電験三種 学習ノート

はじめに

コンセントの電気は交流。直流と何が違うのか

1秒間に何十回も、プラスとマイナスが入れ替わる

発電所も変電所も家の電化製品も、交流で動く

電圧は時々刻々と変わり、高い瞬間は約141V

正弦波交流から波形率・波高率まで、順に学ぶ

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「コンセントの電気は交流だと聞くけれど、直流と何が違うの……？」

前回の記事では、鉄の磁化の性質と、磁束の通り道を電気回路のように扱う磁気回路を学びました。ここまでの理論の記事は、電池のように、向きと大きさが変わらない電気を中心に扱ってきました。

ところが、家庭のコンセントに来ている電気は、そうではありません。1秒間に何十回も、プラスとマイナスの向きが入れ替わっています。発電所の発電機も、変電所の変圧器も、家の照明やエアコンも、この向きが変わる電気で動いています。

実は、コンセントの「100V」という数字も、電圧がいつも 100V という意味ではありません。電圧は時々刻々と変わっていて、いちばん高い瞬間には約 141V にもなります。では、100V とは何を表しているのでしょうか？

そこで登場するのが、今回の主役「正弦波交流」です。電験三種の理論では、交流回路の問題がたくさん出ます。その出発点が、交流の表し方と大きさの決め方です。

今回の記事では、正弦波交流の式と周波数・角周波数、交流の大きさを表す最大値・実効値・平均値、波のずれを表す位相差、そして波の形を数値で表す波形率と波高率について解説します。

正弦波交流：向きと大きさが変わる電気

向きと大きさが一定なら直流、周期的に変われば交流

磁界の中でコイルを回すと、サインの形の起電力

v = Vm sin ωt。ある瞬間の値 v が瞬時値

ブランコのように、＋の最大・0・−の最大をくり返す

波1回分の時間が周期T。周波数は f = 1/T

東日本は50Hz、西日本は60Hz。60Hzの周期は約16.7ms

1周360°が2πラジアン、180°がπ、90°がπ/2

角周波数 ω = 2πf。60Hzなら120π ≒ 377rad/s

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はじめに、正弦波交流について紹介します。

電池の電気のように、向きと大きさが一定の電気を 直流 と呼びます。これに対して、向きと大きさが時間とともに周期的に変わる電気を 交流 と呼びます。

交流のうち、波の形が数学のサイン（正弦）の形をしているものを 正弦波交流 と呼びます。発電所でつくる交流は、この正弦波交流です。電磁誘導の記事で学んだように、磁界の中でコイルを一定の速さで回すと、誘導起電力がサインの形で増えたり減ったりするからです。

正弦波交流の電圧は、次の式で表します。

$$v = V_m \sin \omega t$$

記号の意味は、$v$ がある瞬間の電圧［V］、$V_m$ が電圧のいちばん大きな値［V］、$\omega$（オメガ）が角周波数［rad/s］、$t$ が時間［s］です。ある瞬間の値 $v$ を 瞬時値 と呼び、小文字で書く約束です。

ブランコにたとえると、イメージしやすくなります。ブランコは前へ大きく振れ、真ん中を通り、後ろへ大きく振れて、また戻ってきます。正弦波交流の電圧も、プラスの最大、0、マイナスの最大、0 と、同じ動きを規則正しく繰り返します。

1. 周期と周波数

波が1回分の形を描くのにかかる時間を 周期 と呼び、$T$［s］で表します。1秒間に波が何回繰り返すかを 周波数 と呼び、$f$ で表します。単位は ヘルツ［Hz］ です。

$$f = \frac{1}{T}$$

言葉で言うと、「1回にかかる時間の逆数が、1秒間の回数」です。日本の商用電源の周波数は、おおむね東日本が 50Hz、西日本が 60Hz です。60Hz なら、1回の波にかかる時間は $T = 1 \div 60 \fallingdotseq 0.0167$ 秒、つまり約 16.7 ミリ秒です。

2. 角周波数

正弦波の式の $\sin$ の中身は、角度を表しています。交流の計算では、角度を度ではなく ラジアン［rad］ で表します。1周 360° が $2\pi$ ラジアンで、180° が $\pi$ ラジアン、90° が $\dfrac{\pi}{2}$ ラジアンです。

