電験三種 学習ノート

はじめに

エレベーターのモーターは、どれくらいの大きさが要る？

前回で、モーターの速さを変える道具はそろった

小さすぎれば動かせず、大きすぎれば高価で効率も悪い

重さと速さ、水の量と高さ、風の量と圧力で決まる

負荷を知り、所要出力を計算して、モーターを選ぶ

負荷トルクから、慣性、巻上機、ポンプと送風機へ

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「エレベーターのモーターって、どれくらいの大きさがあれば足りるんだろう……」

前回の記事では、チョッパとインバータを学びました。通流率で直流の電圧を変え、VVVF制御で誘導電動機の速さを自由に変えるのでした。

モーターの速さを変える道具はそろいました。ところが、実際に機械を動かすときには、もう1つ大事な問いがあります。「このモーターで、本当にこの機械を動かせるのか」です。出力が小さすぎれば、エレベーターは上がらず、ポンプは水を押し上げられません。逆に大きすぎれば、高価なうえに効率も悪くなります。

実は、モーターに必要な出力は、「何を、どれだけの速さで、どこまで動かすか」から、簡単な式で計算できます。エレベーターなら重さと速さ、ポンプなら水の量と高さ、送風機なら風の量と圧力です。

そこで登場するのが、今回の主役 電動機応用 の考え方です。負荷の性質を知り、必要な出力を計算して、モーターを選ぶための知識です。

今回の記事では、負荷トルクの種類、回転体の慣性モーメントとはずみ車効果、そして巻上機・ポンプ・送風機の所要出力の計算について解説します。

負荷トルク：負荷の性質を知る

機械が回転を止めようとするトルクが負荷トルク

ペダルの重さが負荷トルク。上り坂は重く平地は軽い

負荷トルクは、定トルク・二乗低減・定出力の3種類

巻上機は定トルク、ポンプ・送風機は二乗低減

二乗低減トルク負荷では、出力は速度の3乗に比例

速さを8割にすると、出力は0.512倍で約半分

トルクの差が加速トルク。交点で一定の速さになる

交点より速くなると減速して戻るなら、安定

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はじめに、負荷トルクについて紹介します。

モーターにつながれた機械が、回転を止めようとする向きにかけるトルクを 負荷トルク と呼びます。単位は、モーターのトルクと同じ ニュートンメートル［N·m］ です。自転車をこぐとき、上り坂では重く、平地では軽く感じます。この「ペダルの重さ」が負荷トルクにあたります。

負荷トルクが回転速度によってどう変わるかで、負荷は大きく3つに分かれます。

【負荷トルクの3つの種類】

• 定トルク負荷： 回転速度によらず負荷トルクがほぼ一定。巻上機、コンベアなど
• 二乗低減トルク負荷： 負荷トルクが回転速度の2乗に比例する。ポンプ、送風機など
• 定出力負荷： 負荷トルクが回転速度に反比例し、出力がほぼ一定。巻取機など

出力はトルクと角速度の積 $P = \omega T$ でした。定トルク負荷では、出力は回転速度に比例します。二乗低減トルク負荷では、トルクが速度の2乗、角速度が速度の1乗に比例するので、出力は速度の 3乗 に比例します。

ここがポイントです。ポンプや送風機の回転速度を 8 割に下げると、出力は $0.8^3 = 0.512$ 倍、つまり約半分で済みます。弁やダンパで流れを絞る代わりに、インバータで回転速度を下げると大きな省エネになるのは、このためです。

次に、モーターのトルク $T_M$ と負荷トルク $T_L$ の関係です。$T_M$ が $T_L$ より大きければ加速し、小さければ減速し、等しくなったところで一定の速さで回ります。この差 $T_M - T_L$ を 加速トルク と呼びます。

試験のポイント：モーターのトルクの曲線と負荷トルクの曲線の交点が運転点です。交点より速くなったときに負荷トルクのほうが大きくなる（減速して戻る）なら、その運転点は安定です。

