電流と磁界

理論-10　電気理論・電子理論・電気計測

磁極
磁界
磁束
磁束密度
透磁率
アンペアの右ねじの法則
ビオ・サバールの法則
アンペアの周回積分の法則

はじめに

1 / 5

「静電気の次は磁気……。電気と磁石って、何か関係があるの？」

前回の記事では、コンデンサと静電容量を学びました。電荷をためる部品のしくみと、合成静電容量・静電エネルギーの求め方です。ここまでは、止まっている電荷の世界の話でした。

ところで、方位磁針を電線のそばに置いて電流を流すと、針がくるりと向きを変えます。電線は鉄でも磁石でもないのに、まるで近くに磁石があるかのようにふるまうのです。モーターや変圧器、スピーカー、電磁石を使ったクレーンも、すべてこの性質を利用しています。

実は、電流が流れると、そのまわりには必ず磁気の力の場ができます。電気と磁気は別々のものではなく、電流を通してしっかり結びついているのです。

そこで登場するのが、今回の主役「磁界」です。磁石や電流のまわりにできる、磁気の力がはたらく空間のことです。

今回の記事では、磁極と磁界、磁束と磁束密度、そして電流がつくる磁界の向きと大きさの求め方について解説します。ここから、理論の電磁気の分野が始まります。

磁極と磁界：磁石のまわりの力の場

1 / 7

はじめに、磁極と磁界について紹介します。

棒磁石の両端は、鉄くぎをよく引きつけます。このように磁気の力がいちばん強く現れる部分を磁極と呼びます。北を向く方を N極、南を向く方を S極といいます。同じ極どうしは反発し、違う極どうしは引き合います。

磁極の強さは ウェーバ［Wb］ という単位で表します。2つの磁極の間にはたらく力は、静電気のクーロンの法則とそっくりの式で表せます。これを磁気に関するクーロンの法則と呼びます。

F = \frac{m_1 m_2}{4\pi \mu_0 r^2} \fallingdotseq 6.33 \times 10^4 \times \frac{m_1 m_2}{r^2}

記号の意味は、 $F$ が力［N］、 $m_1$ と $m_2$ が磁極の強さ［Wb］、 $r$ が磁極の間の距離［m］です。 $\mu_0$ は真空の透磁率で、あとの節で詳しく紹介します。言葉で言うと、「力は磁極の強さの積に比例し、距離の2乗に反比例する」です。静電気の記事で学んだ、電荷どうしの力と同じ形です。

次に、磁極のまわりの空間を考えます。磁石のまわりでは、そこに別の磁極を置くと力を受けます。このように磁気の力がはたらく空間を磁界と呼びます。たき火に近づくほど熱さを感じるように、磁極に近いほど磁界は強くなります。

磁界の強さは、そこに置いた 1Wb の N極が受ける力の大きさで表します。記号は $H$ 、単位は アンペア毎メートル［A/m］ です。強さ $m$ ［Wb］の磁極から距離 $r$ ［m］の点の磁界の強さは、次のとおりです。

H = \frac{m}{4\pi \mu_0 r^2}

磁界の中に強さ $m$ ［Wb］の磁極を置くと、受ける力は $F = mH$ ［N］です。電界の中の電荷が $F = QE$ の力を受けたのと同じ形です。

具体的に計算してみましょう。強さ $2 \times 10^{-4}$ Wb の磁極から 0.1m 離れた点の磁界の強さは、次のようになります。

H = 6.33 \times 10^4 \times \frac{2 \times 10^{-4}}{0.1^2} \fallingdotseq 1.27 \times 10^3\ \text{A/m}

磁界の向きは、N極が力を受ける向きと決めます。そのため、磁石のまわりの磁界は N極から出て S極へ入る向きです。この向きをつないだ線を磁力線と呼びます。

このように、磁極のまわりには磁気の力がはたらく磁界ができ、その強さは 1Wb の磁極が受ける力で表します。

以上が、磁極と磁界についてです。

磁束と磁束密度：磁気の流れの量と混み具合

1 / 7

次に、磁束と磁束密度、そして透磁率について紹介します。

磁界の様子を表すもう1つの方法が、磁気の「流れ」として考えることです。強さ $m$ ［Wb］の磁極からは、 $m$ ［Wb］ぶんの磁気の流れが出ていると考えます。この流れの量を磁束と呼び、記号は $\Phi$ （ファイ）、単位は磁極と同じ ウェーバ［Wb］ です。

