磁性体と磁気回路

理論-14　電気理論・電子理論・電気計測

強磁性体
ヒステリシス曲線
残留磁気
保磁力
ヒステリシス損
磁気回路
起磁力
磁気抵抗

はじめに

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「変圧器やモーターには、どうして必ず鉄心が入っているの？」

前回の記事では、インダクタンスを学びました。コイルが電流の変化を妨げる性質で、自己インダクタンスは透磁率や巻数の2乗に比例するのでした。

身のまわりの電気機器を分解すると、コイルの中にはたいてい鉄が入っています。電柱の上の変圧器も、扇風機のモーターも、鉄心にコイルを巻いた形です。空気のままでもコイルは磁束をつくれるのに、なぜわざわざ鉄を入れるのでしょうか？

実は、鉄は磁束をとてもよく通す、特別な材料です。同じ電流でも、鉄心があるだけで磁束は数百倍から数千倍になります。ただし、鉄には「磁気を覚えてしまう」というくせもあり、それが熱の損失を生みます。

そこで登場するのが、今回の主役「磁気回路」です。鉄心の中の磁束の通り道を、電気回路と同じように扱って計算する考え方です。

今回の記事では、強磁性体の性質、ヒステリシス曲線と残留磁気・保磁力、ヒステリシス損、そして起磁力と磁気抵抗を使った磁気回路の計算について解説します。

強磁性体：磁束をよく通す材料

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はじめに、強磁性体について紹介します。

物質を磁界の中に置くと、物質そのものが磁石の性質を帯びます。これを磁化と呼びます。磁化のされ方は物質によって大きく違い、比透磁率 $\mu_r$ で3つに分けられます。

【磁性体の種類】

強磁性体： $\mu_r$ が 1 よりはるかに大きい（数百〜数万）。鉄、ニッケル、コバルトなど
常磁性体： $\mu_r$ が 1 よりわずかに大きい。アルミニウム、白金など
反磁性体： $\mu_r$ が 1 よりわずかに小さい。銅、銀など

電気機器の鉄心に使うのは、もちろん 強磁性体 です。常磁性体や反磁性体は、ほぼ空気と同じで、磁束を通しやすくする効果はほとんどありません。

なぜ強磁性体は、これほど強く磁化されるのでしょうか？強磁性体の中には、小さな磁石の向きがそろった区画（磁区）がたくさんあります。磁界をかける前は、区画ごとに向きがばらばらなので、全体としては磁石になりません。磁界をかけると、区画の向きが次々とそろって、強い磁石になります。

運動会の行進にたとえると分かりやすいです。整列の合図の前は、みんなが好きな方向を向いています。合図がかかると全員が同じ方向を向き、大きな流れになります。

ただし、磁界をいくら強くしても、磁束密度はどこまでも増えるわけではありません。すべての区画の向きがそろってしまうと、それ以上はほとんど増えなくなります。これを磁気飽和と呼びます。全員が前を向いたら、それ以上はそろえようがないのと同じです。

そのため、強磁性体では $B = \mu H$ の $\mu$ が一定ではありません。磁界の強さによって、透磁率は変わります。

このように、強磁性体は磁区の向きがそろうことで強く磁化され、磁束をよく通しますが、強い磁界では飽和します。

以上が、強磁性体についてです。

ヒステリシス曲線：残留磁気と保磁力

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次に、ヒステリシス曲線と、残留磁気・保磁力について紹介します。

強磁性体には、もう1つ大事なくせがあります。磁界を強くしてから弱めても、磁束密度は元の道を通って戻らないのです。磁界の強さ $H$ を横軸、磁束密度 $B$ を縦軸にとって、 $H$ をプラスとマイナスの間で行き来させると、 $B$ は輪の形を描きます。この輪を ヒステリシス曲線（ヒステリシスループ）と呼びます。ヒステリシスは「履歴」という意味で、今の状態が過去の経歴に左右されることを表します。

