電験三種 学習ノート

はじめに

サインの式どうしの足し算は、とても大変そう

エアコン10Aと照明5Aが集まっても、15Aにはならない

位相がずれていると、山と山の時刻がそろわない

波を矢印に、矢印を複素数に置きかえる

フェーザから複素数の計算まで、順に学ぶ

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「サインの式どうしを足し算するなんて、とてもできそうにない……」

前回の記事では、正弦波交流の表し方と、最大値・実効値・平均値、そして位相差を学びました。交流は、大きさだけでなく、位相のずれも一緒に扱わなければなりません。

例えば、家の分電盤では、エアコンと照明の電流が1本の幹線に集まります。2つの電流の位相がずれていると、10A と 5A を足しても 15A にはなりません。山と山がそろわないので、単純な足し算では合計が求まらないのです。

実は、交流の計算には、うまい近道があります。波を「矢印」に置きかえると、位相のずれた量の足し算が、図形の問題になります。さらに矢印を「複素数」という数で表すと、ふつうの計算のように式で解けるようになります。

そこで登場するのが、今回の主役「フェーザ」です。交流の大きさと位相を、1本の矢印にまとめて表す方法です。

今回の記事では、フェーザとベクトル図、複素数と虚数単位、複素数の直交座標表示と極座標表示、そして複素数を使った計算の方法について解説します。

フェーザとベクトル図：交流を矢印で表す

フェーザは、長さで大きさ、向きで位相を表す矢印

回る矢印の先の高さを横から見ると、正弦波になる

同じ速さで回るので、矢印どうしの角度の差は変わらない

いくつかのフェーザを1つにまとめた図がベクトル図

足し算は、矢印の先に次の矢印の根元をつなぐ

30Vと、90°進んだ40Vの合計は50V

山の時刻がずれるので、合計は70Vより小さい50V

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はじめに、フェーザとベクトル図について紹介します。

前回学んだように、同じ周波数の交流は、大きさと位相の2つが分かれば決まります。周波数は回路の中でどこも同じなので、計算のたびに書く必要はありません。そこで、大きさと位相だけを1本の矢印で表します。

【フェーザの約束】

• 矢印の長さ： 交流の大きさ（ふつうは実効値）
• 矢印の向き： 位相。基準の横向きから、反時計回りに測った角度

このように、交流の大きさと位相を表した矢印を フェーザ と呼びます。記号は、文字の上に点を付けて $\dot{V}$ や $\dot{I}$ のように書きます。

なぜ矢印で表せるのでしょうか？ 時計の針を思い浮かべてください。針の先の高さを横から見ると、上がったり下がったりを繰り返します。一定の速さで回る矢印の高さは、ちょうど正弦波になります。フェーザは、この回る矢印をある瞬間で止めた写真のようなものです。同じ周波数の矢印はみな同じ速さで回るので、矢印どうしの角度の差、つまり位相差は変わりません。

いくつかのフェーザを1つの図にまとめたものを ベクトル図 と呼びます。電験三種では、電圧と電流の位相の関係をベクトル図で描く問題がよく出ます。

ベクトル図の良いところは、足し算が矢印のつなぎ合わせでできることです。1本目の矢印の先に、2本目の矢印の根元をつなぎます。最初の根元から最後の先までを結んだ矢印が、合計のフェーザです。

具体的に計算してみましょう。実効値 30V で位相 0 の電圧と、実効値 40V で 90° 進んだ電圧を足します。横向き 30、縦向き 40 の矢印をつなぐと、合計は直角三角形の斜辺になります。

$$V = \sqrt{30^2 + 40^2} = 50\ \text{V}$$

答えは 70V ではなく 50V です。位相がずれていると、山の時刻がそろわないので、単純な足し算より小さくなります。

試験のポイント：位相が 90° ずれた2つの量の合計は、三平方の定理で求めます。「3：4：5」の直角三角形の数値がよく使われます。

このように、フェーザは交流の大きさと位相を1本の矢印で表したもので、ベクトル図を使えば位相のずれた量の足し算が図形の問題になります。

以上が、フェーザとベクトル図についてです。

複素数と虚数単位：矢印を数で表す

毎回の作図は手間。矢印を数で表せば式で計算できる

2乗すると−1になる数が虚数単位。電気ではjと書く

実数の2乗は0以上。jは実数とは別の向きにある数

a+jbは、東へa、北へb進んだ地点

jを掛けるたびに、矢印は反時計回りに90°回る

jを掛けると90°進み、−jを掛けると90°遅れる

jで割ることは、−jを掛けることと同じ

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次に、複素数と虚数単位について紹介します。

ベクトル図は分かりやすい反面、毎回作図するのは手間がかかります。矢印を数で表せれば、式の計算だけで済みます。その道具が複素数です。

2乗すると $-1$ になる数を考え、これを 虚数単位 と呼びます。数学では $i$ と書きますが、電気では $i$ を電流に使うので、$j$ と書きます。

$$j^2 = -1$$

ふつうの数（実数）は、2乗すると必ず 0 以上になります。2乗してマイナスになる数は、実数の中にはありません。そこで、実数とは別の向きにある数として $j$ を考えるのです。

