電験三種 学習ノート

はじめに

誘導電動機の計算は式が多く、どこから手をつける？

20kWのポンプ。どれだけが動力で、どれだけが熱？

回転子に入った電力は、1 : s : 1−s に分かれる

等価回路から比例推移まで、順に学ぶ

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「誘導電動機の計算って、式が多くてどこから手をつければいいの……」

前回の記事では、誘導電動機が回転磁界に引きずられて回るしくみと、同期速度・滑りを学びました。回転子は同期速度より少しだけ遅れて回り、その遅れの割合が滑りでした。

例えば、工場で 20kW のポンプを回しているとします。電源から入った電力のうち、どれだけが水を押し上げる力になり、どれだけが熱として逃げているのでしょうか。また、そのときモーターの軸は、どれくらいの力（トルク）で回っているのでしょうか。

実は、誘導電動機の計算の多くは、たった1つの比で解けます。回転子に入った電力は、滑り $s$ を使って「$1 : s : 1-s$」の割合で、熱と動力に分かれるのです。この比さえ覚えれば、損失も出力もトルクも、芋づる式に求まります。

そこで登場するのが、今回の主役 二次入力 と 比例推移 です。二次入力は計算の出発点、比例推移はトルクと滑りの関係を読み解く道具です。

今回の記事では、誘導電動機の等価回路、二次入力・二次銅損・機械的出力の比、トルクの求め方、そして比例推移と最大トルクについて解説します。

等価回路：回転子を変圧器のように表す

誘導電動機は、二次側が回る変圧器

回っているときは、電圧も周波数もリアクタンスもs倍

回転子は、E₂に抵抗r₂/sとx₂をつないだ回路

r₂/sを、巻線の抵抗r₂と機械的負荷の抵抗に分ける

軸の仕事を、回路の中の電熱器に見立てる

滑り0.04で約39.2A、止まっていると約196A

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はじめに、誘導電動機の等価回路について紹介します。

誘導電動機は、固定子（一次）から回転子（二次）へ、磁束を通して電力を送ります。これは変圧器とまったく同じしくみです。違うのは、二次側が回っていることだけです。そのため、誘導電動機は「二次側が回る変圧器」として、変圧器と同じような 等価回路 で表せます。

1. 回転子の電流

回転子が止まっているとき、回転子の1相に生まれる電圧を $E_2$［V］とします。回っているときは、回転磁界が回転子を追い越す速さが $s$ 倍になるので、電圧も周波数も $s$ 倍になります。漏れリアクタンスも周波数に比例するので $s x_2$ になります。

すると、回転子の電流は次のようになります。

$$I_2 = \frac{s E_2}{\sqrt{r_2^2 + (s x_2)^2}} = \frac{E_2}{\sqrt{\left(\dfrac{r_2}{s}\right)^2 + x_2^2}}$$

記号の意味は、$I_2$ が二次電流［A］、$r_2$ が二次の巻線抵抗［Ω］、$x_2$ が止まっているときの二次の漏れリアクタンス［Ω］です。右の形は、分母と分子を $s$ で割っただけです。

2. 負荷を表す抵抗

右の形を見ると、回転子は「電圧 $E_2$ に、抵抗 $r_2/s$ とリアクタンス $x_2$ をつないだ回路」と同じだと分かります。さらに、$r_2/s$ を2つに分けます。

$$\frac{r_2}{s} = r_2 + \frac{1 - s}{s} r_2$$

$r_2$ は巻線で熱になる本物の抵抗です。残りの $\dfrac{1-s}{s} r_2$ は、軸から取り出す動力を抵抗に置きかえたもので、機械的負荷を表す抵抗 と呼びます。まるで、モーターの軸につながった仕事を、回路の中の電熱器に見立てるようなものです。

