電子の運動と物理現象

理論-26　電気理論・電子理論・電気計測

電子の運動
ローレンツ力
ホール効果
ゼーベック効果
ペルチェ効果
圧電効果
光電効果

はじめに

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「電子って、目に見えないほど小さいのに、どうやって動きを計算するの……？」

前回の記事では、演算増幅器の性質と、反転増幅回路・非反転増幅回路の計算を学びました。ダイオード、トランジスタ、演算増幅器と、ここまでの電子回路の部品は、どれも半導体の中の電子のふるまいを利用していました。

身の回りには、電子のふるまいを直接利用した道具もたくさんあります。例えば、電子レンジやエックス線の装置の中では、電子を電圧で加速しています。電気ケトルの温度センサー、ガスコンロの点火装置、太陽電池も、電気と熱・力・光が入れ替わる現象を使っています。

実は、電子の動きは、高校物理で学ぶボールの運動とほとんど同じ考え方で計算できます。電界の中では坂道を転がるボールのように加速し、磁界の中では、ひもで回すボールのように円を描きます。

そこで登場するのが、今回の主役「ローレンツ力」と、電気と熱・光・力を結ぶいろいろな物理現象です。

今回の記事では、電界の中の電子の運動、磁界の中で電子が受けるローレンツ力、それを利用したホール効果、そしてゼーベック効果・ペルチェ効果・圧電効果・光電効果について解説します。

電界の中の電子の運動：坂道を転がるボール

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はじめに、電界の中の電子の運動について紹介します。

電子は、マイナスの電荷 $-e$ を持つ、とても軽い粒です。電荷と質量は次のとおりです。

e = 1.602 \times 10^{-19}\ \text{C}, \qquad m = 9.109 \times 10^{-31}\ \text{kg}

静電気と電界の記事で学んだとおり、電界の中に電荷を置くと力を受けます。電子が受ける力の大きさは次のとおりです。

F = eE

記号の意味は、 $F$ が力［N］、 $E$ が電界の強さ［V/m］です。電子はマイナスなので、力の向きは電界と 逆向き です。つまり、電子は電位の低いほうから高いほうへ引っぱられます。

例えば、1cm 離れた2枚の平行な板に 200V をかけると、板の間の電界は $200 \div 0.01 = 2 \times 10^4$ V/m です。電子が受ける力は $1.602 \times 10^{-19} \times 2 \times 10^4 \approx 3.2 \times 10^{-15}$ N です。電子はとても軽いので、小さな力でもぐんぐん加速します。

電圧で加速された電子の速さ

坂道を転がり落ちるボールは、高さの位置エネルギーが運動エネルギーに変わって速くなります。電子も同じで、電圧 $V$ で加速されると、電界がした仕事 $eV$ がそのまま運動エネルギーになります。

eV = \frac{1}{2} m v^2 \quad \Longrightarrow \quad v = \sqrt{\frac{2eV}{m}}

記号の意味は、 $V$ が加速する電圧［V］、 $v$ が電子の速さ［m/s］です。言葉で言うと、「速さは電圧の平方根に比例する」です。電圧を4倍にしても、速さは2倍にしかなりません。

例題：100V で加速された電子の速さ

静止していた電子を 100V の電圧で加速しました。電子の速さは何m/sでしょうか？電子の電荷と質量は先ほどの値とします。

【解き方】

得たエネルギーを求める： $eV = 1.602 \times 10^{-19} \times 100 = 1.602 \times 10^{-17}$ J
速さの式に入れる： $v = \sqrt{2 \times 1.602 \times 10^{-17} \div (9.109 \times 10^{-31})}$
計算する： $v \approx 5.93 \times 10^6$ m/s

答えは、約 $5.93 \times 10^6$ m/s です。秒速 5900km、光の速さの約 2% にもなります。

電子が 1V の電圧で加速されて得るエネルギー $1.602 \times 10^{-19}$ J を、1 電子ボルト［eV］と呼びます。この例の電子は、100eV のエネルギーを持っています。

なお、電界と直角の向きに飛び込んだ電子は、横向きに投げたボールのように放物線を描いて曲がります。

このように、電界の中の電子は電界と逆向きに力を受け、加速する電圧から $eV = \frac{1}{2}mv^2$ で速さが求まります。

以上が、電界の中の電子の運動についてです。

磁界の中の電子：ローレンツ力

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次に、磁界の中で電子が受けるローレンツ力について紹介します。

