電験三種 学習ノート

理論・電力・機械・法規を、試験科目の範囲の順に記事と練習問題で学ぶ

理論-13　電気理論・電子理論・電気計測

インダクタンス

  • 自己インダクタンス
  • 相互インダクタンス
  • 結合係数
  • 和動接続
  • 差動接続
  • 電磁エネルギー

はじめに

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「スイッチを切った瞬間に、パチッと火花が飛ぶのはなぜ？」

前回の記事では、電磁誘導を学びました。コイルを貫く磁束が変化すると、その変化を妨げる向きに誘導起電力が生まれる、というしくみでした。

ところで、コイルに電流を流すと、コイル自身も磁束をつくります。すると、電流を増やしたり減らしたりするたびに、自分の磁束が変化します。蛍光灯の古い点灯回路や、モーターのスイッチを切ったときに火花が出るのは、この「自分の磁束の変化」で大きな電圧が生まれるからです。

実は、コイルは「電流の変化をきらう部品」です。電流を急に増やそうとしても、急に止めようとしても、コイルはそれに逆らう起電力を出します。ちょうど、重いはずみ車が急には回り始めず、急には止まらないのと似ています。

そこで登場するのが、今回の主役「インダクタンス」です。コイルが電流の変化を妨げる性質の強さを表す量です。

今回の記事では、自己インダクタンス、2つのコイルの結びつきを表す相互インダクタンスと結合係数、コイルのつなぎ方による合成インダクタンス、そしてコイルにたくわえられる電磁エネルギーについて解説します。

自己インダクタンス：自分の電流の変化を妨げる

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はじめに、自己インダクタンスについて紹介します。

コイルに流れる電流が変化すると、コイル自身がつくる磁束も変化します。すると、前回学んだ電磁誘導によって、コイル自身に誘導起電力が生まれます。これを自己誘導と呼びます。レンツの法則により、この起電力は電流の変化を妨げる向きに生じるので、逆起電力とも呼ばれます。

自己誘導の起電力の大きさは、電流の変化の速さに比例します。

e=LΔIΔte = L \frac{\Delta I}{\Delta t}

記号の意味は、ee が誘導起電力［V］、ΔI\Delta I が電流の変化量［A］、Δt\Delta t が変化にかかった時間［s］です。比例定数 LL を 自己インダクタンス と呼び、単位は ヘンリー［H］ です。言葉で言うと、「1秒間に 1A の割合で電流が変化したときに 1V の起電力が生まれるコイルが 1H」です。

具体的に計算してみましょう。自己インダクタンス 0.2H のコイルの電流が、0.1 秒間に 0A から 3A へ一定の割合で増えたとします。

e=0.2×30.1=6 Ve = 0.2 \times \frac{3}{0.1} = 6\ \text{V}

したがって、6V の逆起電力が生まれます。スイッチを切ってもっと短い時間で電流が 0 になると、Δt\Delta t がとても小さくなるので、大きな起電力が生まれます。これが、スイッチの火花の正体です。

自己インダクタンスは、磁束から求めることもできます。巻数 NN のコイルに電流 II を流したとき、コイルを貫く磁束が Φ\Phi なら、次の関係があります。

NΦ=LIN\Phi = LI

例えば、巻数 200 回のコイルに 2A を流したら、5×10−35 \times 10^{-3} Wb の磁束ができたとします。L=200×5×10−3÷2=0.5L = 200 \times 5 \times 10^{-3} \div 2 = 0.5 H です。

では、LL はコイルの何で決まるのでしょうか？ 鉄心に巻いた環状コイルなら、磁路の長さを ll［m］、断面積を SS［m²］、透磁率を μ\mu として、次のようになります。

L=μN2SlL = \frac{\mu N^2 S}{l}

電流 II で磁界 H=NI/lH = NI/l ができ、磁束は Φ=μHS\Phi = \mu HS です。これを L=NΦ/IL = N\Phi / I に入れると、この式になります。ポイントは、LL が巻数の2乗に比例することです。巻数を2倍にすると、磁束も2倍、それを受け取る巻数も2倍なので、LL は4倍になります。

例えば、比透磁率 1000 の鉄心（磁路の長さ 0.2m、断面積 4cm²）に 500 回巻いたコイルの自己インダクタンスは、4π×10−7×1000×5002×4×10−4÷0.2≒0.6284\pi \times 10^{-7} \times 1000 \times 500^2 \times 4 \times 10^{-4} \div 0.2 \fallingdotseq 0.628 H です。

試験のポイント：自己インダクタンスは巻数の2乗に比例します。巻数を3倍にすると9倍です。

このように、自己インダクタンスは、コイルが自分の電流の変化を妨げる強さを表し、巻数の2乗や透磁率に比例します。

以上が、自己インダクタンスについてです。

相互インダクタンスと結合係数：2つのコイルの結びつき

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次に、相互インダクタンスと結合係数について紹介します。

2つのコイルを近くに置き、コイル1に電流を流します。すると、コイル1がつくる磁束の一部がコイル2も貫きます。この状態でコイル1の電流を変化させると、コイル2を貫く磁束も変化するので、コイル2に誘導起電力が生まれます。これを相互誘導と呼びます。

e2=MΔI1Δte_2 = M \frac{\Delta I_1}{\Delta t}

記号の意味は、e2e_2 がコイル2に生まれる起電力［V］、ΔI1/Δt\Delta I_1 / \Delta t がコイル1の電流の変化の速さ［A/s］です。比例定数 MM を 相互インダクタンス と呼び、単位は自己インダクタンスと同じヘンリー［H］です。

