電験三種 学習ノート

はじめに

電源が2つ以上あると、連立方程式を毎回解くのは大変

つなぐ機器が変わるたびに解き直すのは、手間がかかる

計算の近道になる、重ねの理・テブナン・ノートン・ミルマン

電圧源と電流源から始めて、4つの定理を順に学ぶ

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「電源が2つ以上ある回路で、毎回あの連立方程式を解くのは大変……」

前回の記事では、キルヒホッフの電流則と電圧則を学びました。この2つの法則を使えば、どんな回路でも電流と電圧が求まります。ところが、電源や抵抗が増えるほど、立てる式の数も増え、計算ミスもしやすくなります。

例えば、スマホのモバイルバッテリーに、いろいろな機器をつなぎかえる場面を考えてみましょう。つなぐ機器が変わるたびに、回路全体の連立方程式を最初から解き直すのは、とても手間がかかります。知りたいのは、つないだ機器に流れる電流だけなのに、です。

実は、回路には「計算を楽にする近道」がいくつも知られています。電源を1つずつ考えて足し合わせる方法や、複雑な回路を「電池1個と抵抗1個」に置きかえてしまう方法です。

そこで登場するのが、今回の主役「回路の定理」です。重ねの理・テブナンの定理・ノートンの定理・ミルマンの定理の4つが、電験三種でよく使われます。

今回の記事では、電源の表し方である電圧源と電流源から始めて、4つの定理の使い方と、どんな問題でどれを使うとよいかについて解説します。

電圧源と電流源：電源の2つの表し方

電圧源は、何をつないでも決まった電圧を出し続ける

実際の電池は、理想の電圧源と内部抵抗の直列

電流を多く取り出すほど、端子電圧はrIだけ下がる

ポンプの出口に細い管があると、勢いが落ちる

1.5V・0.5Ωの電池に2.5Ωで、0.5A・端子電圧1.25V

電流源は決まった電流を流し続け、内部抵抗は並列

12V・3Ωの電圧源は、4Aと3Ωの並列の電流源と同じ

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はじめに、電圧源と電流源について紹介します。

回路の定理を使うには、まず「電源」を正しく表す必要があります。電源の表し方には、電圧源と電流源の2通りがあります。

電圧源 は、つないだものに関係なく、決まった電圧を出し続ける電源です。理想的な電池だと思ってください。どんな抵抗をつないでも、両端の電圧は起電力 $E$ のまま変わりません。

ところが、実際の電池は、たくさん電流を流すと電圧が少し下がります。電池の中にも、わずかな抵抗があるからです。この電池の中の抵抗を 内部抵抗 と呼びます。実際の電池は、「理想的な電圧源と内部抵抗を直列につないだもの」として表します。

電池から電流 $I$ を取り出すとき、外に出てくる電圧（端子電圧）$V$ は次のようになります。

$$V = E - rI$$

記号の意味は、$V$ が端子電圧［V］、$E$ が起電力［V］、$r$ が内部抵抗［Ω］、$I$ が電流［A］です。言葉で言うと、「内部抵抗の電圧降下の分だけ、外に出る電圧が下がる」です。

水にたとえると、ポンプの出口に細い管が付いている状態です。たくさん水を流そうとすると、その細い管で勢いが落ちてしまいます。

具体的に計算してみましょう。起電力 1.5V、内部抵抗 0.5Ω の乾電池に、2.5Ω の豆電球をつなぎます。電流は 1.5 ÷ (0.5 + 2.5) = 0.5A です。端子電圧は 1.5 − 0.5 × 0.5 = 1.25V となり、1.5V より少し下がります。

一方、電流源 は、つないだものに関係なく、決まった電流を流し続ける電源です。電圧源が「高さを一定に保つポンプ」なら、電流源は「流量を一定に保つポンプ」です。電流源の内部抵抗は、電流源に並列につないで表します。

実は、内部抵抗をもつ電圧源と電流源は、外から見ると同じはたらきに置きかえられます。起電力 $E$、内部抵抗 $r$ の電圧源は、電流 $E/r$ の電流源に内部抵抗 $r$ を並列につないだものと同じです。例えば、12V・3Ω の電圧源は、4A の電流源に 3Ω を並列につないだものと同じはたらきをします。