実数 $a$、$b$ を使って、$a + jb$ の形で表した数を 複素数 と呼びます。$a$ を実部、$b$ を虚部と呼びます。

複素数は、平面の上の点として描けます。横軸に実部、縦軸に虚部をとります。この平面を複素平面と呼びます。地図にたとえると、横軸が東西、縦軸が南北で、$a + jb$ は「東へ $a$、北へ $b$ 進んだ地点」です。原点からその地点へ引いた矢印が、そのままフェーザになります。

ここがポイントです。$j$ を掛けると、矢印は反時計回りに 90° 回ります。例えば、横向きの 1 に $j$ を掛けると $j$（真上）、もう一度掛けると $j^2 = -1$（真左）になります。2回で 180° 回って、向きが逆になったわけです。反対に、$-j$ を掛けると時計回りに 90° 回ります。

つまり、交流の言葉で言うと、次のとおりです。

【$j$ のはたらき】

• $j$ を掛ける： 位相が 90° 進む
• $-j$ を掛ける： 位相が 90° 遅れる

なお、$\dfrac{1}{j}$ は、分母と分子に $j$ を掛けると $\dfrac{j}{j^2} = -j$ になります。$j$ で割ることは、$-j$ を掛けることと同じです。

このように、複素数は虚数単位 $j$ を使って矢印を数で表したもので、$j$ を掛けると位相が 90° 進みます。

以上が、複素数と虚数単位についてです。

直交座標表示と極座標表示：2通りの書き方

同じ地点も、成分でも長さと向きでも伝えられる

直交座標表示は、横と縦の成分でa+jbと書く

極座標表示は、長さと角度でA∠θと書く

斜めの矢印の横の影が実部、縦の影が虚部

8+j6は、長さ10、角度36.9°の矢印

20∠60°は、10+j17.3

30°・45°・60°のcosとsinは覚えておく

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続いて、複素数の直交座標表示と極座標表示について紹介します。

同じ地点を伝えるのに、「東へ 8m、北へ 6m」と言う方法と、「北東寄りの方向へ 10m」と言う方法があります。複素数にも、この2通りの書き方があります。

1. 直交座標表示

$\dot{A} = a + jb$ のように、横の成分と縦の成分で表す書き方を 直交座標表示 と呼びます。「東へ何 m、北へ何 m」の言い方です。

2. 極座標表示

$\dot{A} = A \angle \theta$ のように、矢印の長さ $A$ と角度 $\theta$ で表す書き方を 極座標表示 と呼びます。「どの方向へ何 m」の言い方です。長さ $A$ を絶対値、角度 $\theta$ を偏角と呼びます。

3. 書き方の変換

直交座標から極座標へは、三平方の定理と三角関数で直します。

$$A = \sqrt{a^2 + b^2}, \qquad \tan \theta = \frac{b}{a}$$

記号の意味は、$A$ が絶対値（矢印の長さ）、$\theta$ が偏角（矢印の角度）、$a$ が実部、$b$ が虚部です。

反対に、極座標から直交座標へは、次の式で直します。

$$a = A \cos \theta, \qquad b = A \sin \theta$$

言葉で言うと、「斜めの矢印の、横の影の長さと縦の影の長さ」を求める計算です。

例題：表示を変換する

(1) $\dot{A} = 8 + j6$ を極座標表示に直しなさい。(2) $\dot{B} = 20 \angle 60^\circ$ を直交座標表示に直しなさい。

【解き方】

1. (1) の絶対値： $\sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{100} = 10$
2. (1) の偏角： $\tan \theta = 6 \div 8 = 0.75$ より、$\theta \fallingdotseq 36.9^\circ$
3. (2) の実部： $20 \times \cos 60^\circ = 20 \times 0.5 = 10$
4. (2) の虚部： $20 \times \sin 60^\circ = 20 \times 0.866 \fallingdotseq 17.3$

答えは、(1) $10 \angle 36.9^\circ$、(2) $10 + j17.3$ です。

試験のポイント：30°、45°、60° の $\cos$ と $\sin$ の値（$\cos 30^\circ = \sin 60^\circ \fallingdotseq 0.866$、$\cos 60^\circ = \sin 30^\circ = 0.5$、$\cos 45^\circ = \sin 45^\circ \fallingdotseq 0.707$）は覚えておくと、変換がすぐにできます。

