し、違う符号どうしが引き合います。導体に帯電体を近づけると、静電誘導で電荷が片寄ります。

以上が、静電気と静電誘導についてです。

クーロンの法則と誘電率：電荷どうしにはたらく力

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次に、クーロンの法則と誘電率について紹介します。

2つの電荷の間にはたらく力の大きさを表すのが、クーロンの法則 です。

F=Q1Q24πε0r2≒9×109×Q1Q2r2F = \frac{Q_1 Q_2}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \fallingdotseq 9 \times 10^9 \times \frac{Q_1 Q_2}{r^2}

記号の意味は、FF が力［N］、Q1Q_1・Q2Q_2 がそれぞれの電荷［C］、rr が電荷の間の距離［m］です。言葉で言うと、「力は電荷の積に比例し、距離の2乗に反比例する」です。

ε0\varepsilon_0（イプシロン・ゼロ）は 真空の誘電率 と呼ばれる定数で、ε0≒8.854×10−12\varepsilon_0 \fallingdotseq 8.854 \times 10^{-12} F/m です。ここから計算すると、14πε0≒9×109\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \fallingdotseq 9 \times 10^9 になります。電験の計算では、この 9×1099 \times 10^9 をよく使います。

距離の2乗に反比例するのがポイントです。電灯の光が、離れるほど広い範囲に広がって暗くなるのと似ています。距離が2倍になると力は4分の1、3倍になると9分の1です。

1. 誘電率

誘電率 は、電荷のまわりの物質（媒質）が、電気の力をどれだけ弱めるかを表す値です。記号は ε\varepsilon で、単位は［F/m］（ファラド毎メートル）です。真空以外の物質の中では、クーロンの法則の ε0\varepsilon_0 を、その物質の誘電率 ε\varepsilon に置きかえます。

F=Q1Q24πεr2F = \frac{Q_1 Q_2}{4\pi\varepsilon r^2}

物質の誘電率は真空より大きいので、同じ電荷・同じ距離でも、力は真空中より小さくなります。物質の誘電率が真空の何倍かを表す値を比誘電率と呼びます。比誘電率は、コンデンサの記事で詳しく学びます。

たとえ話で言うと、誘電率は「力の伝わりにくさ」のようなものです。プールの中で手を振っても、空気中ほど速く動かせないように、物質の中では電気の力が弱まります。

例題：2つの電荷にはたらく力

真空中で、2 μC2\ \mu\text{C} と 3 μC3\ \mu\text{C} の正の点電荷が 0.3m 離れて置かれています。2つの電荷の間にはたらく力の大きさと向きを求めなさい。ただし、14πε0=9×109\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 9 \times 10^9 とします。

【解き方】

  1. 単位をそろえる： 2 μC=2×10−62\ \mu\text{C} = 2 \times 10^{-6} C、3 μC=3×10−63\ \mu\text{C} = 3 \times 10^{-6} C
  2. 分子を求める： 9×109×2×10−6×3×10−6=0.0549 \times 10^9 \times 2 \times 10^{-6} \times 3 \times 10^{-6} = 0.054
  3. 分母を求める： 0.32=0.090.3^2 = 0.09
  4. 力を求める： 0.054÷0.09=0.60.054 \div 0.09 = 0.6 N
  5. 向きを決める： 正と正なので反発し合う

答えは、0.6N の反発力（斥力）です。

試験のポイント：μC（マイクロクーロン）は 10−610^{-6} C です。2つの電荷の両方に 10−610^{-6} を付け忘れないようにしましょう。また、距離の2乗を忘れるミスが多いです。

このように、クーロンの法則は「力は電荷の積に比例し、距離の2乗に反比例する」ことを表し、まわりの物質の誘電率が大きいほど力は弱くなります。

以上が、クーロンの法則と誘電率についてです。

電界：電気の力がはたらく空間

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続いて、電界について紹介します。

電荷を置くと、そのまわりの空間は「ほかの電荷に力を及ぼす状態」に変わります。この、電気の力がはたらく空間の状態を 電界 と呼びます。電場ということもあります。

電界の強さは、その場所に +1C の電荷を置いたときに受ける力 で表します。向きは、+1C の電荷が受ける力の向きです。

E=FqE = \frac{F}{q}

記号の意味は、EE が電界の強さ［V/m］、FF が電荷が受ける力［N］、qq が置いた電荷［C］です。電界の単位は［N/C］とも書けますが、電験ではふつう ボルト毎メートル［V/m］ を使います。式を変形すると F=qEF = qE で、「電荷が受ける力 = 電荷 × 電界」です。

