電験三種 学習ノート

はじめに

電柱の上のバケツのような箱は、何だろうか

電柱の電線は6600V、家のコンセントは約100V

中身は、鉄心に2つのコイルを巻いただけの機械

6600Vを100Vや200Vに下げ、電力はほとんど失わない

主役は変圧器。巻数の比で交流の電圧を変える

しくみから等価回路まで、順に学ぶ

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「電柱の上にある、あのバケツのような箱は何だろう……」

町を歩いていると、電柱の上に灰色の円筒形の箱が載っているのを見かけます。電柱の電線には、6600V という高い電圧が流れています。ところが、家のコンセントは約 100V です。どこかで電圧を下げなければ、家電はすぐに壊れてしまいます。

前回の記事では、直流電動機の逆起電力・トルク・回転速度の関係と、始動と速度制御のしかたを学びました。ここからは、交流の機械に進みます。

実は、電柱の上の箱の中身は、鉄のかたまりに2つのコイルを巻いただけの、とても単純な機械です。回る部分も、動く部分もありません。それなのに、6600V を 100V や 200V に下げ、しかもほとんど電力を失いません。交流の電気が世界中で使われているのは、この機械で電圧を自由に上げ下げできるからです。

そこで登場するのが、今回の主役 変圧器 です。交流の電圧を、コイルの巻数の比で変える機械です。

今回の記事では、変圧器が電圧を変えるしくみと巻数比、損失のない理想変圧器、実際の変圧器に流れる励磁電流と漏れリアクタンス、そして変圧器を回路で表す等価回路と一次換算・二次換算について解説します。

変圧器のしくみ：鉄心と2つの巻線

鉄心に巻いた2つの巻線。電源側が一次、負荷側が二次

巻線どうしは電線でつながらず、鉄心の磁束で伝わる

交流なので、磁束の大きさと向きは変わり続ける

軸でつないだ水車のように、磁束を通して力が伝わる

周波数・巻数・磁束が大きいほど、電圧は大きい

50Hz・200回・0.01Wbなら、電圧は444V

直流では磁束が一定で、二次側に電圧が出ない

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はじめに、変圧器のしくみについて紹介します。

変圧器は、鉄心 と呼ばれる鉄の輪に、2つのコイル（巻線）を巻いた構造をしています。電源につなぐ側を 一次巻線、負荷につなぐ側を 二次巻線 と呼びます。2つの巻線は電線でつながっていません。それでも電気が伝わるのは、鉄心の中を通る磁束のおかげです。

順に追ってみましょう。一次巻線に交流の電圧をかけると、交流の電流が流れ、鉄心の中に磁束が生まれます。交流なので、磁束の大きさと向きは1秒間に何十回も変わります。この変わり続ける磁束が二次巻線を貫くと、電磁誘導によって二次巻線に電圧が生まれます。

たとえるなら、2つの水車が1本の太い軸でつながっているようなものです。片方の水車（一次側）に水を流して軸を回すと、離れたもう片方の水車（二次側）も回ります。水そのものは移っていなくても、軸（磁束）を通して力が伝わるのです。

巻線に生まれる電圧の大きさは、次の式で表します。

$$E = 4.44 f N \Phi_m$$

記号の意味は、$E$ が誘導起電力の実効値［V］、$f$ が周波数［Hz］、$N$ が巻線の巻数［回］、$\Phi_m$ が磁束の最大値［Wb］です。言葉で言うと、「周波数が高いほど、巻数が多いほど、磁束が大きいほど、大きな電圧が生まれる」です。

具体的に計算してみましょう。周波数 50Hz、巻数 200回、磁束の最大値 0.01Wb のとき、生まれる電圧は次のとおりです。

$$E = 4.44 \times 50 \times 200 \times 0.01 = 444\ \text{V}$$

ここで1つ注意があります。磁束が変わり続けることが、電圧を生む条件です。直流をかけると磁束が一定になり、二次側には電圧が出ません。変圧器は、交流でしか使えない機械なのです。

