ブリッジ回路とΔ-Y変換

理論-5　電気理論・電子理論・電気計測

ホイートストンブリッジ
平衡条件
Δ-Y変換
Y-Δ変換

はじめに

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「この回路、直列でも並列でもない。どこから手を付ければいいの……？」

前回の記事では、重ねの理やテブナンの定理など、回路の計算を楽にする回路の定理を学びました。どの定理も、合成抵抗や分圧・分流の計算を組み合わせて使います。

ところが、抵抗を4つひし形に並べ、真ん中にもう1つ抵抗を渡した回路は、直列とも並列とも言えません。電験三種では、この形の回路がくり返し出題されます。

例えば、温度を測るセンサーや、はかりの重さを測るセンサーの中には、抵抗のわずかな変化を読み取るために、このひし形の回路が使われています。抵抗をとても正確に測れる、昔からある大切なつなぎ方です。

実は、ひし形の回路には「真ん中に電流が流れなくなる」特別な条件があります。この条件を知っていれば、複雑に見える回路が一気に単純になります。また、条件が成り立たないときでも、つなぎ方の形を置きかえる方法を使えば解けます。

そこで登場するのが、今回の主役「ブリッジ回路」と「Δ-Y変換」です。

今回の記事では、ホイートストンブリッジのしくみと平衡条件、そして三角形と星形のつなぎ方を置きかえる Δ-Y変換と Y-Δ変換について解説します。

ホイートストンブリッジ：ひし形に組んだ4つの抵抗

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はじめに、ホイートストンブリッジについて紹介します。

4つの抵抗をひし形に並べ、上と下の頂点に電源をつなぎ、左右の頂点の間に計器や抵抗を「橋渡し」した回路を ブリッジ回路 と呼びます。中でも、抵抗の値を正確に測るために使うものを ホイートストンブリッジ と呼びます。

ここでは、次のように名前を付けます。

【ブリッジ回路の名前の付け方】

左上の辺： $R_1$
右上の辺： $R_2$
左下の辺： $R_3$
右下の辺： $R_4$
左の頂点を c、右の頂点を d とし、c と d の間に検流計 G をつなぐ

検流計 は、ごくわずかな電流でも針が振れる、感度の高い電流計です。ホイートストンブリッジでは、検流計に電流が流れるかどうかを見ます。

電源から流れた電流は、上の頂点で左右の2つの道に分かれます。左の道は $R_1$ → c → $R_3$ 、右の道は $R_2$ → d → $R_4$ です。そして、真ん中の橋（c と d の間）を電流が渡るかどうかは、c と d の電位の高さで決まります。

たとえ話で考えてみましょう。山の上から左右2本の坂道が下っていて、その途中に橋がかかっているとします。橋の両端の高さが違えば、ボールは高いほうから低いほうへ橋を転がります。高さが同じなら、ボールは橋の上で止まったままです。検流計の電流は、このボールと同じです。

具体的な例を見てみましょう。電子式のはかりの中には、力がかかると抵抗がわずかに変わる部品が入っています。その部品をブリッジ回路の1辺に組み込むと、抵抗の変化が真ん中の電圧の変化として現れます。ブリッジ回路は、小さな変化を読み取るのが得意なのです。

このように、ホイートストンブリッジは4つの抵抗をひし形に組み、真ん中の橋に電流が流れるかどうかを見る回路です。

以上が、ホイートストンブリッジについてです。

平衡条件：真ん中に電流が流れない条件

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次に、平衡条件について紹介します。

ブリッジ回路の真ん中の検流計に電流が流れない状態を、ブリッジが平衡している、と言います。そのための条件が 平衡条件 です。

R_1 R_4 = R_2 R_3

記号の意味は、 $R_1$ 〜 $R_4$ がそれぞれの辺の抵抗［Ω］です。言葉で言うと、「向かい合う辺どうしの抵抗の積が等しい」です。ひし形の中で、左上と右下、右上と左下をたすきがけに掛け合わせる、と覚えましょう。

なぜこの式になるのでしょうか？下の頂点の電位を 0V とし、電源電圧を $V$ とします。c の電位は、左の道の分圧で $\dfrac{R_3}{R_1 + R_3} V$ です。d の電位は、右の道の分圧で $\dfrac{R_4}{R_2 + R_4} V$ です。この2つが等しければ、橋の両端の高さが同じなので電流は流れません。式を整理すると、 $R_1 R_4 = R_2 R_3$ が得られます。