たとえ話で考えてみましょう。電界は、天気予報の「風の地図」のようなものです。どの場所で、どの向きに、どれだけ強い風が吹いているかが地図に描かれていれば、そこに風船を置いたときにどちらへ流されるかが分かります。電界も、その場所に電荷を置いたら受ける力を、前もって地図にしたものです。

1. 点電荷のまわりの電界

点電荷 QQ から距離 rr の場所の電界は、クーロンの法則で Q2Q_2 を +1C にした形になります。

E=Q4πε0r2E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}

向きは、QQ が正なら電荷から遠ざかる向き、負なら電荷に近づく向きです。

具体的に計算してみましょう。1 μC1\ \mu\text{C} の正の点電荷から 0.3m の場所の電界は、9×109×1×10−6÷0.32=1×1059 \times 10^9 \times 1 \times 10^{-6} \div 0.3^2 = 1 \times 10^5 V/m です。ここに 2 μC2\ \mu\text{C} の電荷を置くと、受ける力は F=qE=2×10−6×1×105=0.2F = qE = 2 \times 10^{-6} \times 1 \times 10^5 = 0.2 N です。

2. 電界の重ね合わせ

電荷が2つ以上あるときの電界は、それぞれの電荷が作る電界を、向きを考えて足し合わせます。電界は向きをもつ量（ベクトル）なので、向きが逆なら引き算になります。

例題：電界が 0 になる場所

真空中で、4 μC4\ \mu\text{C} の正の点電荷を点 A に、1 μC1\ \mu\text{C} の正の点電荷を点 B に置きます。AB 間の距離は 0.3m です。線分 AB 上で、電界が 0 になる点は A から何 m の位置でしょうか？

【解き方】

  1. AB 上の点では、A の電界は B へ向かう向き、B の電界は A へ向かう向きで、向きが逆。大きさが等しい点で 0 になる
  2. A からの距離を xx［m］とすると、4x2=1(0.3−x)2\dfrac{4}{x^2} = \dfrac{1}{(0.3 - x)^2}（共通の 9×109×10−69 \times 10^9 \times 10^{-6} は両辺で消える）
  3. 両辺の平方根をとると、2x=10.3−x\dfrac{2}{x} = \dfrac{1}{0.3 - x}
  4. 2(0.3−x)=x2(0.3 - x) = x より、0.6=3x0.6 = 3x で x=0.2x = 0.2 m

答えは、A から 0.2m の位置です。電荷の小さい B に近い側で 0 になる点がポイントです。

このように、電界はその場所に +1C を置いたときに受ける力で表し、電荷が受ける力は F=qEF = qE で求まります。

以上が、電界についてです。

電気力線とガウスの法則：電界を線で描く

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最後に、電気力線とガウスの法則について紹介します。

電界は目に見えません。そこで、電界の向きと強さを線で描いて、見えるようにしたものが 電気力線 です。1つずつ見ていきましょう。

1. 電気力線の性質

電気力線には、次のような性質があります。

【電気力線の性質】

  • 正の電荷から出て、負の電荷に入る
  • 線の向き（接線の向き）が、その場所の電界の向き
  • 線の混み具合（密度）が、その場所の電界の強さ。1m² あたり EE 本の電気力線が通る
  • 電気力線どうしは、交わったり枝分かれしたりしない

天気図の風の矢印をつなげて線にしたものだと思ってください。線が混み合っている場所ほど、風（電界）が強いのです。

2. ガウスの法則

では、電荷 QQ からは、何本の電気力線が出ているのでしょうか？ 答えを与えるのが ガウスの法則 です。

N=QεN = \frac{Q}{\varepsilon}

記号の意味は、NN が電気力線の本数、QQ が電荷［C］、ε\varepsilon がまわりの物質の誘電率［F/m］です。言葉で言うと、「閉じた面から出ていく電気力線の本数は、面の中にある電荷を誘電率で割ったものに等しい」です。

閉じた面とは、風船の表面のように、内側と外側を完全に分ける面のことです。風船の中にどんな形で電荷が入っていても、風船の表面から出ていく線の本数は、中の電荷の合計だけで決まります。

ガウスの法則を使うと、点電荷の電界の式を導けます。真空中の点電荷 QQ を中心に、半径 rr の球の面を考えます。電気力線は Q/ε0Q/\varepsilon_0 本で、それが球の表面積 4πr24\pi r^2 に均等に広がります。1m² あたりの本数が電界なので、E=Qε0÷4πr2=Q4πε0r2E = \dfrac{Q}{\varepsilon_0} \div 4\pi r^2 = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} となり、クーロンの法則から求めた式と一致します。