波が1回繰り返すと、角度は1周分の $2\pi$ だけ進みます。1秒間に $f$ 回繰り返すので、1秒間に進む角度は $2\pi f$ です。これを 角周波数 と呼びます。

$$\omega = 2\pi f$$

記号の意味は、$\omega$ が角周波数［rad/s］、$f$ が周波数［Hz］です。言葉で言うと、「1秒間に回る角度」です。発電機のコイルが1秒間に何ラジアン回るか、という回転の速さのイメージです。

具体的に計算してみましょう。60Hz の角周波数は $2\pi \times 60 = 120\pi \fallingdotseq 377$ rad/s です。式の中に $120\pi$ と書いてあれば 60Hz、$100\pi$ とあれば 50Hz だと読み取れます。

このように、正弦波交流はサインの形で向きと大きさを繰り返す電気で、その速さは周波数や角周波数で表します。

以上が、正弦波交流についてです。

最大値・実効値・平均値：交流の大きさ

値が変わり続ける交流の大きさには、3つの表し方

最大値は波のいちばん高い所。頂上は一瞬だけ

同じ抵抗で同じ熱を出す直流の値が、実効値

正弦波の実効値は、最大値の1/√2倍（約0.707倍）

強弱のある運び方が、一定ペースの何人分かが実効値

コンセントの100Vは実効値。最大値は約141V

1周期の平均は0。半周期で平均した値が平均値

山1つをならした高さが平均値。最大値の約0.637倍

大きさは 最大値 ＞ 実効値 ＞ 平均値

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次に、交流の大きさを表す最大値・実効値・平均値について紹介します。

交流は、時々刻々と値が変わります。どの値を「大きさ」と呼べばよいのでしょうか？ 実は、目的に応じて3つの表し方があります。1つずつ見ていきましょう。

1. 最大値

波のいちばん高い所の値を 最大値 と呼びます。式 $v = V_m \sin \omega t$ の $V_m$ がそれです。波の山の高さなので、いちばん分かりやすい表し方です。ただし、山の頂上にいるのはほんの一瞬なので、これだけでは交流のはたらきの大きさは分かりません。

2. 実効値

交流の大きさとして、ふだん使うのが 実効値 です。実効値は「同じ抵抗につないだとき、同じだけの熱を出す直流の値」と決めます。電力と電力量の記事で学んだジュール熱を基準にした、交流の「実力」を表す値です。

正弦波交流では、実効値は最大値の $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ 倍になります。

$$V = \frac{V_m}{\sqrt{2}} \fallingdotseq 0.707 V_m$$

記号の意味は、$V$ が実効値［V］、$V_m$ が最大値［V］です。言葉で言うと、「実効値は最大値の約 0.707 倍、最大値は実効値の約 1.414 倍」です。

荷物運びにたとえると、イメージしやすくなります。力の強い瞬間と弱い瞬間をくり返しながら運ぶ人がいたとします。1日に運んだ量で比べると、一定のペースで運ぶ人の何人分にあたるか、が実効値です。いちばん力が出た瞬間（最大値）より小さくなるのは、そのためです。

ここがポイントです。コンセントの「100V」は実効値です。最大値は $100 \times \sqrt{2} \fallingdotseq 141$ V です。電圧計や電流計が示す値も、ふつうは実効値です。

補足（ここは読み飛ばしてOK）： 実効値は、瞬時値を2乗して1周期で平均し、その平方根をとった値です。英語の頭文字から RMS 値とも呼ばれます。正弦波では、$\sin^2$ の平均が $\dfrac{1}{2}$ になるので、$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ が出てきます。

3. 平均値

正弦波をそのまま1周期で平均すると、プラスとマイナスが打ち消し合って 0 になってしまいます。そこで、交流の 平均値 は、半周期（プラスの山1つ分）で平均した値と決めます。

$$V_a = \frac{2}{\pi} V_m \fallingdotseq 0.637 V_m$$

記号の意味は、$V_a$ が平均値［V］、$V_m$ が最大値［V］です。言葉で言うと、「山1つをならして平らにしたときの高さ」です。砂山をならして平らな地面にしたときの高さ、というイメージです。

具体的に計算してみましょう。コンセントの 100V なら、最大値は約 141.4V なので、平均値は $\dfrac{2}{\pi} \times 141.4 \fallingdotseq 90$ V です。

【正弦波交流の大きさの関係】

• 最大値： $V_m$
• 実効値： $\dfrac{V_m}{\sqrt{2}} \fallingdotseq 0.707 V_m$
• 平均値： $\dfrac{2 V_m}{\pi} \fallingdotseq 0.637 V_m$