一方で、同じ量の磁束でも、狭い所に集まっていれば強く、広く散らばっていれば弱くなります。そこで、面積 1m² あたりを貫く磁束の量を考えます。これが 磁束密度 です。

B = \frac{\Phi}{A}

記号の意味は、 $B$ が磁束密度［T］、 $\Phi$ が磁束［Wb］、 $A$ が磁束の通る面の面積［m²］です。単位の テスラ［T］ は、［Wb/m²］と同じです。言葉で言うと、「磁束密度 = 磁束 ÷ 面積」で、磁束の混み具合を表します。駅の通路にたとえると、磁束は通る人の総数、磁束密度は 1m² あたりの混雑度です。

具体的に計算してみましょう。断面積 20cm² の鉄心を、 $3 \times 10^{-3}$ Wb の磁束が貫いているとします。面積を m² に直すと $20\ \text{cm}^2 = 20 \times 10^{-4} = 2 \times 10^{-3}\ \text{m}^2$ です。

B = \frac{3 \times 10^{-3}}{2 \times 10^{-3}} = 1.5\ \text{T}

したがって、磁束密度は 1.5T です。1cm² = $10^{-4}$ m² に注意しましょう。

では、磁界の強さ $H$ と磁束密度 $B$ は、どういう関係なのでしょうか？答えは、次の比例の式です。

B = \mu H

この $\mu$ （ミュー）を 透磁率 と呼びます。単位は［H/m］（ヘンリー毎メートル）です。透磁率は、その物質が磁束をどれだけ通しやすいかを表します。導電率が電流の通しやすさを表したのと似ています。

真空の透磁率は $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ H/m と決まっています。物質の透磁率が真空の何倍かを表す値を比透磁率 $\mu_r$ といい、 $\mu = \mu_0 \mu_r$ です。空気の比透磁率はほぼ 1 ですが、鉄は数百から数千にもなります。変圧器やモーターに鉄心を使うのは、少ない電流でも大きな磁束を通せるからです。

例えば、磁界の強さが 200A/m のところに比透磁率 1000 の鉄を置くと、磁束密度は $4\pi \times 10^{-7} \times 1000 \times 200 \fallingdotseq 0.251$ T です。同じ磁界でも、空気中の 1000 倍の磁束密度になります。

試験のポイント： $B = \mu_0 \mu_r H$ と $\Phi = BA$ の2つはセットでよく使います。面積の単位を m² にそろえることを忘れないようにしましょう。

このように、磁束は磁気の流れの総量、磁束密度は 1m² あたりの混み具合で、両者を磁界の強さと結ぶのが透磁率です。

以上が、磁束と磁束密度についてです。

アンペアの右ねじの法則：電流がつくる磁界の向き

1 / 6

続いて、アンペアの右ねじの法則について紹介します。

はじめに見たように、電線に電流を流すと、そのまわりに磁界ができます。磁界は、電線を中心にした同心円の形にできます。では、その向きはどちら回りなのでしょうか？

これを決めるのが アンペアの右ねじの法則 です。

【アンペアの右ねじの法則】右ねじの進む向きに電流を流すと、右ねじを回す向きに磁界ができる。

右ねじは、ふつうのねじのことです。ドライバーで時計回りに回すと、ねじは奥へ進みます。電流の向きを「ねじの進む向き」に合わせると、磁界の向きは「ねじを回す向き」になります。

右手で覚える方法もあります。右手の親指を立てて、電流の向きに向けます。残りの4本の指で電線を握ると、指の巻く向きが磁界の向きです。

例えば、紙面の表から裏へ（奥へ）向かって電流が流れているとします。右ねじを奥へ進めるには時計回りに回すので、磁界は紙面を見て時計回りです。逆に、紙面の裏から表へ（手前へ）電流が流れていれば、磁界は反時計回りです。

この法則は、電線を丸く巻いた コイル にも使えます。今度は、右手の4本の指をコイルの電流の向きに合わせて巻きます。すると、立てた親指の向きが、コイルの内側の磁界の向きになります。親指の先が出る側が N極です。