電磁力の記事で、磁界の中の電流は力を受けることを学びました。電流は電荷の流れなので、実は、一つひとつの電荷が磁界から力を受けていたのです。磁界の中を動く電荷が受けるこの力を ローレンツ力 と呼びます。

速さ $v$ の電子が、磁束密度 $B$ の磁界に直角に飛び込むと、受ける力の大きさは次のとおりです。

F = evB

記号の意味は、 $F$ が力［N］、 $e$ が電子の電荷の大きさ［C］、 $v$ が速さ［m/s］、 $B$ が磁束密度［T］です。言葉で言うと、「電荷が大きいほど、速いほど、磁界が強いほど、力は大きい」です。止まっている電荷は、磁界から力を受けません。

力の向きは、フレミングの左手の法則で決まります。ただし、電流の向きは電子の動く向きと逆なので、電子の場合は、動く向きと逆向きを「電流」として左手を当てます。

ローレンツ力で円を描く

ローレンツ力は、いつも電子の進む向きと直角にはたらきます。ひもの先にボールを付けて回すと、ひもがボールを中心へ引き続けるので、ボールは円を描きます。電子も同じで、磁界の中では一定の速さで円運動をします。

ローレンツ力が、円運動に必要な中心向きの力 $mv^2/r$ になるので、円の半径 $r$ が求まります。

evB = \frac{mv^2}{r} \quad \Longrightarrow \quad r = \frac{mv}{eB}

速い電子ほど大きな円を、磁界が強いほど小さな円を描きます。一周にかかる時間は $T = 2\pi r / v = 2\pi m / (eB)$ で、速さによらないのが特徴です。

具体的に計算してみましょう。速さ $1 \times 10^7$ m/s の電子が、磁束密度 0.5T の磁界に直角に入ると、ローレンツ力は $1.602 \times 10^{-19} \times 1 \times 10^7 \times 0.5 \approx 8.0 \times 10^{-13}$ N です。せっかくなので、別の例も見てみましょう。100V で加速した電子（ $5.93 \times 10^6$ m/s）が 1mT の磁界に入ると、半径は $9.109 \times 10^{-31} \times 5.93 \times 10^6 \div (1.602 \times 10^{-19} \times 10^{-3}) \approx 0.034$ m、約 3.4cm の円を描きます。

補足（ここは読み飛ばしてOK）：電界から受ける力 $eE$ と、磁界から受ける力 $evB$ をまとめて、ローレンツ力と呼ぶこともあります。

試験のポイント：ローレンツ力は進む向きと直角なので、電子の速さ（運動エネルギー）は変えず、向きだけを変えます。「磁界で電子が加速される」という選択肢は誤りです。

このように、ローレンツ力は磁界の中を動く電荷が受ける $evB$ の力で、進む向きと直角にはたらくので、電子は円を描いて回ります。

以上が、磁界の中の電子についてです。

ホール効果：磁界で横向きの電圧が生まれる

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続いて、ホール効果について紹介します。

板状の半導体に電流を流し、板と直角の向きに磁界をかけます。すると、板の中を動くキャリヤは、ローレンツ力で横へ押しやられます。キャリヤが片側の側面にたまるので、両側の側面の間に電圧が生まれます。この現象を ホール効果 と呼び、生まれる電圧を ホール電圧 と呼びます。

廊下を歩く人の列に、横から強い風が吹きつけるイメージです。人は風下の壁際に寄っていき、廊下の片側だけが混み合います。この「片寄り」が電圧として現れるのです。

ホール電圧の大きさは、次のとおりです。

V_H = R_H \frac{IB}{d}

記号の意味は、 $V_H$ がホール電圧［V］、 $I$ が電流［A］、 $B$ が磁束密度［T］、 $d$ が磁界の向きの板の厚さ［m］です。 $R_H$ は ホール係数［m³/C］で、キャリヤの密度を $n$ ［個/m³］、電荷を $q$ ［C］とすると $R_H = 1/(nq)$ です。