試験のポイント：大きさの順は「最大値 ＞ 実効値 ＞ 平均値」です。問題文に「実効値」と書いていなくても、交流の電圧・電流の値はふつう実効値として扱います。

このように、交流の大きさには最大値・実効値・平均値の3つがあり、ふだん使うのは熱のはたらきで決めた実効値です。

以上が、最大値・実効値・平均値についてです。

位相差：波のずれ

交流回路では、電圧と電流の波が少しずれる

時刻0のときの位相が初期位相θ

同じ速さで回る2人の距離のように、位相差は一定

位相の大きい方が進み。山や谷が先にくる

π/3と−π/6の位相差はπ/2（90°）。v₁が進み

周波数が違う波は、ずれ方が変わるので比べられない

式から、実効値100V・60Hz・16.7ms・π/6を読む

ωからfは2πで割る。πで割って120Hzは誤り

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続いて、位相差について紹介します。

交流回路では、電圧と電流の波が、少しずれて変化することがよくあります。このずれを表すのが位相です。

$\sin$ の中身の角度を 位相 と呼びます。時刻 0 のときの位相を 初期位相 と呼びます。初期位相が $\theta$ の正弦波交流は、次のように書きます。

$$v = V_m \sin (\omega t + \theta)$$

記号の意味は、$\theta$（シータ）が初期位相［rad］です。そのほかの記号はこれまでと同じです。

同じ周波数の2つの波で、位相の差を 位相差 と呼びます。2人のランナーが同じ速さでトラックを回っているとき、2人の間の距離はずっと変わりません。同じ周波数の2つの波も同じで、位相差は時間がたっても一定です。

位相が大きい方の波を「進んでいる」、小さい方を「遅れている」と言います。進んでいる波は、山や谷が先にやってきます。

具体的に見てみましょう。2つの電圧が次のように表されるとします。

$$v_1 = V_m \sin \left( \omega t + \frac{\pi}{3} \right), \quad v_2 = V_m \sin \left( \omega t - \frac{\pi}{6} \right)$$

位相差は $\dfrac{\pi}{3} - \left( -\dfrac{\pi}{6} \right) = \dfrac{\pi}{2}$ です。度に直すと 90° です。$v_1$ の方が位相が大きいので、「$v_1$ は $v_2$ より $\dfrac{\pi}{2}$ 進んでいる」と言います。言い換えると、「$v_2$ は $v_1$ より $\dfrac{\pi}{2}$ 遅れている」です。

ここで1つ注意があります。位相差を比べられるのは、周波数が同じ波どうしだけです。周波数が違う2つの波は、ずれ方が時間とともに変わってしまうからです。

例題：式から交流の性質を読み取る

ある交流電圧が $v = 141.4 \sin \left( 120\pi t + \dfrac{\pi}{6} \right)$［V］で表されます。この電圧の実効値、周波数、周期、初期位相を求めなさい。

【解き方】

1. 最大値を読む： $V_m = 141.4$ V
2. 実効値を求める： $141.4 \div \sqrt{2} \fallingdotseq 100$ V
3. 周波数を求める： $\omega = 120\pi$ なので、$f = 120\pi \div 2\pi = 60$ Hz
4. 周期を求める： $T = 1 \div 60 \fallingdotseq 0.0167$ s（約 16.7ms）
5. 初期位相を読む： $\dfrac{\pi}{6}$ rad（30°）

答えは、実効値 約 100V、周波数 60Hz、周期 約 16.7ms、初期位相 $\dfrac{\pi}{6}$ rad です。

試験のポイント：$\omega$ から $f$ を求めるときは $2\pi$ で割ります。$\pi$ だけで割って 120Hz としてしまうミスに注意しましょう。

このように、位相差は同じ周波数の2つの波のずれで、位相が大きい方が「進み」、小さい方が「遅れ」です。

以上が、位相差についてです。

波形率と波高率：波の形を数で表す

交流には、方形波や三角波もある

波形率は実効値÷平均値、波高率は最大値÷実効値

同じ高さでも、なだらかな丘ととがった岩山は違う

正弦波の波形率は約1.11、波高率は約1.41

方形波・正弦波・三角波の比べ

方形波はどちらも1。三角波は波高率が大きい

平均値90Vなら、1.11を掛けて実効値は約100V

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最後に、波形率と波高率について紹介します。

交流は、正弦波だけではありません。四角い形の方形波や、とがった三角波もあります。波の形が違うと、最大値・実効値・平均値の関係も変わります。そこで、波の形の特徴を、2つの比で表します。