試験のポイント：直線の電線では「親指 = 電流、4本の指 = 磁界」、コイルでは「4本の指 = 電流、親指 = 磁界」と、役割が入れ替わります。

このように、アンペアの右ねじの法則を使えば、電流の向きから磁界の向きを決められます。

以上が、アンペアの右ねじの法則についてです。

磁界の大きさの求め方：2つの法則と代表的な形

1 / 10

最後に、電流がつくる磁界の大きさの求め方について紹介します。

磁界の大きさを求める法則は2つあります。1つは電線の小さな部分ごとに足し合わせる方法、もう1つは電線を囲む一周で考える方法です。1つずつ見ていきましょう。

1. ビオ・サバールの法則

電線を細かく区切ると、その小さな一片ずつが、まわりに小さな磁界をつくります。その大きさを表すのが ビオ・サバールの法則 です。

\Delta H = \frac{I \Delta l}{4\pi r^2} \sin\theta

記号の意味は、 $\Delta H$ が小さな磁界の強さ［A/m］、 $I$ が電流［A］、 $\Delta l$ が電線の小さな部分の長さ［m］、 $r$ がその部分から点までの距離［m］、 $\theta$ が電流の向きと点を結ぶ線のなす角です。言葉で言うと、「電線の一片がつくる磁界は、電流と長さに比例し、距離の2乗に反比例する」です。

この法則がいちばん活躍するのが、円形コイルの中心 の磁界です。円の中心から見ると、電線のどの一片も距離は半径 $r$ で、角度はいつも 90°（ $\sin\theta = 1$ ）です。一片ずつの磁界を円周の長さ $2\pi r$ ぶん足し合わせると、次のようになります。

H = \frac{I \times 2\pi r}{4\pi r^2} = \frac{I}{2r}

巻数が $N$ 回なら、 $H = \dfrac{NI}{2r}$ です。例えば、半径 0.1m、巻数 5 回の円形コイルに 4A を流すと、中心の磁界は $5 \times 4 \div (2 \times 0.1) = 100$ A/m です。

2. アンペアの周回積分の法則

もう1つは、電線をぐるっと囲む道を考える方法です。

【アンペアの周回積分の法則】磁界の中で閉じた道を一周するとき、「磁界の強さ × 道の長さ」の合計は、その道が囲む電流の合計に等しい。

\sum H \Delta l = \sum I

キルヒホッフの電圧則で、閉回路を一周して電圧の上り下りを足し合わせたのと似ています。こちらは、一周して磁界を足し合わせると、内側を通る電流の合計になります。

この法則を 無限に長い直線電流 に使ってみましょう。電線を中心とした半径 $r$ の円を一周すると、円の上ではどこも磁界の強さ $H$ が同じです。円周は $2\pi r$ なので、 $H \times 2\pi r = I$ となります。

H = \frac{I}{2\pi r}

記号の意味は、 $H$ が磁界の強さ［A/m］、 $I$ が電流［A］、 $r$ が電線からの距離［m］です。言葉で言うと、「直線電流の磁界は、電流に比例し、距離に反比例する」です。電線から2倍離れると、磁界は半分になります。

同じ考え方で、ほかの形も求められます。

【代表的な磁界の強さ】

直線電流（距離 $r$ ）： $H = \dfrac{I}{2\pi r}$
円形コイルの中心（半径 $r$ 、巻数 $N$ ）： $H = \dfrac{NI}{2r}$
無限長ソレノイドの内部（1m あたりの巻数 $n$ ）： $H = nI$
環状ソレノイドの内部（半径 $r$ 、巻数 $N$ ）： $H = \dfrac{NI}{2\pi r}$

ソレノイドは、電線をつつ状に長く巻いたコイルです。例えば、1m あたり 1000 回巻いたソレノイドに 0.5A を流すと、内部の磁界は $1000 \times 0.5 = 500$ A/m です。ドーナツ形に巻いた環状ソレノイドで、半径 0.1m、巻数 200 回、電流 2A なら、 $200 \times 2 \div (2\pi \times 0.1) \fallingdotseq 637$ A/m です。

例題：直線電流のまわりの磁界と磁束密度

空気中に置かれた十分に長い直線の電線に 10A の電流が流れています。電線から 0.2m 離れた点の磁界の強さ $H$ と磁束密度 $B$ を求めなさい。ただし、空気の透磁率は $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ H/m とします。

【解き方】

直線電流の式を使う： $H = \dfrac{10}{2\pi \times 0.2} \fallingdotseq 7.96$ A/m
磁束密度に直す： $B = \mu_0 H = 4\pi \times 10^{-7} \times \dfrac{10}{2\pi \times 0.2}$
$\pi$ を約分して計算する： $B = \dfrac{2 \times 10^{-7} \times 10}{0.2} = 1.0 \times 10^{-5}$ T

答えは、 $H \fallingdotseq 7.96$ A/m、 $B = 1.0 \times 10^{-5}$ T です。 $B = \mu_0 H$ に直すと $4\pi$ と $2\pi$ が約分されて、 $B = 2 \times 10^{-7} \times \dfrac{I}{r}$ のすっきりした形になります。