2つの太鼓を近くに並べ、片方をたたくと、もう片方の皮もかすかに震えます。たたいた太鼓の振動が、空気を通して隣に伝わるからです。相互誘導も同じで、コイル1の電流の変化が、磁束を通してコイル2に伝わります。変圧器は、このしくみで電圧を変えています。

具体的に計算してみましょう。相互インダクタンスが 0.05H のとき、コイル1の電流が 0.01 秒間に 2A 変化すると、コイル2の起電力は 0.05×2÷0.01=100.05 \times 2 \div 0.01 = 10 V です。

ただし、コイル1の磁束がすべてコイル2を貫くとは限りません。コイル2を通らずに外へもれる磁束を、漏れ磁束と呼びます。2つのコイルがどれだけしっかり結びついているかを表すのが 結合係数 kk です。

k=ML1L2k = \frac{M}{\sqrt{L_1 L_2}}

記号の意味は、L1L_1 と L2L_2 が各コイルの自己インダクタンス［H］、MM が相互インダクタンス［H］です。kk は 0 から 1 までの値をとります。漏れ磁束がまったくなければ k=1k = 1、2つのコイルが遠く離れて磁束をまったく共有しなければ k=0k = 0 です。

例えば、L1=0.4L_1 = 0.4 H、L2=0.1L_2 = 0.1 H、M=0.15M = 0.15 H なら、0.4×0.1=0.2\sqrt{0.4 \times 0.1} = 0.2 なので k=0.15÷0.2=0.75k = 0.15 \div 0.2 = 0.75 です。式を変形すると M=kL1L2M = k\sqrt{L_1 L_2} なので、kk と自己インダクタンスから MM を求めることもできます。

このように、相互インダクタンスは片方のコイルの電流の変化がもう片方に起電力を生む強さで、その結びつきの度合いを表すのが結合係数です。

以上が、相互インダクタンスと結合係数についてです。

和動接続と差動接続：コイルの直列つなぎ

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続いて、2つのコイルを直列につないだときの合成インダクタンスについて紹介します。

磁気的に結びついた2つのコイルを直列につなぐと、つなぎ方によって全体のインダクタンスが変わります。カギになるのは、2つのコイルがつくる磁束が同じ向きか、逆向きかです。

2つのコイルの磁束が同じ向きになって強め合うつなぎ方を 和動接続、逆向きになって打ち消し合うつなぎ方を 差動接続 と呼びます。合成インダクタンスは、それぞれ次のようになります。

L和=L1+L2+2M,L差=L1+L2−2ML_{\text{和}} = L_1 + L_2 + 2M, \qquad L_{\text{差}} = L_1 + L_2 - 2M

なぜ MM が2倍なのでしょうか？ コイル1がコイル2に起電力を生むだけでなく、コイル2もコイル1に起電力を生むからです。相互誘導が「行き」と「帰り」の2回ぶんはたらくので、2M2M になります。

2人でボートをこぐ様子にたとえると分かりやすいです。同じ向きにこげばボートは力強く進み、逆向きにこげば打ち消し合います。和動接続は息の合った2人、差動接続は逆向きにこぐ2人です。

具体的に計算してみましょう。L1=0.3L_1 = 0.3 H、L2=0.2L_2 = 0.2 H、M=0.1M = 0.1 H のとき、和動接続は 0.3+0.2+0.2=0.70.3 + 0.2 + 0.2 = 0.7 H、差動接続は 0.3+0.2−0.2=0.30.3 + 0.2 - 0.2 = 0.3 H です。

例題：相互インダクタンスを測る

2つのコイルを和動接続したときの合成インダクタンスは 0.7H、差動接続したときは 0.3H でした。相互インダクタンス MM を求めなさい。

【解き方】

  1. 和動の式から差動の式を引く： L和−L差=(L1+L2+2M)−(L1+L2−2M)=4ML_{\text{和}} - L_{\text{差}} = (L_1 + L_2 + 2M) - (L_1 + L_2 - 2M) = 4M
  2. 数値を入れる： 4M=0.7−0.3=0.44M = 0.7 - 0.3 = 0.4
  3. MM を求める： M=0.4÷4=0.1M = 0.4 \div 4 = 0.1 H

答えは 0.1H です。L1L_1 と L2L_2 がそれぞれ分からなくても、2回の測定で MM が求まります。

試験のポイント：M=(L和−L差)/4M = (L_{\text{和}} - L_{\text{差}}) / 4 です。差を 2 で割ってしまうミスが多いので注意しましょう。