このように、負荷トルクは機械が回転を止めようとするトルクで、回転速度による変わり方で定トルク・二乗低減トルク・定出力の負荷に分かれます。

以上が、負荷トルクについてです。

慣性モーメントとはずみ車効果：回り続けようとする性質

重い台車は、動き出しにくく、止まりにくい

同じ重さでも、軸から遠いほど慣性モーメントは大きい

腕を広げるとゆっくり、縮めると速く回る

回転のエネルギーはJω²/2。速く回るほど大きい

はずみ車効果GD²と慣性モーメントは、J=GD²/4

加速トルクが大きいほど、速く加速する

GD²=8ならJ=2。エネルギー約24.7kJ、約15.7秒

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次に、慣性モーメントとはずみ車効果について紹介します。

止まっている重い台車は、押してもなかなか動き出しません。動き出すと、今度はなかなか止まりません。回転する物も同じで、回り始めにくく、止まりにくい性質を持っています。この回転の慣性の大きさを 慣性モーメント と呼び、$J$ で表します。単位は ［kg·m²］ です。

慣性モーメントは、重さだけでなく、重さが軸からどれだけ離れているかで決まります。同じ重さなら、軸から遠いところに重さが集まっているほど大きくなります。フィギュアスケートの選手が、腕を広げるとゆっくり回り、腕を縮めると速く回るのは、この性質のためです。

回転している物は、運動のエネルギーを持っています。

$$W = \frac{1}{2} J \omega^2$$

記号の意味は、$W$ が回転のエネルギー［J］、$J$ が慣性モーメント［kg·m²］、$\omega$ が角速度［rad/s］です。言葉で言うと、「慣性モーメントが大きいほど、速く回るほど、たくさんのエネルギーをためている」です。

電動機の分野では、慣性モーメントの代わりに はずみ車効果 $GD^2$ がよく使われます。$G$ は回転体の重さ、$D$ は回転の直径にあたる量で、単位は同じ［kg·m²］です。慣性モーメントとは、次の関係があります。

$$J = \frac{GD^2}{4}$$

はずみ車（フライホイール）は、重い円板を軸につけて回転を安定させる部品です。はずみ車効果は、その「回り続けようとする力」の大きさを表す値という意味です。

また、加速トルクと慣性モーメントには、次の関係があります。

$$T_M - T_L = J \frac{d\omega}{dt}$$

言葉で言うと、「加速トルクが大きいほど、慣性モーメントが小さいほど、速く加速する」です。加速トルクが一定なら、目標の角速度 $\omega$ に達するまでの時間は $t = J\omega / (T_M - T_L)$ です。

例題：回転のエネルギーと加速時間

はずみ車効果 $GD^2 = 8$ kg·m² の回転体を、止まった状態から 1500 min⁻¹ まで加速します。このときの回転のエネルギーと、加速トルクが一定の 20N·m のときの加速時間を求めましょう。

【解き方】

1. 慣性モーメントに直す： $J = 8 \div 4 = 2$ kg·m²
2. 角速度を求める： $\omega = 2\pi \times 1500 \div 60 \fallingdotseq 157.1$ rad/s
3. エネルギー： $W = \dfrac{1}{2} \times 2 \times 157.1^2 \fallingdotseq 24700$ J
4. 加速時間： $t = 2 \times 157.1 \div 20 \fallingdotseq 15.7$ s

答えは、エネルギー約 24.7kJ、加速時間約 15.7 秒です。$GD^2$ を4で割らずにそのまま $J$ として使う間違いが多いので気をつけましょう。

このように、慣性モーメントは回転の慣性の大きさで、はずみ車効果 $GD^2$ とは $J = GD^2/4$ の関係があり、回転のエネルギーや加速時間の計算に使います。