同じ条件を、比の形で $\dfrac{R_1}{R_3} = \dfrac{R_2}{R_4}$ と書くこともできます。左の道と右の道で、上と下の抵抗の比が同じなら、どちらの道も同じ割合で電位が下がる、ということです。

1. 未知の抵抗を測る

平衡条件を使うと、分からない抵抗の値が求まります。 $R_4$ を測りたい抵抗とし、ほかの3つの値を調節して検流計の振れを 0 にします。そのとき、 $R_4 = \dfrac{R_2 R_3}{R_1}$ で求まります。

具体的に計算してみましょう。 $R_1$ = 100Ω、 $R_2$ = 200Ω、 $R_3$ = 150Ω で検流計の振れが 0 になったとします。

R_4 = \frac{200 \times 150}{100} = 300\ \Omega

測りたい抵抗は 300Ω です。電圧計や電流計の読みを使わず、抵抗の比だけで決まるので、電源電圧が少しふらついても正確に測れます。これが、ホイートストンブリッジが抵抗の測定に使われる理由です。

2. 平衡したブリッジの合成抵抗

平衡しているとき、真ん中の抵抗には電流が流れません。電流が流れない抵抗は、取り外しても、導線に置きかえても、回路のほかの部分に影響しません。だから、真ん中の抵抗は「ないもの」として計算してよいのです。

例題：平衡したブリッジの合成抵抗

$R_1$ = 4Ω、 $R_2$ = 2Ω、 $R_3$ = 8Ω、 $R_4$ = 4Ω のブリッジ回路の、c と d の間に 7Ω の抵抗がつながっています。上と下の頂点の間の合成抵抗を求めなさい。また、上と下の頂点に 20V の電源をつないだときの全体の電流を求めなさい。

【解き方】

平衡条件を確かめる： $R_1 R_4 = 4 \times 4 = 16$ 、 $R_2 R_3 = 2 \times 8 = 16$ で等しいので、平衡している
真ん中の 7Ω を取り外す：左の道は 4 + 8 = 12Ω、右の道は 2 + 4 = 6Ω
2本の道の並列を求める： 12 × 6 ÷ (12 + 6) = 4Ω
全体の電流を求める： 20 ÷ 4 = 5A

答えは、合成抵抗が 4Ω、電流が 5A です。真ん中の抵抗の値（7Ω）は、答えにまったく関係しません。

試験のポイント：ブリッジの形を見たら、まず「向かい合う辺の積」を比べます。等しければ真ん中を無視できます。問題文に真ん中の抵抗の値が書いてあっても、それはひっかけのことが多いです。

このように、ブリッジの平衡条件は「向かい合う辺の抵抗の積が等しい」ことで、平衡していれば真ん中の抵抗を無視して計算できます。

以上が、平衡条件についてです。

Δ-Y変換：三角形を星形に置きかえる

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続いて、Δ-Y変換について紹介します。

平衡していないブリッジでは、真ん中の抵抗にも電流が流れるので、無視できません。キルヒホッフの法則で連立方程式を解くこともできますが、もっと手早い方法があります。それが、つなぎ方の「形」を置きかえる方法です。

3つの抵抗を三角形につなぎ、3つの頂点を端子 a・b・c とするつなぎ方を Δ（デルタ）結線 と呼びます。一方、3つの抵抗の片方の端を1点にまとめ、もう片方の端を端子 a・b・c とするつなぎ方を Y（スター）結線 と呼びます。Y 結線は、3本の腕が中心から伸びた星形です。

端子 a・b・c の外から見て同じはたらきになるように、Δ 結線を Y 結線に置きかえることを Δ-Y変換 と呼びます。Δ の抵抗を、a・b 間 $R_{ab}$ 、b・c 間 $R_{bc}$ 、c・a 間 $R_{ca}$ とすると、Y の各腕の抵抗は次のとおりです。

R_a = \frac{R_{ab} R_{ca}}{R_{ab} + R_{bc} + R_{ca}}

記号の意味は、 $R_a$ が端子 a につながる Y の腕の抵抗［Ω］です。 $R_b$ 、 $R_c$ も同じ形で、 $R_b = \dfrac{R_{ab} R_{bc}}{R_{ab} + R_{bc} + R_{ca}}$ 、 $R_c = \dfrac{R_{bc} R_{ca}}{R_{ab} + R_{bc} + R_{ca}}$ です。

言葉で言うと、「Y の腕は、その端子につながる Δ の2辺の積 ÷ Δ の3辺の和」です。分母はいつも同じで、分子だけが変わります。

特に、Δ の3辺がすべて同じ値 $R_\Delta$ なら、計算はとても簡単です。分子は $R_\Delta^2$ 、分母は $3R_\Delta$ なので、Y の腕はどれも $R_\Delta / 3$ になります。