このように、和動接続では 2M2M を足し、差動接続では 2M2M を引いて合成インダクタンスを求めます。

以上が、和動接続と差動接続についてです。

電磁エネルギー：コイルにたくわえられるエネルギー

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最後に、コイルにたくわえられる電磁エネルギーについて紹介します。

コイルに電流を流し始めると、逆起電力が電流の増加を妨げます。電源は、この逆起電力に逆らって電流を押し込む仕事をします。その仕事は消えてしまうのではなく、コイルのまわりの磁界にエネルギーとしてたくわえられます。これを 電磁エネルギー と呼びます。

W=12LI2W = \frac{1}{2} L I^2

記号の意味は、WW が電磁エネルギー［J］、LL が自己インダクタンス［H］、II が電流［A］です。言葉で言うと、「インダクタンスと電流の2乗の積の半分」です。

コンデンサの記事で学んだ静電エネルギー 12CV2\dfrac{1}{2}CV^2 と、形がそっくりです。コンデンサは電界に、コイルは磁界にエネルギーをためます。はずみ車にたとえると、重い車ほど、また速く回るほど、たくさんの回転のエネルギーをためています。コイルでは、LL が車の重さ、II が回る速さにあたります。

具体的に計算してみましょう。自己インダクタンス 0.4H のコイルに 5A の電流が流れているとき、たくわえられている電磁エネルギーは次のとおりです。

W=12×0.4×52=5 JW = \frac{1}{2} \times 0.4 \times 5^2 = 5\ \text{J}

したがって、5J のエネルギーがたくわえられています。電流が2倍になると、エネルギーは4倍になります。

スイッチを切って電流が急に止まると、たくわえられていたエネルギーの行き場がなくなります。そのエネルギーが大きな逆起電力となって、スイッチのすき間に火花を飛ばすのです。はじめに紹介した火花は、このエネルギーが一気に放出された姿だったのです。

このように、コイルは電流を流すと磁界に 12LI2\frac{1}{2}LI^2 の電磁エネルギーをたくわえ、電流の2乗に比例してエネルギーが増えます。

以上が、電磁エネルギーについてです。

今回のまとめ

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それでは、今回の内容を振り返ります。

今回は、インダクタンスについて紹介しました。コイルは、自分の電流の変化も、隣のコイルの電流の変化も、磁束を通して感じ取ります。その強さを表すのが自己インダクタンスと相互インダクタンスです。そして、コイルは電流を流している間、磁界にエネルギーをためています。

今回のポイントを振り返りましょう。

振り返り

  • 自己誘導の起電力は e=LΔI/Δte = L \Delta I / \Delta t。NΦ=LIN\Phi = LI で、LL は巻数の2乗に比例する。
  • 相互誘導の起電力は e2=MΔI1/Δte_2 = M \Delta I_1 / \Delta t。結合係数は k=M/L1L2k = M / \sqrt{L_1 L_2} で、0 から 1 の値。
  • 直列の合成インダクタンスは、和動接続で L1+L2+2ML_1 + L_2 + 2M、差動接続で L1+L2−2ML_1 + L_2 - 2M。
  • コイルの電磁エネルギーは W=12LI2W = \frac{1}{2}LI^2。

キーワードのおさらい

  • 自己インダクタンス: 自分の電流の変化が自分に起電力を生む強さ。単位はヘンリー［H］
  • 相互インダクタンス: 片方のコイルの電流の変化が、もう片方のコイルに起電力を生む強さ。単位は［H］
  • 結合係数: 2つのコイルの磁気的な結びつきの度合い。k=M/L1L2k = M / \sqrt{L_1 L_2}
  • 和動接続: 2つのコイルの磁束が強め合うつなぎ方。合成は L1+L2+2ML_1 + L_2 + 2M
  • 差動接続: 2つのコイルの磁束が打ち消し合うつなぎ方。合成は L1+L2−2ML_1 + L_2 - 2M
  • 電磁エネルギー: コイルの磁界にたくわえられるエネルギー。W=12LI2W = \frac{1}{2}LI^2

以上が、今回のまとめです。

さて、今回はインダクタンスが透磁率に比例することを見ました。鉄心を入れると、なぜこれほど磁束が増えるのでしょうか？ そして、鉄の中の磁束は、どうやって計算すればよいのでしょうか？

次回は、鉄の磁化の性質と、磁束の通り道を電気回路のように扱う「磁性体と磁気回路」について紹介します。

それでは、次の記事へ進んでいきましょう。

練習問題5問開いて挑戦する
問1. 自己インダクタンス 50mH のコイルの電流が、0.02 秒間に一定の割合で 4A 変化した。コイルに生じる誘導起電力の大きさとして、正しいものはどれか。
問2. 自己インダクタンスが 0.8H と 0.2H の2つのコイルの間の相互インダクタンスが 0.3H である。結合係数として正しいものはどれか。
問3. 2つのコイルを和動接続したときの合成インダクタンスが 1.0H、差動接続したときが 0.6H であった。相互インダクタンスとして正しいものはどれか。
問4. 自己インダクタンス 2H のコイルに 3A の電流が流れている。コイルにたくわえられている電磁エネルギーとして、正しいものはどれか。
問5. 結合係数についての説明として、正しいものはどれか。
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