例題：帯電した金属球のまわりの電界

真空中に半径 0.1m の金属球があり、0.5 μC0.5\ \mu\text{C} の電荷を帯びています。球の中心から 0.3m の点の電界と、球の内部の電界を求めなさい。ただし、14πε0=9×109\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 9 \times 10^9 とします。

【解き方】

  1. 金属球の電荷は、反発し合って表面に均一に広がる
  2. 球の外では、中心から半径 0.3m の球面でガウスの法則を使う。中の電荷は 0.5 μC0.5\ \mu\text{C} なので、中心に点電荷があるときと同じ式になる
  3. 電界を求める： 9×109×0.5×10−6÷0.32=5×1049 \times 10^9 \times 0.5 \times 10^{-6} \div 0.3^2 = 5 \times 10^4 V/m
  4. 球の内部では、内側に描いた球面の中に電荷がない。電気力線が 0 本なので、電界も 0

答えは、中心から 0.3m の点で 5×1045 \times 10^4 V/m、球の内部で 0 です。

試験のポイント：帯電した導体の内部の電界は 0 です。電荷は導体の表面にだけ分布し、外から見ると中心に電荷が集まった点電荷と同じに見えます。

このように、電気力線は電界の向きと強さを線で表したもので、ガウスの法則により、電荷 QQ からは Q/εQ/\varepsilon 本の電気力線が出ます。

以上が、電気力線とガウスの法則についてです。

今回のまとめ

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それでは、今回の内容を振り返ります。

今回は、静電気と電界について紹介しました。電荷どうしの力はクーロンの法則で求まり、その力を「場所ごとの地図」にしたものが電界です。電気力線とガウスの法則を使うと、電界の様子を本数として数えられます。

今回のポイントを振り返りましょう。

振り返り

  • 同じ符号の電荷は反発し、違う符号は引き合う。静電誘導では、帯電体に近い側に反対の符号の電荷が現れる。
  • クーロンの法則：F=Q1Q24πεr2F = \dfrac{Q_1 Q_2}{4\pi\varepsilon r^2}。真空中では 14πε0≒9×109\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \fallingdotseq 9 \times 10^9。
  • 電界は +1C が受ける力で、F=qEF = qE。点電荷の電界は E=Q4πε0r2E = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}。
  • 電気力線は正から負へ向かい、密度が電界の強さ。電荷 QQ から Q/εQ/\varepsilon 本が出る（ガウスの法則）。

キーワードのおさらい

  • 静電誘導: 導体に帯電体を近づけると、近い側に反対の符号、遠い側に同じ符号の電荷が現れる現象
  • クーロンの法則: 2つの電荷の間の力は、電荷の積に比例し、距離の2乗に反比例するという法則
  • 誘電率: まわりの物質が電気の力をどれだけ弱めるかを表す値。真空の誘電率は約 8.854×10−128.854 \times 10^{-12} F/m
  • 電界: 電気の力がはたらく空間の状態。+1C の電荷が受ける力で表し、単位は［V/m］
  • 電気力線: 電界の向きと強さを表す線。正の電荷から出て負の電荷に入る
  • ガウスの法則: 閉じた面から出る電気力線の本数は、中の電荷を誘電率で割ったものに等しいという法則

以上が、今回のまとめです。

さて、電界の中で電荷は力を受けます。ボールが坂を転がり落ちるように、電荷も電界の中で「高いところ」から「低いところ」へ動こうとします。電界の中の「高さ」とは、いったい何でしょうか？

次回は、電界の中の高さにあたる電位と、電気力線と並ぶもう1つの線である電束について紹介します。

それでは、次の記事へ進んでいきましょう。

練習問題5問開いて挑戦する
問1. 帯電していない金属球に、正に帯電した棒を近づけた。金属球に現れる電荷の説明として、正しいものはどれか。
問2. 真空中で、4 μC4\ \mu\text{C} の2つの点電荷が 0.2m 離れている。2つの電荷の間にはたらく力の大きさとして正しいものはどれか。ただし、14πε0=9×109\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 9 \times 10^9 とする。
問3. 真空中で、2 μC2\ \mu\text{C} の点電荷から 0.6m 離れた点の電界の強さとして正しいものはどれか。ただし、14πε0=9×109\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 9 \times 10^9 とする。
問4. 電気力線の性質として、誤っているものはどれか。
問5. 真空中に 8.854×10−68.854 \times 10^{-6} C の電荷がある。この電荷から出る電気力線の本数として正しいものはどれか。ただし、真空の誘電率を 8.854×10−128.854 \times 10^{-12} F/m とする。
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