このように、変圧器は鉄心の中の変わり続ける磁束を通して、つながっていない2つの巻線の間で電気を伝えます。

以上が、変圧器のしくみについてです。

巻数比と理想変圧器：電圧と電流の比

同じ磁束を通るので、電圧の比は巻数の比に等しい

6600Vを220Vに下げるなら、巻数比は30

理想変圧器では、入った電力がそのまま出てくる

てこと同じ。力と動く距離の積はどちらの側も同じ

11Ωの負荷なら二次電流20A、一次電流は約0.667A

一次側から見ると、11Ωが900倍の9900Ωに見える

例題の答えは二次電圧100V、一次電流 約0.833A

電圧はaで割り電流はaを掛ける。インピーダンスは2乗

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次に、巻数比と理想変圧器について紹介します。

一次巻線と二次巻線は、同じ鉄心の同じ磁束 $\Phi_m$ に貫かれています。すると、先ほどの式で違うのは巻数 $N$ だけです。一次と二次の電圧の比は、巻数の比と等しくなります。

$$a = \frac{N_1}{N_2} = \frac{E_1}{E_2}$$

記号の意味は、$N_1$、$N_2$ が一次・二次の巻数［回］、$E_1$、$E_2$ が一次・二次の誘導起電力［V］です。$a$ を 巻数比 と呼びます。言葉で言うと、「巻数が多い側ほど、電圧が高い」です。

例えば、電柱の変圧器で 6600V を 220V に下げるなら、巻数比は $6600 \div 220 = 30$ にします。一次巻線を二次巻線の30倍巻けばよいのです。

1. 理想変圧器

ここで、話を分かりやすくするために、巻線の抵抗も、鉄心の損失も、漏れる磁束もない変圧器を考えます。これを 理想変圧器 と呼びます。理想変圧器では、一次側に入った電力がそのまま二次側から出てきます。

$$V_1 I_1 = V_2 I_2$$

電力が同じで電圧が $a$ 分の1になるのですから、電流は $a$ 倍になります。

$$\frac{I_1}{I_2} = \frac{N_2}{N_1} = \frac{1}{a}$$

言葉で言うと、「電圧を下げた側では、そのぶん電流が大きくなる」です。てこにたとえると分かりやすいでしょう。てこの短い側を大きな力で少し動かすと、長い側は小さな力で大きく動きます。力と動く距離の積（仕事）は、どちらの側でも同じです。

具体的に計算してみましょう。巻数比 30 の理想変圧器の一次側に 6600V をかけ、二次側（220V）に 11Ω の負荷をつなぎます。

【計算の流れ】

1. 二次電流： $I_2 = 220 \div 11 = 20$ A
2. 一次電流： $I_1 = 20 \div 30 \fallingdotseq 0.667$ A
3. 電力の確認： $6600 \times 0.667 \fallingdotseq 220 \times 20 = 4400$ W

2. 一次側から見たインピーダンス

この計算を、一次側から眺め直してみます。一次側から見ると、6600V をかけて 0.667A が流れているので、負荷は $6600 \div 0.667 = 9900$ Ω に見えます。これは、二次側の 11Ω の $a^2 = 900$ 倍です。

$$Z_1 = a^2 Z_2$$

電圧が $a$ 倍、電流が $a$ 分の1になるので、その比であるインピーダンスは $a^2$ 倍に見えるのです。この考え方が、あとで学ぶ一次換算の土台になります。

例題：巻数比から電圧と電流を求める

一次巻線 1200回、二次巻線 40回の理想変圧器があります。一次側に 3000V をかけ、二次側に 4Ω の抵抗をつなぎました。二次電圧と一次電流はいくらでしょうか？

【解き方】

1. 巻数比を求める： $a = 1200 \div 40 = 30$
2. 二次電圧を求める： $V_2 = 3000 \div 30 = 100$ V
3. 二次電流を求める： $I_2 = 100 \div 4 = 25$ A
4. 一次電流を求める： $I_1 = 25 \div 30 \fallingdotseq 0.833$ A

答えは、二次電圧 100V、一次電流 約 0.833A です。一次から二次へ移るとき、電圧は巻数比で割り、電流は巻数比を掛けます。向きが逆になる点に気をつけましょう。

試験のポイント：電圧は巻数に比例し、電流は巻数に反比例します。インピーダンスは巻数比の2乗で変わります。「2乗」を忘れる間違いがよく狙われます。

このように、変圧器は巻数比で電圧を変え、電流は逆の比で変わり、理想変圧器では一次と二次の電力が等しくなります。

以上が、巻数比と理想変圧器についてです。

励磁電流と漏れリアクタンス：実際の変圧器の不完全さ

二次側を開いたままでも、わずかな励磁電流が流れる

励磁電流は、鉄損電流と90°遅れの磁化電流からなる

止まっていても燃料を少し使う、アイドリングに似ている

励磁電流は定格の数％で、負荷によらずほぼ一定

巻線抵抗があると、熱が出て電圧も少し下がる

鉄心から外れ、片方の巻線だけを貫くのが漏れ磁束

ホースの継ぎ目の水漏れのように、勢いが落ちる

重い負荷をつなぐと、電圧降下で二次電圧が少し下がる

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続いて、励磁電流と漏れリアクタンスについて紹介します。

理想変圧器は分かりやすい一方で、実際の変圧器とは少し違います。現実の変圧器には、理想からずれる点がいくつかあります。1つずつ見ていきましょう。

1. 励磁電流

二次側に何もつながず、一次側だけに電圧をかけたとします。理想変圧器なら、電流は流れません。ところが実際には、わずかな電流が流れます。この電流を 励磁電流 と呼びます。