試験のポイント：電圧源は内部抵抗を直列に、電流源は内部抵抗を並列に付けて表します。電圧源と電流源の置きかえでは、内部抵抗の値は変わりません。

このように、電源は「電圧を一定に保つ電圧源」と「電流を一定に保つ電流源」の2通りで表せ、内部抵抗を付けると互いに置きかえられます。

以上が、電圧源と電流源についてです。

重ねの理：電源を1つずつ考える

電源1つずつの電流を求めて足し合わせるのが重ねの理

電圧と電流は比例するので、結果も足し合わせられる

2つの蛇口の水は、片方ずつ開けたときの量の合計

考えない電源は、電圧源は短絡、電流源は開放する

内部抵抗は電源の一部ではないので、回路に残す

12V・3Ωと8V・2Ωの回路で、R₃の電流を求める

E₁だけなら12÷4で3A。R₃にはその半分の1.5A

E₂だけなら8÷3.2で2.5A。分流でR₃には1.5A

同じ下向きなので足して3A。キルヒホッフと一致

電流の向きが逆なら、足し算ではなく引き算

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次に、重ねの理について紹介します。

重ねの理 は、電源がいくつもある回路で使う定理です。

【重ねの理】 電源が2つ以上ある回路の電流は、電源が1つずつあるときの電流を、それぞれ求めて足し合わせたものに等しい。

なぜ足し合わせてよいのでしょうか？ 抵抗の回路では、電圧と電流が比例します。比例の関係では、原因を2つ合わせると、結果も2つの結果を合わせたものになるからです。

たとえ話で考えてみましょう。2つの蛇口から1つの浴槽に水を入れるとき、浴槽にたまる水の量は、片方ずつ開けたときの量の合計です。電気の回路も、これと同じように考えられます。

ここで1つ注意があります。「電源を1つずつ考える」ときは、考えない電源を回路から取り除きます。取り除き方は、電源の種類で決まっています。

【考えない電源の取り除き方】

• 電圧源： 短絡する（導線に置きかえる）。電圧を 0 にするということ
• 電流源： 開放する（取り外して切りっぱなしにする）。電流を 0 にするということ

内部抵抗は電源の一部ではなく、回路に残します。電圧源を取り除くときは「導線にする」、電流源を取り除くときは「切る」と覚えましょう。

例題：重ねの理で電流を求める

左の枝に $E_1$ = 12V と $R_1$ = 3Ω、右の枝に $E_2$ = 8V と $R_2$ = 2Ω、真ん中の枝に $R_3$ = 2Ω がある回路を考えます。前回の記事でキルヒホッフの法則を使って解いた回路です。$R_3$ に流れる電流を、重ねの理で求めなさい。

【解き方】

1. $E_1$ だけを残し、$E_2$ を短絡する。$R_2$ と $R_3$ が並列になり、合成抵抗は 2 × 2 ÷ (2 + 2) = 1Ω
2. $E_1$ から流れる電流は 12 ÷ (3 + 1) = 3A。これが $R_2$ と $R_3$ に半分ずつ分かれ、$R_3$ には 1.5A
3. $E_2$ だけを残し、$E_1$ を短絡する。$R_1$ と $R_3$ の並列は 3 × 2 ÷ (3 + 2) = 1.2Ω
4. $E_2$ から流れる電流は 8 ÷ (2 + 1.2) = 2.5A。分流で $R_3$ には 2.5 × 3 ÷ (3 + 2) = 1.5A
5. どちらも $R_3$ を同じ向き（下向き）に流れるので、足し合わせて 1.5 + 1.5 = 3A

答えは 3A です。前回キルヒホッフの法則で求めた答えと一致します。連立方程式の代わりに、合成抵抗と分流という前に学んだ計算だけで解けました。

試験のポイント：重ねの理では、それぞれの電源による電流の向きに注意します。向きが逆なら、足し算ではなく引き算になります。

このように、重ねの理を使うと、電源が複数ある回路を「電源1つの回路」の足し算として解けます。

以上が、重ねの理についてです。

テブナンの定理とノートンの定理：回路を電源1つにまとめる

どんな回路も、端子a・bから見れば電池1個と抵抗1個

V₀は開いたときの電圧、R₀は電源を除いて見た抵抗

コンセントの奥は複雑でも、使う側からは1つの電源

R₃を外すと0.8Aが一周し、a・b間はV₀＝9.6V

R₀＝1.2Ωなので、9.6÷3.2でR₃の電流は3A

R₃を3.6Ωに変えても、9.6÷4.8ですぐに2A

ノートンの定理は、電流源と抵抗の並列に置きかえる

a・bを短絡すると4A＋4Aで8A。V₀÷R₀と一致

30Vと10Ω・15Ωの回路は、18Vと6Ωにまとまる

負荷が3Ωなら2A、12Ωなら1A。割り算1回で済む

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続いて、テブナンの定理とノートンの定理について紹介します。

回路の中で、ある1つの抵抗に流れる電流だけを知りたい場面はよくあります。そのときに便利なのが、この2つの定理です。1つずつ見ていきましょう。

1. テブナンの定理

テブナンの定理 は、どんなに複雑な回路でも、2つの端子 a・b から見れば「電圧源1つと抵抗1つの直列」に置きかえられる、という定理です。端子 a・b に抵抗 $R$ をつないだときの電流は、次の式で求まります。

$$I = \frac{V_0}{R_0 + R}$$

記号の意味は、$V_0$ が端子 a・b を開いたとき（何もつながないとき）の電圧［V］、$R_0$ が回路の中の電源をすべて取り除いて端子 a・b から見た合成抵抗［Ω］、$R$ がつなぐ抵抗［Ω］です。電源の取り除き方は、重ねの理と同じく、電圧源は短絡、電流源は開放です。

