電力と電力量

理論-6　電気理論・電子理論・電気計測

電力
電力量
ジュールの法則
ジュール熱
最大電力供給

はじめに

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「ドライヤーの『1200W』と、電気料金の『kWh』。どちらも電気の量なのに、何が違うの……？」

前回の記事では、ブリッジ回路とΔ-Y変換を学び、複雑な回路の電流や合成抵抗を求められるようになりました。ここまでは、電流や電圧の「大きさ」を中心に見てきました。

ところで、私たちが電気を使うのは、明かりをつけたり、部屋を暖めたり、モーターを回したりするためです。つまり、電気に「仕事」をしてもらっています。家電の箱には「W」、電気料金の明細には「kWh」という単位が書かれています。この2つは、電気がする仕事を、違う見方で表したものです。

実は、電気ストーブや電気ポットが温かくなるのも、電線が熱をもつのも、同じ1つの法則で説明できます。さらに、電池からいちばん多くの電力を取り出すには、つなぐ抵抗をいくつにすればよいかも決まっています。

そこで登場するのが、今回の主役「電力」と「電力量」です。

今回の記事では、電力と電力量の意味と計算、抵抗で電気が熱になるジュールの法則、そして最大電力供給の条件について解説します。

電力：電気がする仕事の速さ

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はじめに、電力について紹介します。

電気が1秒間にする仕事の量を電力と呼びます。単位は ワット［W］ です。1W は、1秒間に1ジュール［J］の仕事をする速さです。つまり、電力は「仕事の速さ」を表します。

電力は、電圧と電流の掛け算で求まります。

P = VI

記号の意味は、 $P$ が電力［W］、 $V$ が電圧［V］、 $I$ が電流［A］です。言葉で言うと、「押す力 × 流れの量 = 仕事の速さ」です。

水車にたとえると分かりやすいです。水車を回す力は、落ちる水の高さ（電圧）と、流れる水の量（電流）の両方で決まります。高い所から、たくさんの水を落とすほど、水車は勢いよく回ります。

1. オームの法則と組み合わせる

抵抗では $V = RI$ が成り立つので、 $P = VI$ に代入すると、電力の式はあと2つの形でも書けます。

P = VI = RI^2 = \frac{V^2}{R}

電流が分かっているときは $RI^2$ 、電圧が分かっているときは $V^2/R$ を使うと、計算が1回で済みます。

具体的に計算してみましょう。100V で 1000W のドライヤーには、 $I = 1000 \div 100 = 10$ A の電流が流れます。抵抗は $R = 100 \div 10 = 10$ Ω です。確かめると、 $RI^2 = 10 \times 10^2 = 1000$ W、 $V^2/R = 100^2 \div 10 = 1000$ W で、どの形でも同じ答えになります。

2. 電圧が変わったときの電力

ここで1つ注意があります。家電の「100V 40W」という表示は、「100V で使ったときに 40W」という意味です。電圧が変わると、電力も変わります。

例えば、100V 40W の電球の抵抗は、 $R = 100^2 \div 40 = 250$ Ω です。この電球を 80V で使うと、電力は $80^2 \div 250 = 25.6$ W です。抵抗が同じなら電力は電圧の2乗に比例するので、電圧が 0.8 倍になると、電力は $0.8^2 = 0.64$ 倍になります。40 × 0.64 = 25.6W と、同じ答えになります。

試験のポイント：抵抗が一定なら、電力は電圧の2乗に比例し、電流の2乗にも比例します。電圧が半分になると、電力は4分の1です。

このように、電力は電気が1秒間にする仕事の速さで、 $P = VI = RI^2 = V^2/R$ の3つの形で求められます。

以上が、電力についてです。

電力量：電気がした仕事の量

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次に、電力量について紹介します。

電力が「仕事の速さ」なら、その速さで何時間働いたかを掛ければ、「仕事の量」になります。これを 電力量 と呼びます。

W = Pt

記号の意味は、 $W$ が電力量、 $P$ が電力、 $t$ が時間です。電力を［W］、時間を秒［s］で表すと、電力量の単位は ジュール［J］（= ワット秒［W·s］）になります。