以上が、慣性モーメントとはずみ車効果についてです。

巻上機の所要出力：重いものを持ち上げる

ロープで荷物を巻き上げる巻上機の所要出力

持ち上げる力mgと速さvの積が、1秒間の仕事

損失があるので効率で割る。0.8なら1.25倍

2tを毎分30m、効率0.7なら、所要出力は14kW

つり合いおもりがあると、持ち上げるのは差の0.5t

差0.5t・1m/s・効率0.8なら、約6.1kW

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続いて、巻上機の所要出力について紹介します。

クレーンやエレベーターのように、ロープで荷物を巻き上げる機械を 巻上機 と呼びます。巻上機を動かすのに必要な電動機の出力を 所要出力 と呼びます。

重さ $m$［kg］の荷物を持ち上げる力は、重力の $mg$［N］です。$g$ は重力加速度で、約 9.8 m/s² です。この力で、速さ $v$［m/s］で持ち上げると、1秒間にする仕事は $mgv$［W］です。ただし、歯車やロープ、滑車で損失があるので、機械の効率 $\eta$（イータ）で割ります。

$$P = \frac{m g v}{\eta}$$

記号の意味は、$P$ が所要出力［W］、$m$ が荷物の質量［kg］、$g$ が重力加速度 9.8［m/s²］、$v$ が巻上げの速さ［m/s］、$\eta$ が巻上機の効率です。言葉で言うと、「持ち上げる力 × 速さ を、効率で割る」です。

効率で割ることを忘れないようにしましょう。効率が 0.8 なら、モーターは荷物に渡す仕事の 1.25 倍を出す必要があります。

例題：クレーンの所要出力

質量 2t の荷物を、毎分 30m の速さで巻き上げるクレーンがあります。巻上機の効率を 0.7 とすると、電動機の所要出力は何kWでしょうか？

【解き方】

1. 単位をそろえる： $2\ \text{t} = 2000$ kg、$30\ \text{m/min} = 30 \div 60 = 0.5$ m/s
2. 所要出力： $P = 2000 \times 9.8 \times 0.5 \div 0.7 = 14000$ W

答えは 14kW です。速さが「毎分」で与えられることが多いので、60 で割って毎秒に直すのを忘れないようにしましょう。

エレベーターでは、かごの反対側に つり合いおもり を下げています。井戸のつるべのように、反対側の重さで助けてもらうので、モーターが持ち上げるのは「かご + 荷物 − つり合いおもり」の差の重さだけです。例えば、かご 1t と荷物 1t に対してつり合いおもりが 1.5t なら、差は 0.5t です。速さ 60m/min（1m/s）、効率 0.8 なら、所要出力は $500 \times 9.8 \times 1 \div 0.8 = 6125$ W、約 6.1kW です。

このように、巻上機の所要出力は、持ち上げる重さと速さの積を効率で割って求め、エレベーターではつり合いおもりとの差の重さで計算します。

以上が、巻上機の所要出力についてです。

ポンプと送風機の所要出力：水と空気を送る

ポンプも送風機も、二乗低減トルク負荷の代表

ポンプは、流量Qの水を高さHだけ押し上げる

全揚程は、実揚程に損失水頭を加えたもの

1.2m³/min・30m・効率0.75なら7.84kW

送風機は、風量と風圧の積を効率で割る

送風機は25kW。8割の速さなら12.8kWまで下がる

流量の単位と答えの単位を、最初に確かめる

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最後に、ポンプと送風機の所要出力について紹介します。

ポンプは水を、送風機は空気を送る機械です。どちらも二乗低減トルク負荷の代表です。1つずつ見ていきましょう。

1. ポンプ

ポンプの仕事は、水を高いところへ押し上げることです。水 1m³ の質量は 1000kg なので、流量 $Q$［m³/s］の水を高さ $H$［m］だけ上げる仕事は、1秒間に $1000 \times 9.8 \times Q \times H$［W］です。kW で表すと、1000 が消えて簡単な式になります。

$$P = \frac{9.8 Q H}{\eta}$$

記号の意味は、$P$ が所要出力［kW］、$Q$ が流量［m³/s］、$H$ が全揚程［m］、$\eta$ がポンプの効率です。全揚程 は、水を実際に上げる高さ（実揚程）に、管の中の摩擦などで失われるぶんの高さ（損失水頭）を加えたものです。実際の設計では、さらに余裕を見込む係数を掛けることもあります。