言葉で言うと、「回路を、起電力 $V_0$・内部抵抗 $R_0$ の電池1個だと思ってよい」ということです。家の壁のコンセントの奥には、発電所や送電線、変圧器などのとても複雑な仕組みがあります。それでも、使う側からは「コンセントという1つの電源」として扱えるのと同じ考え方です。

先ほどの例題の回路で確かめてみましょう。$R_3$ を外し、その両端を端子 a・b とします。

【テブナンの定理で解く手順】

1. $V_0$ を求める： $R_3$ を外すと、$E_1$・$R_1$・$R_2$・$E_2$ の一周の回路になる。逆向きの起電力の差で電流 (12 − 8) ÷ (3 + 2) = 0.8A が流れ、$V_0 = 12 - 3 \times 0.8 = 9.6$ V
2. $R_0$ を求める： 2つの電池を短絡すると、$R_1$ と $R_2$ の並列で $R_0$ = 3 × 2 ÷ (3 + 2) = 1.2Ω
3. 電流を求める： $I = 9.6 \div (1.2 + 2) = 3$ A

やはり 3A になりました。この方法の強みは、$R_3$ の値を変えたときです。例えば $R_3$ を 3.6Ω に変えても、$V_0$ と $R_0$ はそのままなので、9.6 ÷ (1.2 + 3.6) = 2A とすぐに求まります。

2. ノートンの定理

ノートンの定理 は、テブナンの定理の「電流源版」です。2つの端子から見た回路を、「電流源1つと抵抗1つの並列」に置きかえます。

電流源の電流は、端子 a・b を導線で短絡したときに流れる電流 $I_s$［A］です。並列の抵抗は、テブナンの定理と同じ $R_0$ です。電圧源と電流源の置きかえと同じ関係なので、$I_s = V_0 / R_0$ が成り立ちます。

先ほどの回路では、端子 a・b を短絡すると、$E_1$ から 12 ÷ 3 = 4A、$E_2$ から 8 ÷ 2 = 4A が流れ込み、$I_s$ = 8A です。確かに $V_0 / R_0 = 9.6 \div 1.2 = 8$ A と一致します。

例題：テブナンの定理で負荷の電流を求める

起電力 30V の電池に 10Ω の抵抗を直列につなぎ、その先に 15Ω の抵抗をつないで電池に戻る回路があります。15Ω の両端を端子 a・b とし、ここに負荷抵抗 $R$ をつなぎます。$R$ = 3Ω と $R$ = 12Ω のとき、$R$ に流れる電流をそれぞれ求めなさい。電池の内部抵抗は無視します。

【解き方】

1. $V_0$ を求める： 何もつながないときの a・b 間の電圧は、15Ω の分圧で 30 × 15 ÷ (10 + 15) = 18V
2. $R_0$ を求める： 電池を短絡すると、10Ω と 15Ω の並列で 10 × 15 ÷ (10 + 15) = 6Ω
3. $R$ = 3Ω のとき： $I = 18 \div (6 + 3) = 2$ A
4. $R$ = 12Ω のとき： $I = 18 \div (6 + 12) = 1$ A

答えは、3Ω のとき 2A、12Ω のとき 1A です。$V_0$ と $R_0$ を一度求めておけば、負荷を変えても割り算1回で済みます。

試験のポイント：$R_0$ を求めるとき、電圧源は短絡、電流源は開放にします。ここを逆にすると答えがまったく変わるので、必ず確認しましょう。

このように、テブナンの定理とノートンの定理を使うと、複雑な回路を「電源1つと抵抗1つ」にまとめ、1つの抵抗の電流を手早く求められます。

以上が、テブナンの定理とノートンの定理についてです。

ミルマンの定理：並列の枝の電圧を一気に求める

電源と抵抗の枝の並列は、両端の電圧を一発で求める

各枝を電流源に直し、電流の和をコンダクタンスの和で割る

合流点の水位は、管の太さで重みを付けた平均

4A＋4A＋0Aを4/3で割って、a・b間は6V

同じ回路を4通りで解いても、答えはどれも3A

目的に合わせて、重ねの理・テブナン・ミルマンを選ぶ

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最後に、ミルマンの定理について紹介します。

ミルマンの定理 は、電源と抵抗をもつ枝がいくつも並列につながっている回路で、両端の電圧を一発で求める定理です。

$$V_{ab} = \frac{\dfrac{E_1}{R_1} + \dfrac{E_2}{R_2} + \dfrac{E_3}{R_3}}{\dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} + \dfrac{1}{R_3}}$$