ループの上で、特に大事な点が2つあります。

【ヒステリシス曲線の大事な2点】

残留磁気：磁界を 0 に戻しても残っている磁束密度 $B_r$ ［T］。 $B$ 軸との交点
保磁力：残った磁束密度を 0 にするのに必要な、逆向きの磁界の強さ $H_c$ ［A/m］。 $H$ 軸との交点

残留磁気 は、磁界を取り去っても鉄が磁石のままでいる性質です。鉄くぎを磁石でこすると、くぎが磁石になるのはこのためです。残留磁束密度とも呼びます。

保磁力 は、その磁気を消すのにどれだけ苦労するかを表します。保磁力が大きいほど、磁気が抜けにくい材料です。

折り紙の折り目にたとえると、イメージしやすいです。紙を折ってから広げても、折り目は残ります（残留磁気）。この折り目を消すには、逆向きに折り返す力が要ります（保磁力）。

材料によって、ループの形は大きく違います。

【用途による材料の選び方】

永久磁石：残留磁気も保磁力も大きい材料。ループが太い
変圧器やモーターの鉄心：保磁力が小さく、ループの面積が小さい材料。ケイ素鋼板など

永久磁石は、磁気がしっかり残って抜けにくいことが大事です。一方、鉄心は交流で何度も磁化の向きが入れ替わるので、素直に磁化されて素直に戻る材料が向いています。

試験のポイント：残留磁気は $B$ 軸との交点、保磁力は $H$ 軸との交点です。軸を取り違えないようにしましょう。

このように、ヒステリシス曲線は強磁性体の磁化の履歴を表し、 $B$ 軸との交点が残留磁気、 $H$ 軸との交点が保磁力です。

以上が、ヒステリシス曲線についてです。

ヒステリシス損：磁化をくり返すと熱が出る

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続いて、ヒステリシス損について紹介します。

交流で鉄心を使うと、鉄心はヒステリシス曲線を1秒間に何十回もぐるぐる回ります。ループを1周するたびに、鉄の中の磁区の向きを無理やり入れ替えるので、エネルギーが熱になって失われます。これを ヒステリシス損 と呼びます。

ここがポイントです。ループを1周するときに失われるエネルギーは、体積 1m³ あたり、ヒステリシス曲線が囲む面積に等しくなります。面積の単位を計算すると、［A/m］×［T］=［J/m³］になります。ループが太いほど、損失が大きいということです。

そのため、ヒステリシス損は次の3つに比例して大きくなります。

P_h = (\text{ループの面積}) \times (\text{体積}) \times f

記号の意味は、 $P_h$ がヒステリシス損［W］、ループの面積は1周あたり 1m³ あたりの損失［J/m³］、体積は鉄心の体積［m³］、 $f$ は周波数［Hz］です。言葉で言うと、「1周の損失 × 1秒に回る回数」です。

ぞうきんを絞る作業にたとえると分かりやすいです。右にねじって、左にねじって、とくり返すたびに手が疲れます。1回のねじりがきついほど（ループが太いほど）、回数が多いほど（周波数が高いほど）、疲れはたまります。

具体的に計算してみましょう。ループの面積が 200J/m³、体積 0.01m³ の鉄心を、50Hz の交流で磁化します。

P_h = 200 \times 0.01 \times 50 = 100\ \text{W}

したがって、ヒステリシス損は 100W です。磁束密度の最大値が同じまま周波数を 60Hz にすると、回る回数が 1.2 倍になるので、損失も 1.2 倍の 120W になります。

なお、磁束密度の最大値 $B_m$ を大きくするとループも太くなります。ヒステリシス損は、周波数に比例し、 $B_m$ のおよそ 1.6〜2 乗に比例することが知られています。

ヒステリシス損を減らすには、ループの面積が小さい材料を使います。変圧器の鉄心に使うケイ素鋼板は、鉄にケイ素を混ぜてヒステリシス損を小さくした材料です。電磁誘導の記事で学んだ渦電流損と合わせた鉄心の損失を鉄損と呼び、機械の変圧器の記事でもくり返し登場します。