励磁電流は、2つの成分に分けて考えます。

【励磁電流の2つの成分】

• 磁化電流： 鉄心に磁束をつくるための電流。電圧より 90° 遅れる
• 鉄損電流： 鉄心で失われる電力（鉄損）を補うための電流。電圧と同じ位相

たとえるなら、エンジンのアイドリングです。車が止まっていても、エンジンを回し続けるためにガソリンを少し使います。変圧器も、負荷がなくても鉄心に磁束を保つために、少しの電流を流し続けているのです。

励磁電流は、定格の電流に比べると数％ほどの小さな値です。また、負荷が変わってもほぼ一定です。電源の電圧が決まれば、必要な磁束の大きさも決まるからです。鉄損の中身は、次の記事で詳しく学びます。

2. 巻線抵抗と漏れリアクタンス

巻線は銅線でできているので、小さな抵抗があります。これを 巻線抵抗 と呼び、電流が流れると熱が出て、電圧も少し下がります。

もう1つが、漏れる磁束です。一次巻線がつくる磁束のほとんどは鉄心を通って二次巻線を貫きますが、一部は鉄心から外れ、片方の巻線だけを貫きます。この磁束を 漏れ磁束 と呼びます。

漏れ磁束は、二次側に電圧を生む役に立ちません。その代わり、巻線にコイルを直列に入れたのと同じはたらきをし、交流の電流を妨げます。このはたらきを 漏れリアクタンス と呼び、単位は オーム［Ω］ です。ホースの継ぎ目から水が漏れると、先まで届く水の勢いが落ちるのと似ています。

例えば、変圧器に重い負荷をつなぐと、二次電圧が少し下がります。その主な原因が、この巻線抵抗と漏れリアクタンスによる電圧降下です。

このように、実際の変圧器には、鉄心に磁束をつくる励磁電流と、巻線抵抗・漏れリアクタンスによる電圧降下があります。

以上が、励磁電流と漏れリアクタンスについてです。

等価回路と一次換算・二次換算：変圧器を回路で表す

ふるまいを回路の部品に置きかえたものが等価回路

理想変圧器の両側に直列のrとx、並列に励磁回路

二次側にa²を掛けて一次換算すると、理想変圧器が消える

励磁回路を端に移した簡易等価回路で、直列をまとめる

二次換算では、一次側の値をa²で割る

センチとメートルの違いのように、答えは同じ

一次換算で抵抗1.2Ω・リアクタンス2.4Ω、二次換算0.003Ω

一次換算はa²を掛け、二次換算はa²で割る

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最後に、等価回路と一次換算・二次換算について紹介します。

ここまでの不完全さをすべて、抵抗やリアクタンスといった回路の部品で表すと、変圧器の計算がふつうの交流回路の計算になります。このように、機械のふるまいを同じ動きをする回路に置きかえたものを 等価回路 と呼びます。

1. 等価回路の形

変圧器の等価回路は、次のように組み立てます。

【変圧器の等価回路の部品】

• 理想変圧器： 巻数比 $a$ で電圧と電流を変える部分
• 一次側の直列部品： 一次の巻線抵抗 $r_1$ と漏れリアクタンス $x_1$
• 二次側の直列部品： 二次の巻線抵抗 $r_2$ と漏れリアクタンス $x_2$
• 並列の部品（励磁回路）： 励磁電流を流すアドミタンス $\dot{Y}_0$

2. 一次換算

この回路には理想変圧器が入っているので、一次側と二次側で電圧の大きさが違い、計算が面倒です。そこで、二次側の部品を「一次側から見たらどう見えるか」に直して、1つの回路にまとめます。これを 一次換算 と呼びます。

前の節で学んだように、二次側のインピーダンスは一次側から見ると $a^2$ 倍に見えます。

$$r_2' = a^2 r_2, \quad x_2' = a^2 x_2$$

$r_2'$、$x_2'$ が一次換算した二次の巻線抵抗と漏れリアクタンス［Ω］です。電圧は $V_2' = a V_2$、電流は $I_2' = I_2 / a$ に直します。