ところが、ジュールは小さな単位です。家庭の電気の量を表すには、電力を［kW］、時間を［h］で表した キロワット時［kWh］ を使います。電気料金の明細や、電柱の近くや家の外壁にある電力量計に出てくるのがこの単位です。

【電力量の単位の換算】

1 kWh = 1000 W × 3600 s = $3.6 \times 10^6$ J
1 W·s = 1 J

たとえ話で言うと、電力は車の「速さ」、電力量は「走った距離」です。速く走っても短い時間なら距離は短く、ゆっくりでも長い時間走れば距離は長くなります。

具体的に計算してみましょう。1.2kW のドライヤーを30分（0.5時間）使うと、電力量は $1.2 \times 0.5 = 0.6$ kWh です。ジュールに直すと、 $0.6 \times 3.6 \times 10^6 = 2.16 \times 10^6$ J です。

せっかくなので、別の例も見てみましょう。同じドライヤーを毎日15分（0.25時間）、30日使うと、1か月の電力量は $1.2 \times 0.25 \times 30 = 9$ kWh です。電気料金は、この電力量に単価を掛けて決まります。

試験のポイント：時間の単位に注意します。分は60で割って時間に、時間は3600を掛けて秒に直します。kWh と J のどちらで答えるかも、問題文で必ず確かめましょう。

このように、電力量は電力に時間を掛けた仕事の量で、家庭ではキロワット時［kWh］で表します。

以上が、電力量についてです。

ジュールの法則：電気が熱に変わる

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続いて、ジュールの法則について紹介します。

抵抗に電流が流れると、抵抗は熱をもちます。抵抗の中を進む電子が、原子にぶつかりながら進むので、電気のエネルギーが熱に変わるのです。混んだ通路を人がかき分けて進むと、まわりとこすれて体が温まるようなイメージです。

このとき発生する熱を ジュール熱 と呼びます。その量を表すのが ジュールの法則 です。

H = RI^2 t

記号の意味は、 $H$ が発生する熱量［J］、 $R$ が抵抗［Ω］、 $I$ が電流［A］、 $t$ が時間［s］です。言葉で言うと、「抵抗で使われた電力量が、そのまま熱になる」です。電力 $RI^2$ に時間 $t$ を掛けた形なので、前の節の電力量と同じものを、熱として見ているわけです。

ここがポイントです。熱は電流の2乗に比例します。電流が2倍になると、熱は4倍になります。電線に決められた以上の電流を流すと危ないのは、このためです。ブレーカーが落ちるのも、電線が熱くなりすぎる前に電流を止めるためです。

ジュール熱は、役に立つ場面と、困る場面があります。電気ストーブ、電気ポット、アイロンは、ジュール熱をわざと使う家電です。一方、送電線や変圧器では、ジュール熱は電気のむだ（損失）になります。

1. 水を温める計算

ジュール熱で水を温める問題は、電験でよく出ます。水 1kg の温度を 1℃（1K）上げるには、約 4.2kJ の熱が必要です。この値を水の比熱と呼び、4.2 kJ/(kg·K) と書きます。

H = mc\Delta T

記号の意味は、 $H$ が必要な熱量［kJ］、 $m$ が水の質量［kg］、 $c$ が比熱［kJ/(kg·K)］、 $\Delta T$ が上げる温度［K］です。温度差は、℃ で計算しても K で計算しても同じ値になります。

例えば、水 1L（1kg）を 20℃ から 80℃ まで温めるには、 $1 \times 4.2 \times 60 = 252$ kJ の熱が必要です。1kW のヒーターなら、1秒に 1kJ の熱を出すので、252秒（4.2分）かかります。

例題：電気ポットで湯を沸かす時間

消費電力 1kW の電気ポットで、20℃ の水 1.5L を 100℃ まで温めます。ポットの効率を 84％、水の比熱を 4.2 kJ/(kg·K)、水 1L の質量を 1kg とすると、かかる時間は何分でしょうか？

【解き方】

水に必要な熱量を求める： $1.5 \times 4.2 \times (100 - 20) = 504$ kJ
効率を考えて、ポットが使う電力量を求める： 504 ÷ 0.84 = 600 kJ
時間を求める： 1kW は 1秒に 1kJ なので、600 ÷ 1 = 600 秒
分に直す： 600 ÷ 60 = 10 分