記号の意味は、$V_{ab}$ が並列の両端 a・b の電圧［V］、$E_1$・$E_2$・$E_3$ が各枝の起電力［V］、$R_1$・$R_2$・$R_3$ が各枝の抵抗［Ω］です。電源のない枝は $E$ を 0 とします。また、起電力の向きが逆の枝は $E$ にマイナスを付けます。

言葉で言うと、「分子は各枝を電流源に置きかえたときの電流の合計、分母は各枝のコンダクタンスの合計」です。つまり、すべての枝をノートンの定理のように電流源に直して、合計の電流を合成のコンダクタンスで割っている、というイメージです。

たとえ話で考えてみましょう。高さの違う水槽を何個も、太さの違う管で1つの合流点につなぐと、合流点の水位は、各水槽の水位を「管の太さで重みを付けて平均した高さ」に落ち着きます。ミルマンの定理は、まさにこの重み付きの平均です。

具体的に計算してみましょう。重ねの理の例題と同じ回路で、$R_3$ の枝は電源がないので $E_3 = 0$ とします。

$$V_{ab} = \frac{\dfrac{12}{3} + \dfrac{8}{2} + \dfrac{0}{2}}{\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}} = \frac{8}{\dfrac{4}{3}} = 6\ \text{V}$$

a・b 間の電圧は 6V です。$R_3$ の電流は 6 ÷ 2 = 3A となり、これまでの答えとまた一致します。同じ回路を、キルヒホッフの法則・重ねの理・テブナンの定理・ミルマンの定理の4通りで解けたことになります。

【どの方法を使うか】

• 電源が複数で、各電源の効きめを知りたい： 重ねの理
• 1つの抵抗の電流だけを知りたい、その抵抗の値が変わる： テブナンの定理
• 並列の枝ばかりで、両端の電圧を知りたい： ミルマンの定理

補足（ここは読み飛ばしてOK）： ミルマンの定理は、節点 a でキルヒホッフの電流則を立て、$V_{ab}$ について解いた結果をまとめたものです。新しい法則ではなく、計算の近道です。

このように、ミルマンの定理を使うと、並列の枝がいくつあっても、両端の電圧を1本の式で求められます。

以上が、ミルマンの定理についてです。

今回のまとめ

電圧源は内部抵抗を直列に、電流源は並列に付ける

重ねの理は1つずつ残して足す。短絡と開放に注意

テブナンはI＝V₀÷(R₀＋R)。ノートンは電流源版

ミルマンは、E/Rの和を1/Rの和で割る

キーワードは電圧源・電流源・内部抵抗と4つの定理

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それでは、今回の内容を振り返ります。

今回は、回路の計算を楽にする回路の定理について紹介しました。どの定理も、キルヒホッフの法則から導ける近道です。問題の形に合わせて道具を選べば、連立方程式を解かずに済む場面がぐっと増えます。

今回のポイントを振り返りましょう。

振り返り

• 電源は、内部抵抗を直列にした電圧源か、内部抵抗を並列にした電流源で表す。
• 重ねの理：電源を1つずつ残して電流を求め、足し合わせる。電圧源は短絡、電流源は開放で取り除く。
• テブナンの定理：$I = V_0 / (R_0 + R)$。回路を電圧源1つと抵抗1つにまとめる。ノートンの定理はその電流源版。
• ミルマンの定理：並列の枝の両端の電圧を、各枝の $E/R$ の和 ÷ $1/R$ の和で求める。

キーワードのおさらい

• 電圧源: つないだものに関係なく、決まった電圧を出し続ける電源
• 電流源: つないだものに関係なく、決まった電流を流し続ける電源
• 内部抵抗: 電源の中にある抵抗。電圧源には直列、電流源には並列に付けて表す
• 重ねの理: 複数の電源による電流は、電源1つずつの電流の和に等しいという定理
• テブナンの定理: 2端子から見た回路を、開放電圧 $V_0$ の電圧源と抵抗 $R_0$ の直列に置きかえる定理
• ノートンの定理: 2端子から見た回路を、短絡電流 $I_s$ の電流源と抵抗 $R_0$ の並列に置きかえる定理
• ミルマンの定理: 並列の枝の両端の電圧を、$\sum (E/R) \div \sum (1/R)$ で求める定理

以上が、今回のまとめです。

さて、抵抗を4つひし形につなぎ、真ん中にも抵抗を渡した回路は、直列とも並列とも言えません。このような回路は、どう考えればよいのでしょうか？

次回は、ひし形の回路であるブリッジ回路と、三角形と星形のつなぎ方を置きかえる「Δ-Y変換」について紹介します。

それでは、次の記事へ進んでいきましょう。