具体的に計算してみましょう。$E_2 = 100$ V、$r_2 = 0.1$ Ω、$x_2 = 0.5$ Ω、滑り 0.04 とします。$r_2/s = 2.5$ Ω なので、$I_2 = 100 \div \sqrt{2.5^2 + 0.5^2} \fallingdotseq 39.2$ A です。止まっているとき（$s = 1$）は $100 \div \sqrt{0.1^2 + 0.5^2} \fallingdotseq 196$ A になり、始動の電流が大きいことも、この式から分かります。

このように、誘導電動機は変圧器と同じ形の等価回路で表せ、軸の動力は $\dfrac{1-s}{s} r_2$ という抵抗に置きかえられます。

以上が、等価回路についてです。

二次入力・二次銅損・機械的出力：1 : s : 1−s の比

固定子から回転子へ送られる電力が、二次入力

二次入力は、二次銅損と機械的出力に分かれる

同じ電流が流れるので、電力の比は1 : s : 1−s

給料から滑りの割合の税金が引かれ、残りが手取り

10kW・滑り0.04なら、銅損0.4kW、出力9.6kW

等価回路でも、3846Wのうち154Wが銅損で0.04

軸の出力は、機械的出力から機械損を引いたもの

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次に、二次入力・二次銅損・機械的出力について紹介します。

固定子から回転子へ、磁束を通して送られる電力を 二次入力 と呼び、$P_2$［W］で表します。二次入力は、等価回路の $r_2/s$ で使われる電力です。そのうち、$r_2$ で熱になるのが 二次銅損 $P_{c2}$、$\dfrac{1-s}{s} r_2$ で使われるのが 機械的出力 $P_o$ です。

3つとも同じ電流 $I_2$ が流れる抵抗で使われるので、電力の比は抵抗の比になります。

$$P_2 : P_{c2} : P_o = 1 : s : (1 - s)$$

言葉で言うと、「二次入力のうち、滑りの割合ぶんが熱になり、残りが動力になる」です。

たとえるなら、回転子は「給料（二次入力）から、滑りの割合ぶんの税金（二次銅損）が引かれ、残りが手取り（機械的出力）になる」しくみです。税率が滑りなので、滑りが小さいほど手取りが多く、効率のよい運転になります。

具体的に計算してみましょう。二次入力 10kW、滑り 0.04 なら、次のとおりです。

【計算の流れ】

1. 二次銅損： $0.04 \times 10 = 0.4$ kW（400W）
2. 機械的出力： $(1 - 0.04) \times 10 = 9.6$ kW

前の節の数値でも確かめられます。1相あたり $I_2^2 \times r_2/s = 39.2^2 \times 2.5 \fallingdotseq 3846$ W が二次入力、$I_2^2 r_2 \fallingdotseq 154$ W が二次銅損で、比はちょうど 0.04 です。

補足（ここは読み飛ばしてOK）： 実際に軸から取り出せる出力は、機械的出力から、軸受けの摩擦や風の抵抗による機械損を引いたものです。試験では、機械損を無視するという条件がつくことがよくあります。

試験のポイント：二次銅損 = 滑り × 二次入力、機械的出力 = $(1-s)$ × 二次入力です。分かっている量から、比を使ってほかの量を求めます。

このように、二次入力は二次銅損と機械的出力に $s : (1-s)$ の割合で分かれます。

以上が、二次入力・二次銅損・機械的出力についてです。

トルク：二次入力を同期角速度で割る

出力は、角速度とトルクの積 P = ωT

(1−s)が消えて、トルクは T = P₂/ωs

トルクは二次入力に比例する。同期ワットとも呼ぶ

トルクは電圧の2乗に比例。0.9倍なら0.81倍

銅損0.8kW、出力19.2kW、トルクは約127N·m

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続いて、トルクについて紹介します。

直流電動機の記事で学んだように、出力 $P$ とトルク $T$ の間には $P = \omega T$ の関係があります。誘導電動機では、機械的出力と回転子の角速度 $\omega = 2\pi N/60$ を使います。

$$T = \frac{P_o}{\omega} = \frac{P_o}{2\pi N / 60}$$

ここで、$P_o = (1-s)P_2$、$N = (1-s)N_s$ を入れると、分子と分母の $(1-s)$ が消えて、次のきれいな形になります。

$$T = \frac{P_2}{\omega_s} = \frac{P_2}{2\pi N_s / 60}$$

記号の意味は、$T$ がトルク［N·m］、$P_2$ が二次入力［W］、$\omega_s$ が同期角速度［rad/s］、$N_s$ が同期速度［min⁻¹］です。言葉で言うと、「トルクは二次入力に比例する」です。そのため、二次入力のことを 同期ワット と呼び、トルクの大きさを表す量として使うこともあります。