このように、ヒステリシス損は、ループの面積と体積と周波数の積で表され、ループの細い材料を使うと小さくできます。

以上が、ヒステリシス損についてです。

磁気回路：起磁力と磁気抵抗

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最後に、磁気回路の考え方について紹介します。

鉄心は磁束をよく通すので、コイルがつくった磁束は、ほとんどが鉄心の中を通ります。電流が電線の中を通るのとそっくりです。そこで、磁束の通り道を電気回路に見立てたものを 磁気回路 と呼びます。

電気回路では、起電力が電流を押し出し、抵抗が流れを妨げました。磁気回路では、次のように対応させます。

電気回路	磁気回路
起電力 $E$ ［V］	起磁力 $F = NI$ ［A］
電流 $I$ ［A］	磁束 $\Phi$ ［Wb］
抵抗 $R = \dfrac{l}{\sigma S}$ ［Ω］	磁気抵抗 $R_m = \dfrac{l}{\mu S}$ ［H⁻¹］
導電率 $\sigma$ ［S/m］	透磁率 $\mu$ ［H/m］

起磁力 は、磁束を押し出す力で、コイルの巻数 $N$ と電流 $I$ の積です。単位は［A］で、アンペアターンと呼ぶこともあります。

磁気抵抗 は、磁束の通りにくさです。磁路の長さ $l$ ［m］に比例し、透磁率 $\mu$ ［H/m］と断面積 $S$ ［m²］に反比例します。単位は［H⁻¹］（毎ヘンリー）です。オームの法則の記事で学んだ $R = \rho l / S$ と同じ形です。

そして、電気回路のオームの法則にあたるのが、次の式です。

\Phi = \frac{F}{R_m} = \frac{NI}{R_m}

言葉で言うと、「磁束 = 起磁力 ÷ 磁気抵抗」です。これを磁気回路のオームの法則と呼びます。

例題：鉄心の中の磁束

磁路の長さ 0.5m、断面積 10cm²、比透磁率 1000 の環状鉄心に、巻数 200 回のコイルを巻いて 2A を流します。鉄心の中の磁束を求めなさい。真空の透磁率は $4\pi \times 10^{-7}$ H/m とします。

【解き方】

断面積を m² に直す： $10\ \text{cm}^2 = 1 \times 10^{-3}\ \text{m}^2$
磁気抵抗を求める： $R_m = \dfrac{0.5}{4\pi \times 10^{-7} \times 1000 \times 1 \times 10^{-3}} \fallingdotseq 3.98 \times 10^5$ H⁻¹
起磁力を求める： $F = 200 \times 2 = 400$ A
磁束を求める： $\Phi = 400 \div (3.98 \times 10^5) \fallingdotseq 1.0 \times 10^{-3}$ Wb

答えは約 $1.0 \times 10^{-3}$ Wb です。磁束密度は $\Phi / S$ で約 1.0T になります。

せっかくなので、別の例も見てみましょう。この鉄心に、長さ 1mm のすき間（エアギャップ）を切ったとします。すき間は空気なので $\mu_r = 1$ で、その磁気抵抗は $\dfrac{1 \times 10^{-3}}{4\pi \times 10^{-7} \times 1 \times 10^{-3}} \fallingdotseq 7.96 \times 10^5$ H⁻¹ です。わずか 1mm なのに、50cm の鉄心の2倍の磁気抵抗です。

鉄心とすき間は直列なので、磁気抵抗は足し算で $3.98 \times 10^5 + 7.96 \times 10^5 \fallingdotseq 1.19 \times 10^6$ H⁻¹ です。磁束は $400 \div (1.19 \times 10^6) \fallingdotseq 3.4 \times 10^{-4}$ Wb で、すき間がないときの約3分の1に減ります。モーターの回転子と固定子のすき間を、できるだけ狭くつくるのはこのためです。