このように、複素数には成分で表す直交座標表示と、長さと角度で表す極座標表示があり、三平方の定理と三角関数で行き来できます。

以上が、直交座標表示と極座標表示についてです。

複素数の計算：足し算は直交、掛け算は極

足し算は直交、掛け算は極。道具を使い分ける

(3+j4)+(5−j2)=8+j2。成分ごとに足す

掛け算は長さを掛けて角度を足す。20∠75°

割り算は長さを割って角度を引く。5∠−15°

共役複素数を掛けると、分母が実数の100になる

100÷(6+j8)は6−j8。絶対値は10

電圧を流れにくさの複素数で割ると、電流が求まる

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最後に、複素数の計算について紹介します。

2つの書き方には、それぞれ得意な計算があります。料理で、切るのは包丁、混ぜるのはへらと道具を使い分けるのと同じです。

1. 足し算と引き算は直交座標表示で

足し算と引き算は、実部どうし、虚部どうしをそれぞれ計算します。

$$(a + jb) + (c + jd) = (a + c) + j(b + d)$$

例えば、$(3 + j4) + (5 - j2) = 8 + j2$ です。ベクトル図で矢印をつなぐ計算を、成分ごとに行っているのと同じです。

2. 掛け算と割り算は極座標表示で

掛け算は「長さは掛けて、角度は足す」、割り算は「長さは割って、角度は引く」です。

$$A \angle \alpha \times B \angle \beta = AB \angle (\alpha + \beta), \qquad \frac{A \angle \alpha}{B \angle \beta} = \frac{A}{B} \angle (\alpha - \beta)$$

例えば、$10 \angle 30^\circ \times 2 \angle 45^\circ = 20 \angle 75^\circ$、$10 \angle 30^\circ \div 2 \angle 45^\circ = 5 \angle -15^\circ$ です。

直交座標表示のまま掛け算をするときは、$j^2 = -1$ に気をつけて展開します。割り算をするときは、分母の虚部の符号を変えた数（共役複素数）を分母と分子に掛けて、分母を実数にします。

例題：複素数の割り算

$\dfrac{100}{6 + j8}$ を計算し、直交座標表示と絶対値で答えなさい。

【解き方】

1. 分母の共役複素数 $6 - j8$ を、分母と分子に掛ける
2. 分母を計算する： $(6 + j8)(6 - j8) = 36 + 64 = 100$
3. 分子を計算する： $100 \times (6 - j8) = 600 - j800$
4. 割る： $(600 - j800) \div 100 = 6 - j8$
5. 絶対値を求める： $\sqrt{6^2 + 8^2} = 10$

答えは $6 - j8$、絶対値は 10 です。極座標表示で計算すると、$100 \angle 0^\circ \div 10 \angle 53.1^\circ = 10 \angle -53.1^\circ$ となり、同じ結果になります。

実は、この計算は交流回路の計算そのものです。電圧のフェーザを、回路の流れにくさを表す複素数で割ると、電流のフェーザが求まります。詳しくはRLC回路とインピーダンスの記事で学びます。

このように、複素数の足し算・引き算は直交座標表示、掛け算・割り算は極座標表示で行うと、計算が楽になります。

以上が、複素数の計算についてです。

今回のまとめ

フェーザは、長さで実効値、向きで位相を表す

90°ずれた量の合計は、三平方の定理で求める

j²=−1。jを掛けると90°進み、−jで90°遅れる

足し算・引き算は直交、掛け算・割り算は極が便利

キーワードはフェーザ・ベクトル図・複素数など

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それでは、今回の内容を振り返ります。

今回は、交流を矢印と複素数で表す方法について紹介しました。サインの式のままでは大変だった位相のずれた量の計算が、矢印のつなぎ合わせや、複素数の四則計算に置きかわります。

今回のポイントを振り返りましょう。

振り返り

• フェーザは、長さで大きさ（実効値）、向きで位相を表す矢印。
• 位相が 90° ずれた量の合計は、三平方の定理で求める。
• 虚数単位 $j$ は $j^2 = -1$。$j$ を掛けると 90° 進み、$-j$ を掛けると 90° 遅れる。
• 足し算・引き算は直交座標表示、掛け算・割り算は極座標表示が便利。

キーワードのおさらい

• フェーザ: 交流の大きさと位相を1本の矢印で表したもの
• ベクトル図: いくつかのフェーザを1つの図にまとめたもの
• 複素数: $a + jb$ の形で表した数。実部 $a$ と虚部 $b$ からなる
• 虚数単位: 2乗すると $-1$ になる数。電気では $j$ と書く
• 極座標表示: 絶対値 $A$ と偏角 $\theta$ で $A \angle \theta$ と表す書き方
• 直交座標表示: 実部と虚部で $a + jb$ と表す書き方

以上が、今回のまとめです。

さて、交流回路には、抵抗のほかにコイルとコンデンサも入ってきます。コイルやコンデンサに交流を流すと、電流と電圧の位相はどのようにずれるのでしょうか？

次回は、抵抗・コイル・コンデンサの交流でのふるまいと「インピーダンス」について紹介します。

それでは、次の記事へ進んでいきましょう。