また、滑りが同じなら、二次電流は電源電圧に比例し、二次入力は電圧の2乗に比例します。そのため、トルクは電源電圧の2乗に比例 します。電圧が1割下がって 0.9 倍になると、トルクは $0.9^2 = 0.81$ 倍に減ります。

例題：二次入力からトルクと出力を求める

4極、50Hz の三相誘導電動機が、回転速度 1440 min⁻¹ で運転しています。二次入力が 20kW のとき、二次銅損、機械的出力、トルクを求めましょう。

【解き方】

1. 同期速度： $N_s = 120 \times 50 \div 4 = 1500$ min⁻¹
2. 滑り： $s = (1500 - 1440) \div 1500 = 0.04$
3. 二次銅損： $0.04 \times 20 = 0.8$ kW
4. 機械的出力： $0.96 \times 20 = 19.2$ kW
5. トルク： $T = 20000 \div (2\pi \times 1500 \div 60) = 20000 \div 157.1 \fallingdotseq 127$ N·m

答えは、二次銅損 0.8kW、機械的出力 19.2kW、トルク 約 127N·m です。機械的出力を回転子の角速度で割っても、$19200 \div (2\pi \times 1440 \div 60) \fallingdotseq 127$ N·m と同じ答えになります。

このように、トルクは二次入力を同期角速度で割って求められ、電源電圧の2乗に比例します。

以上が、トルクについてです。

比例推移と最大トルク：二次抵抗でトルク曲線を動かす

回り出すとトルクは増え、山の頂上が最大トルク

ふだんは、滑りの小さい側で負荷と釣り合う

負荷が最大トルクを超えると、止まってしまう

二次抵抗を2倍にすると、同じトルクが2倍の滑りで

最大トルクの大きさは変わらず、位置だけずれる

外部抵抗を増やすと、最大トルクを始動時に出せる

0.05÷0.04＝1.25Ω。0.05Ωを引いて外部抵抗1.2Ω

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最後に、比例推移と最大トルクについて紹介します。

1. トルクと滑りの関係

誘導電動機のトルクは、滑りによって変わります。止まっている状態（$s = 1$）から回り出すと、トルクはだんだん大きくなり、ある滑りで山の頂上に達したあと、同期速度（$s = 0$）に向かって急に小さくなります。この山の頂上のトルクを 最大トルク（停動トルク）と呼びます。

ふだんの運転は、頂上より同期速度に近い側の、滑りの小さいところで行います。この範囲では、負荷が重くなると滑りが少し増え、トルクも増えて釣り合います。ところが、負荷が最大トルクを超えると、モーターは踏ん張れずに止まってしまいます。

2. 比例推移

等価回路で、二次電流は $r_2/s$ の値で決まりました。トルクも同じく、$r_2/s$ の値だけで決まります。そのため、二次抵抗 $r_2$ を2倍にすると、同じトルクが2倍の滑りのところで出ます。トルクの山の形はそのままで、横に引き伸ばされるのです。この性質を 比例推移 と呼びます。

$$\frac{r_2}{s} = \frac{r_2 + R}{s'}$$

記号の意味は、$R$ が巻線形誘導電動機の外に追加した抵抗［Ω］、$s'$ が抵抗を追加したあとに同じトルクを出す滑りです。言葉で言うと、「二次側の抵抗と滑りが同じ割合で変われば、トルクは変わらない」です。