一次換算すると、理想変圧器が消えて、抵抗とリアクタンスをつないだだけの回路になります。さらに、励磁電流は小さいので、励磁回路を電源の端に移した 簡易等価回路 がよく使われます。すると、直列の部分はまとめて 1つの抵抗 $r_1 + r_2'$ と 1つのリアクタンス $x_1 + x_2'$ で表せます。

3. 二次換算

反対に、一次側の部品を二次側から見た値に直すこともできます。これを 二次換算 と呼びます。二次側から一次側を見ると、インピーダンスは $a^2$ 分の1に見えます。

$$r_1'' = \frac{r_1}{a^2}, \quad x_1'' = \frac{x_1}{a^2}$$

身長を「センチ」でそろえるか「メートル」でそろえるかの違いのようなものです。どちらにそろえても答えは同じなので、問題で聞かれている側にそろえると計算が楽になります。

例題：一次換算と二次換算

巻数比 20 の単相変圧器があります。一次巻線抵抗 0.6Ω、一次漏れリアクタンス 1.2Ω、二次巻線抵抗 0.0015Ω、二次漏れリアクタンス 0.003Ω です。一次換算した合計の抵抗とリアクタンス、および二次換算した合計の抵抗を求めましょう。

【解き方】

1. $a^2$ を求める： $20^2 = 400$
2. 一次換算の抵抗： $0.6 + 400 \times 0.0015 = 0.6 + 0.6 = 1.2$ Ω
3. 一次換算のリアクタンス： $1.2 + 400 \times 0.003 = 1.2 + 1.2 = 2.4$ Ω
4. 二次換算の抵抗： $1.2 \div 400 = 0.003$ Ω

答えは、一次換算で抵抗 1.2Ω・リアクタンス 2.4Ω、二次換算で抵抗 0.003Ω です。二次換算の値は、一次換算した合計を $a^2$ で割れば求まります。

試験のポイント：一次換算は二次側の値に $a^2$ を掛け、二次換算は一次側の値を $a^2$ で割ります。どちらの向きに換算しているかを、最初に確かめましょう。

このように、等価回路を使うと変圧器はふつうの交流回路として計算でき、一次換算・二次換算で一方の側にそろえて扱えます。

以上が、等価回路と一次換算・二次換算についてです。

今回のまとめ

誘導起電力は E = 4.44fNΦm。交流でしか働かない

電圧は巻数に比例、電流は反比例、インピーダンスはa²倍

実際の変圧器には、励磁電流とr・xによる電圧降下がある

一次換算はa²を掛け、二次換算はa²で割る

キーワードは巻数比・理想変圧器・励磁電流など

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それでは、今回の内容を振り返ります。

今回は、変圧器の原理と等価回路について紹介しました。変圧器は、鉄心の磁束を通して、巻数の比で交流の電圧を変える機械です。現実の不完全さを抵抗とリアクタンスで表せば、ふつうの回路の計算で扱えます。

今回のポイントを振り返りましょう。

振り返り

• 誘導起電力は $E = 4.44 f N \Phi_m$。変圧器は交流でしか働かない。
• 電圧は巻数に比例し、電流は巻数に反比例する。インピーダンスは $a^2$ 倍に見える。
• 実際の変圧器には、励磁電流と、巻線抵抗・漏れリアクタンスによる電圧降下がある。
• 一次換算は $a^2$ を掛け、二次換算は $a^2$ で割る。

キーワードのおさらい

• 巻数比: 一次と二次の巻数の比 $a = N_1/N_2$。電圧の比に等しい
• 理想変圧器: 巻線の抵抗も鉄心の損失も漏れ磁束もない、損失のない変圧器
• 励磁電流: 無負荷でも流れる、鉄心に磁束をつくり鉄損を補う小さな電流
• 漏れリアクタンス: 片方の巻線だけを貫く漏れ磁束による、巻線に直列のリアクタンス
• 等価回路: 変圧器のふるまいを、抵抗やリアクタンスなどの回路の部品で表したもの
• 一次換算: 二次側の値を一次側から見た値に直すこと。インピーダンスは $a^2$ を掛ける
• 二次換算: 一次側の値を二次側から見た値に直すこと。インピーダンスは $a^2$ で割る

以上が、今回のまとめです。

さて、実際の変圧器では、巻線抵抗や鉄心で少しずつ電力が失われていることが分かりました。では、その損失はどれくらいで、変圧器の効率はどうやって求めるのでしょうか？

次回は、鉄損・銅損と効率、電圧変動率を扱う「変圧器の損失と効率」について紹介します。

それでは、次の記事へ進んでいきましょう。