たとえ話で考えてみましょう。3つの町を結ぶ道路が、町どうしを直接つなぐ三角形の道でも、真ん中の広場を通る星形の道でも、町から町への「行きやすさ」が同じなら、旅行者にとっては区別がつきません。Δ-Y変換は、この「行きやすさ」をそろえた置きかえです。

例題：平衡していないブリッジの合成抵抗

上の頂点を A、左の頂点を C、右の頂点を D、下の頂点を B とします。A-C 間 6Ω、A-D 間 6Ω、C-D 間 6Ω、C-B 間 4Ω、D-B 間 10Ω です。A-B 間の合成抵抗を求めなさい。

【解き方】

平衡条件を確かめる： 6 × 10 = 60、6 × 4 = 24 で等しくないので、平衡していない
A・C・D の3点を結ぶ三角形（3辺とも 6Ω）を Y に変換する：腕はどれも 6 ÷ 3 = 2Ω。中心を O とする
回路を組み直す： A-O が 2Ω。O から C を通って B へ 2 + 4 = 6Ω、O から D を通って B へ 2 + 10 = 12Ω
O から B までの2本の道は並列なので、6 × 12 ÷ (6 + 12) = 4Ω
A-O の 2Ω と直列なので、合成抵抗は 2 + 4 = 6Ω

答えは 6Ω です。Δ-Y変換で三角形を消すと、直列と並列だけの回路になりました。

試験のポイント：変換する三角形は、3辺の値がそろっているところを選ぶと計算が楽です。また、3つの頂点を間違えずに Y の3本の腕へ対応させることが大切です。

このように、Δ-Y変換を使うと、三角形のつなぎ方を星形に直し、平衡していないブリッジも直列と並列の計算で解けます。

以上が、Δ-Y変換についてです。

Y-Δ変換：星形を三角形に置きかえる

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最後に、Y-Δ変換について紹介します。

Y-Δ変換 は、Δ-Y変換の逆で、Y 結線を Δ 結線に置きかえることです。Y の腕を $R_a$ ・ $R_b$ ・ $R_c$ とすると、Δ の各辺の抵抗は次のとおりです。

R_{ab} = \frac{R_a R_b + R_b R_c + R_c R_a}{R_c}

記号の意味は、 $R_{ab}$ が端子 a・b 間の Δ の辺の抵抗［Ω］です。同じように、 $R_{bc} = \dfrac{R_a R_b + R_b R_c + R_c R_a}{R_a}$ 、 $R_{ca} = \dfrac{R_a R_b + R_b R_c + R_c R_a}{R_b}$ です。

言葉で言うと、「Δ の辺は、Y の2本ずつの積の和 ÷ その辺の向かい側にある Y の腕」です。今度は分子がいつも同じで、分母だけが変わります。 $R_{ab}$ の分母が、a にも b にもつながらない $R_c$ になる点に注意しましょう。

Y の腕がすべて同じ値 $R_Y$ なら、分子は $3R_Y^2$ 、分母は $R_Y$ なので、Δ の辺はどれも $3R_Y$ になります。

【そろっているときの変換】

Δ → Y： 3分の1にする（ $R_Y = R_\Delta / 3$ ）
Y → Δ： 3倍にする（ $R_\Delta = 3R_Y$ ）

覚え方のイメージは、「三角形の道は町どうしを直接結ぶ長い道、星形の道は広場までの短い道」です。同じ行きやすさにするには、三角形の1辺は星形の腕より長く（抵抗が大きく）なります。

具体的に計算してみましょう。 $R_a$ = 2Ω、 $R_b$ = 2Ω、 $R_c$ = 4Ω の Y 結線を Δ に変換します。分子は 2 × 2 + 2 × 4 + 4 × 2 = 20 です。

R_{ab} = \frac{20}{4} = 5\ \Omega, \quad R_{bc} = \frac{20}{2} = 10\ \Omega, \quad R_{ca} = \frac{20}{2} = 10\ \Omega

念のため、Δ-Y変換で元に戻るか確かめてみましょう。3辺の和は 5 + 10 + 10 = 25 です。 $R_a = 5 \times 10 \div 25 = 2$ Ω、 $R_b = 5 \times 10 \div 25 = 2$ Ω、 $R_c = 10 \times 10 \div 25 = 4$ Ω となり、元の値に戻りました。