ここがポイントです。比例推移で山は横に動きますが、最大トルクの大きさは変わりません。最大トルクになる滑りが、二次抵抗に比例して動くだけです。坂道の山を、高さはそのままで、位置だけずらすイメージです。

この性質を使うと、巻線形誘導電動機で外部抵抗を増やし、最大トルクを始動のとき（$s = 1$）に持ってくることができます。重い負荷でも、大きな力で回り始められるのです。

例題：比例推移で始動の抵抗を求める

巻線形三相誘導電動機の二次巻線抵抗は1相あたり 0.05Ω で、全負荷のときの滑りは 4％です。始動のときに全負荷と同じトルクを出すには、1相あたり何Ωの外部抵抗を入れればよいでしょうか？

【解き方】

1. 比例推移の式を立てる： $\dfrac{0.05}{0.04} = \dfrac{0.05 + R}{1}$
2. 左辺を計算する： $0.05 \div 0.04 = 1.25$ Ω
3. 外部抵抗を求める： $R = 1.25 - 0.05 = 1.2$ Ω

答えは 1.2Ω です。始動のときの滑りは 1 であることを使います。最後に、もともとの二次抵抗 0.05Ω を引き忘れないようにしましょう。

試験のポイント：比例推移では、最大トルクの大きさは変わらず、最大トルクになる滑りが二次抵抗に比例して変わります。比例推移が使えるのは、外部抵抗をつなげる巻線形です。

このように、トルクは $r_2/s$ で決まるので、二次抵抗を変えるとトルク曲線が横に動き、最大トルクの大きさは変わりません。

以上が、比例推移と最大トルクについてです。

今回のまとめ

回転子はr₂/sの回路。(1−s)r₂/sが機械的負荷

P₂ : Pc₂ : Po ＝ 1 : s : 1−s

トルクはP₂/ωsで、電源電圧の2乗に比例する

比例推移で滑りが動き、最大トルクは変わらない

キーワードは等価回路・二次入力・比例推移など

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それでは、今回の内容を振り返ります。

今回は、誘導電動機の特性と計算について紹介しました。誘導電動機は変圧器と同じ形の等価回路で表せ、二次入力が $1 : s : 1-s$ に分かれるという比が、計算の中心になります。トルクは二次入力から求まり、二次抵抗を変えると比例推移でトルク曲線が動きます。

今回のポイントを振り返りましょう。

振り返り

• 回転子は抵抗 $r_2/s$ の回路で表せ、$\dfrac{1-s}{s}r_2$ が機械的負荷を表す。
• $P_2 : P_{c2} : P_o = 1 : s : (1-s)$。
• トルクは $T = P_2/\omega_s$ で、電源電圧の2乗に比例する。
• 比例推移では、二次抵抗に比例して滑りが動き、最大トルクの大きさは変わらない。

キーワードのおさらい

• 等価回路: 誘導電動機を、変圧器と同じ形の抵抗とリアクタンスの回路で表したもの
• 二次入力: 固定子から回転子へ送られる電力。トルクに比例し、同期ワットとも呼ぶ
• 二次銅損: 二次巻線の抵抗で熱になる電力。二次入力の $s$ 倍
• 機械的出力: 回転子が軸に出す動力。二次入力の $(1-s)$ 倍
• トルク: 軸を回す力の強さ。$T = P_2/\omega_s$［N·m］
• 比例推移: 二次抵抗を $k$ 倍にすると、同じトルクを出す滑りも $k$ 倍になる性質
• 最大トルク: トルクと滑りの曲線の山の頂上。二次抵抗を変えても大きさは変わらない

以上が、今回のまとめです。

さて、等価回路で見たとおり、止まっている誘導電動機に電圧をかけると、ふだんの何倍もの電流が流れます。この大きな始動電流は、どうやって抑えればよいのでしょうか？ また、回る速さを変えるにはどうすればよいのでしょうか？

次回は、Y-Δ始動やインバータ制御を扱う「誘導電動機の始動と速度制御」について紹介します。

それでは、次の記事へ進んでいきましょう。