言葉で言うと、「ホール電圧は電流と磁束密度に比例し、板の厚さに反比例する」です。また、キャリヤが少ないほど、キャリヤ1個あたりが速く動くので、ホール電圧は大きくなります。そのため、キャリヤの多い金属より、キャリヤの少ない半導体のほうがはっきり現れます。

具体的に計算してみましょう。ホール係数 $5 \times 10^{-3}$ m³/C、厚さ 0.5mm の半導体に、電流 10mA を流し、0.5T の磁界をかけます。厚さを $0.5 \times 10^{-3}$ m に直して、 $V_H = 5 \times 10^{-3} \times 0.01 \times 0.5 \div (0.5 \times 10^{-3}) = 0.05$ V、つまり 50mV です。

ホール電圧の向きは、キャリヤが電子か正孔かで逆になります。そのため、ホール電圧の向きを見れば、n形半導体かp形半導体かを見分けられます。

ホール効果を使った ホール素子 は、磁界の強さを測るセンサーとして使われます。例えば、電線を挟むだけで直流の電流を測れる電流計や、モーターの回転子の位置を検出するセンサーに使われています。

このように、ホール効果は、ローレンツ力で片寄ったキャリヤが電流と直角の向きに電圧を生む現象で、磁界の測定に使われます。

以上が、ホール効果についてです。

電気と熱・力・光の変換：いろいろな物理現象

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最後に、電気と熱・力・光が入れ替わる物理現象について紹介します。

電験では、現象の名前と、その中身・使い道の組み合わせがよく問われます。4つの現象を1つずつ見ていきましょう。

1. ゼーベック効果（熱 → 電気）

2種類の金属の線の両端をつないで輪を作り、2つの接合点に温度差を付けると、輪に起電力が生まれて電流が流れます。これを ゼーベック効果 と呼び、生まれる起電力を熱起電力と呼びます。

この性質を使った温度計が 熱電対 です。熱起電力は温度差でほぼ決まるので、電圧を測れば温度が分かります。例えば、1℃あたり 40μV の熱起電力を生じる熱電対で、温度差が 300℃ なら、起電力は $40 \times 300 = 12000$ μV、つまり 12mV です。炉や排ガスの温度の測定に使われます。

2. ペルチェ効果（電気 → 熱）

ゼーベック効果の逆です。2種類の金属や半導体の接合部に電流を流すと、一方の接合部で熱を吸収し、もう一方で熱を出します。これを ペルチェ効果 と呼びます。

電流の向きを逆にすると、熱を吸う側と出す側が入れ替わります。ジュール熱が電流の向きによらず必ず発熱なのとは違い、ペルチェ効果は「冷やす」こともできるのが特徴です。冷媒を使わない小型の冷蔵庫や、電子部品の冷却装置（電子冷却）に使われています。

3. 圧電効果（力 → 電気、電気 → 力）

水晶などの結晶に力を加えてひずませると、表面にプラスとマイナスの電荷が現れて電圧が生まれます。これを 圧電効果（ピエゾ効果）と呼びます。反対に、電圧をかけると結晶がひずむ逆圧電効果もあります。

ガスコンロやライターの点火装置は、結晶を強くたたいて高い電圧を作り、火花を飛ばしています。また、水晶に交流の電圧をかけると決まった周波数で正確に振動するので、時計の基準になる水晶振動子に使われます。超音波を出すスピーカーやセンサーにも使われています。

4. 光電効果（光 → 電気）

金属に光を当てると、表面から電子が飛び出すことがあります。これを 光電効果 と呼び、飛び出す電子を光電子と呼びます。

ここがポイントです。光は、エネルギー $h\nu$ を持つ粒（光子）の集まりとしてふるまいます。 $h = 6.626 \times 10^{-34}$ J·s はプランク定数、 $\nu$ （ニュー）は光の振動数［Hz］です。電子が飛び出すかどうかは光子1個のエネルギー、つまり 振動数（色） で決まり、光の強さでは決まりません。振動数が一定の値より低い光は、どんなに強く当てても電子は飛び出しません。光を強くすると、飛び出す電子の数が増えます。

例えば、波長 500nm の緑の光の光子1個のエネルギーは、光の速さを $3 \times 10^8$ m/s として $h\nu = hc/\lambda = 6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8 \div (500 \times 10^{-9}) \approx 3.98 \times 10^{-19}$ J、約 2.5eV です。