波形率 は、実効値を平均値で割った値です。波高率 は、最大値を実効値で割った値です。

$$\text{波形率} = \frac{\text{実効値}}{\text{平均値}}, \qquad \text{波高率} = \frac{\text{最大値}}{\text{実効値}}$$

言葉で言うと、波形率は「波がどれだけふくらんでいるか」、波高率は「波がどれだけとがっているか」の目安です。山の形にたとえると、同じ高さでも、なだらかな丘と、とがった岩山では印象が違います。その違いを数で表したものです。

正弦波では、次のようになります。

$$\text{波形率} = \frac{V_m / \sqrt{2}}{2 V_m / \pi} = \frac{\pi}{2\sqrt{2}} \fallingdotseq 1.11, \qquad \text{波高率} = \frac{V_m}{V_m / \sqrt{2}} = \sqrt{2} \fallingdotseq 1.41$$

ほかの波形とも比べてみましょう。どれも、プラスとマイナスが対称な波です。

方形波は、いつも最大値のままなので、3つの値がすべて同じで、波形率も波高率も 1 です。三角波は、とがっているので、波高率が正弦波より大きくなります。

例題：平均値から実効値を求める

ある正弦波交流電圧の平均値が 90V でした。この電圧の実効値は約何Vでしょうか？ 正弦波の波形率は 1.11 とします。

【解き方】

1. 波形率の式を変形する： 実効値 = 波形率 × 平均値
2. 数値を入れる： $1.11 \times 90 \fallingdotseq 100$ V

答えは約 100V です。

補足（ここは読み飛ばしてOK）： 計器の中には、内部では平均値に比例して動き、目盛りを正弦波の実効値に合わせているものがあります。このような計器で方形波や三角波を測ると、波形率が違う分だけ指示がずれます。詳しくは電気計器の記事で学びます。

このように、波形率と波高率は、最大値・実効値・平均値の比から波の形の特徴を表す値で、正弦波ではそれぞれ約 1.11 と約 1.41 です。

以上が、波形率と波高率についてです。

今回のまとめ

v = Vm sin(ωt + θ)。ω = 2πf、T = 1/f

実効値は最大値の1/√2倍、平均値は2/π倍

位相差は同じ周波数の波のずれ。大きい方が進み

正弦波の波形率は約1.11、波高率は約1.41

キーワードは正弦波交流・周波数・実効値・位相差など

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それでは、今回の内容を振り返ります。

今回は、正弦波交流の表し方と大きさについて紹介しました。交流は値が時々刻々と変わるので、1つの数字で表すには約束が必要です。ふだん使う実効値は「同じ熱を出す直流の値」で、コンセントの 100V もこの実効値です。

今回のポイントを振り返りましょう。

振り返り

• 正弦波交流は $v = V_m \sin(\omega t + \theta)$ で表し、角周波数は $\omega = 2\pi f$、周期は $T = 1/f$。
• 実効値は最大値の $1/\sqrt{2}$ 倍、平均値は最大値の $2/\pi$ 倍。
• 位相差は同じ周波数の波のずれで、位相の大きい方が進んでいる。
• 正弦波の波形率は約 1.11、波高率は約 1.41。方形波はどちらも 1。

キーワードのおさらい

• 正弦波交流: 向きと大きさがサインの形で周期的に変わる電気
• 周波数: 1秒間に波が繰り返す回数。単位はヘルツ［Hz］
• 角周波数: 1秒間に進む位相の角度。$\omega = 2\pi f$、単位は［rad/s］
• 最大値: 波のいちばん高い所の値
• 実効値: 同じ抵抗で同じ熱を出す直流の値。正弦波では最大値の $1/\sqrt{2}$ 倍
• 平均値: 半周期で平均した値。正弦波では最大値の $2/\pi$ 倍
• 位相差: 同じ周波数の2つの波の位相の差
• 波形率: 実効値 ÷ 平均値
• 波高率: 最大値 ÷ 実効値

以上が、今回のまとめです。

さて、交流回路では、位相のずれた電圧や電流を足し合わせる場面がよく出てきます。サインの式のままで足し算をするのは、とても大変です。もっと楽に計算する方法はないのでしょうか？

次回は、交流を矢印と複素数で表して計算を簡単にする「フェーザと複素数」について紹介します。

それでは、次の記事へ進んでいきましょう。