答えは 10 分です。効率が 84％ということは、使った電力量の 84％だけが水の温度上昇に使われ、残りは周りに逃げるということです。だから、必要な熱量を 0.84 で「割る」ことになります。

試験のポイント：効率の問題では、「掛ける」か「割る」かで迷いがちです。電気から出す側の量は、水が受け取る量より多いはずなので、「割って大きくする」と覚えましょう。

このように、ジュールの法則は、抵抗で使われた電力量 $RI^2 t$ がそのまま熱になることを表し、湯を沸かす計算などに使います。

以上が、ジュールの法則についてです。

最大電力供給：いちばん多く電力を取り出す条件

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最後に、最大電力供給について紹介します。

内部抵抗 $r$ の電池に、負荷の抵抗 $R$ をつなぎます。 $R$ を大きくしたり小さくしたりしたとき、 $R$ で使われる電力がいちばん大きくなるのはいつでしょうか？

一見、抵抗を小さくすれば電流が増えるので、電力も増えそうです。ところが、 $R$ を小さくしすぎると、 $R$ にかかる電圧が下がってしまいます。逆に、 $R$ を大きくしすぎると、電流が減ってしまいます。どこかに、ちょうどよい値があるはずです。

結論から言うと、負荷の抵抗が電源の内部抵抗と等しいとき、負荷の電力は最大になります。これを 最大電力供給 の条件と呼びます。

R = r \quad \text{のとき} \quad P_{\max} = \frac{E^2}{4r}

記号の意味は、 $R$ が負荷の抵抗［Ω］、 $r$ が電源の内部抵抗［Ω］、 $E$ が起電力［V］、 $P_{\max}$ が負荷で得られる最大の電力［W］です。 $R = r$ のとき、電流は $E/(2r)$ なので、 $P = r \times \left(\dfrac{E}{2r}\right)^2 = \dfrac{E^2}{4r}$ となります。

たとえ話で考えてみましょう。シーソーで、片方だけが重すぎても軽すぎても、うまく遊べません。電源と負荷も、両方の抵抗が「つり合った」ときに、いちばん多くの電力を受け渡せます。

具体的に計算してみましょう。起電力 12V、内部抵抗 2Ω の電池に、いろいろな $R$ をつないだときの電力 $P = RI^2$ を比べます。

【負荷の抵抗と電力】

$R$ = 1Ω：電流 12 ÷ 3 = 4A、電力 1 × 4² = 16W
$R$ = 2Ω：電流 12 ÷ 4 = 3A、電力 2 × 3² = 18W
$R$ = 4Ω：電流 12 ÷ 6 = 2A、電力 4 × 2² = 16W

内部抵抗と同じ 2Ω のときに、電力が最大の 18W になりました。公式でも $12^2 \div (4 \times 2) = 18$ W です。

ここで1つ注意があります。最大電力のとき、内部抵抗でも負荷と同じ電力が熱になって失われています。つまり、電源が出す電力のうち、負荷で使えるのは半分だけで、効率は 50％です。「最大の電力」と「最高の効率」は別のものだと押さえておきましょう。

例題：テブナンの定理と最大電力

ある回路の端子 a・b の開放電圧は 18V、電源を取り除いて a・b から見た合成抵抗は 6Ω です。a・b 間につなぐ負荷抵抗 $R$ の電力を最大にするには、 $R$ を何Ωにすればよいでしょうか？また、そのときの電力は何Wでしょうか？

【解き方】

テブナンの定理で、回路を起電力 18V・内部抵抗 6Ω の電源1つと考える
最大電力の条件より、 $R$ = 6Ω
最大電力を求める： $18^2 \div (4 \times 6) = 324 \div 24 = 13.5$ W

答えは、6Ω と 13.5W です。前の記事で学んだテブナンの定理と組み合わせると、どんな回路でも「内部抵抗」がはっきりし、最大電力の条件が使えます。

補足（ここは読み飛ばしてOK）：負荷の電力は $P = \dfrac{E^2}{\dfrac{r^2}{R} + 2r + R}$ と書けます。分母の $\dfrac{r^2}{R}$ と $R$ は、掛けると $r^2$ で一定なので、2つが等しい $R = r$ のときに和が最小になり、電力は最大になります。