具体的に計算してみましょう。流量 1.2m³/min、全揚程 30m、効率 0.75 のポンプです。流量を毎秒に直すと $1.2 \div 60 = 0.02$ m³/s です。

$$P = \frac{9.8 \times 0.02 \times 30}{0.75} = 7.84\ \text{kW}$$

2. 送風機

送風機は、空気に圧力をかけて送り出します。所要出力は、風量と風圧の積を効率で割って求めます。

$$P = \frac{Q H}{\eta}$$

記号の意味は、$P$ が所要出力［W］、$Q$ が風量［m³/s］、$H$ が風圧［Pa］、$\eta$ が送風機の効率です。ポンプの「水の高さ」が、送風機では「空気の圧力」に置きかわったと考えれば分かりやすいです。

例題：送風機の所要出力

風量 600m³/min、風圧 1.5kPa、効率 0.6 の送風機があります。所要出力は何kWでしょうか？

【解き方】

1. 単位をそろえる： $600\ \text{m}^3/\text{min} = 10$ m³/s、$1.5\ \text{kPa} = 1500$ Pa
2. 所要出力： $P = 10 \times 1500 \div 0.6 = 25000$ W

答えは 25kW です。この送風機をインバータで 8 割の速さに落とすと、所要出力はおよそ $25 \times 0.512 = 12.8$ kW まで下がります。

試験のポイント：ポンプの式の「9.8」は kW で答えるための形です。流量の単位（m³/min か m³/s か）と答えの単位（W か kW か）を、必ず最初に確かめましょう。

このように、ポンプの所要出力は $9.8QH/\eta$［kW］、送風機は $QH/\eta$［W］で求め、どちらも回転速度の3乗に比例して出力が変わります。

以上が、ポンプと送風機の所要出力についてです。

今回のまとめ

負荷は3種類。ポンプと送風機は出力が速度の3乗に比例

回転のエネルギーはJω²/2、J=GD²/4

巻上機はmgv/η。エレベーターはおもりとの差

ポンプは9.8QH/η［kW］、送風機はQH/η［W］

キーワードは負荷トルク・慣性モーメントなど

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それでは、今回の内容を振り返ります。

今回は、電動機応用について紹介しました。モーターを選ぶには、まず負荷の性質を知り、次に「動かす量 × 速さ ÷ 効率」で所要出力を計算します。回転体の慣性は、加速の時間とためこむエネルギーを決めます。

今回のポイントを振り返りましょう。

振り返り

• 負荷は定トルク・二乗低減トルク・定出力に分かれる。ポンプと送風機は出力が速度の3乗に比例。
• 回転のエネルギーは $W = J\omega^2/2$。はずみ車効果とは $J = GD^2/4$。
• 巻上機の所要出力は $P = mgv/\eta$。エレベーターはつり合いおもりとの差で計算する。
• ポンプは $P = 9.8QH/\eta$［kW］、送風機は $P = QH/\eta$［W］。単位の換算に注意する。

キーワードのおさらい

• 負荷トルク: 機械が回転を止めようとする向きにかけるトルク
• 慣性モーメント: 回転の慣性の大きさ。単位は［kg·m²］
• はずみ車効果: 慣性モーメントを表す $GD^2$。$J = GD^2/4$
• 巻上機: ロープで荷物を巻き上げる機械。クレーンやエレベーターなど
• ポンプ: 水を送る機械。所要出力は流量と全揚程で決まる
• 送風機: 空気を送る機械。所要出力は風量と風圧で決まる
• 所要出力: 負荷を動かすために電動機に必要な出力

以上が、今回のまとめです。

さて、ここまでは電気で物を動かす話でした。電気には、もう1つ身近な使い道があります。部屋を明るく照らす照明です。明るさは、どのように数字で表し、計算するのでしょうか？

次回は、光束や照度で明るさを表す「照明」について紹介します。

それでは、次の記事へ進んでいきましょう。