水力発電の基礎

電力-1　発電・変電・送配電・電気材料

位置エネルギー
ベルヌーイの定理
総落差
有効落差
損失落差
流量
理論水力
発電機出力

はじめに

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「水が流れるだけで、どうして電気ができるの？」

山あいのダムや、川沿いの発電所を見たことがある人は多いでしょう。燃料を燃やすわけでもないのに、水を流すだけで、町じゅうの家に届くほどの電気が生まれます。

例えば、高い滝の下に立つと、落ちてくる水の勢いに圧倒されます。手を入れたら弾き飛ばされそうな力です。この「高いところにある水の力」を、うまく電気に変えているのが水力発電所です。

実は、水力発電の出力は、「水の量」と「落ちる高さ」の2つでほとんど決まります。そして、その計算はたった1本の式で済みます。

そこで登場するのが、今回の主役 理論水力 と 発電機出力 です。水がどれだけのエネルギーを持ち、そのうちどれだけが電気になるのかを、数値で表したものです。

今回の記事では、水の位置エネルギーとベルヌーイの定理、落差と流量、そして理論水力と発電機出力の計算について解説します。電験三種の電力は、発電所・変電所から送配電線路、電気材料までを学ぶ科目で、その最初が水力発電です。

位置エネルギーとベルヌーイの定理：水が持つエネルギー

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はじめに、位置エネルギーとベルヌーイの定理について紹介します。

水力発電は、水が持っているエネルギーを、水車の回転を通して電気に変えるしくみです。まずは、水がどんなエネルギーを持っているのかを押さえましょう。1つずつ見ていきましょう。

1. 位置エネルギー

高いところにある物は、落ちるときに仕事をする力をためています。これを 位置エネルギー と呼びます。単位は ジュール［J］ です。

E = mgh

記号の意味は、 $E$ が位置エネルギー［J］、 $m$ が質量［kg］、 $g$ が重力加速度で約 9.8［m/s²］、 $h$ が基準からの高さ［m］です。言葉で言うと、「重いほど、高いほど、ためているエネルギーは大きい」ということです。

坂の上に置いたボールを思い浮かべてください。高い坂の上のボールほど、転がり落ちたときに勢いがつきます。水も同じで、高い山の上にためた水ほど、大きなエネルギーを持っています。

具体的に計算してみましょう。水 1m³ の質量は 1000kg です。この水を 100m の高さに置いたときの位置エネルギーは、次のとおりです。

E = 1000 \times 9.8 \times 100 = 980000\ \text{J}

980000 J は、電力量にすると約 0.27kWh です。1m³ の水を 100m 落としても、1200W のドライヤーを十数分使う程度です。だからこそ、水力発電所では毎秒何十 m³ もの水を流して、大きな電力を生み出しています。

2. ベルヌーイの定理

水が管の中を流れるとき、水のエネルギーは「高さ」「圧力」「速さ」の3つの形の間で入れ替わります。この関係を表すのが ベルヌーイの定理 です。

h + \frac{p}{\rho g} + \frac{v^2}{2g} = \text{一定}

記号の意味は、 $h$ が高さ［m］、 $p$ が圧力［Pa］、 $\rho$ （ロー）が水の密度で 1000［kg/m³］、 $v$ が流れの速さ［m/s］です。3つの項は、どれも単位が［m］の「高さ」にそろえてあります。順に 位置水頭、圧力水頭、速度水頭 と呼びます。

言葉で言うと、「摩擦などの損失がなければ、位置水頭・圧力水頭・速度水頭の和は、流れのどこでも変わらない」ということです。

お財布にたとえると分かりやすいです。お金を3つのポケットに分けて入れ替えても、合計の金額は変わりません。水のエネルギーも、高さのポケットから圧力のポケットへ、さらに速さのポケットへと移るだけで、合計は一定です。

例えば、水面から 100m 下にある水圧管の底を考えます。弁を閉じて水を止めていれば、高さの 100m ぶんがすべて圧力に変わります。圧力は $1000 \times 9.8 \times 100 = 980000$ Pa、つまり約 0.98MPa です。

弁を開いて、底のノズルから水を空気中に噴き出させると、今度は高さの 100m ぶんがすべて速さに変わります。 $v^2 / 2g = 100$ を解くと、次のようになります。

v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 100} \fallingdotseq 44.3\ \text{m/s}

秒速 44m は、時速にすると約 160km です。高いところの水が、ものすごい勢いの水流に変わることが分かります。

試験のポイント：ベルヌーイの定理は「位置水頭 + 圧力水頭 + 速度水頭 = 一定」です。空欄補充の問題で、位置エネルギーとあわせてよく問われます。

このように、水の位置エネルギーは $mgh$ で表され、ベルヌーイの定理によって、高さ・圧力・速さの間で形を変えながら水車まで運ばれます。

以上が、位置エネルギーとベルヌーイの定理についてです。

落差と流量：発電に使える高さと水の量

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次に、落差と流量について紹介します。

水力発電で使う「高さ」を落差と呼びます。ただし、落差には言い方が3つあります。どの高さを指しているのかを、しっかり区別しましょう。

発電所では、上流の取水口から水を取り入れ、水路や 水圧管（水車まで水を落とす太い管）を通して水車に送ります。水車を回した水は、放水口から下流の川へ戻ります。

【3つの落差】

総落差：取水口の水面と放水口の水面の高さの差
損失落差：水路や水圧管で、摩擦などで失われるエネルギーを高さに直したもの
有効落差：総落差から損失落差を引いた、水車が実際に使える高さ

総落差 は、地形で決まる「もともとの高さの差」です。ところが、水が長い水路や水圧管を通る間に、管の壁とこすれたり、曲がり角で渦を巻いたりして、エネルギーの一部が失われます。この失われた分を、高さに直して表したものが 損失落差 です。

そして、総落差から損失落差を引いた残りが 有効落差 です。

H = H_0 - h_l

記号の意味は、 $H$ が有効落差［m］、 $H_0$ が総落差［m］、 $h_l$ が損失落差［m］です。

すべり台にたとえてみましょう。すべり台の高さが総落差です。ところが、おしりと台がこすれるので、下に着いたときの勢いは、高さから想像するより少し弱くなります。この「こすれて目減りした分」が損失落差で、実際の勢いに効く高さが有効落差です。

具体的に計算してみましょう。総落差が 200m、損失落差が 8m の発電所なら、有効落差は 200 − 8 = 192m です。

次に、もう1つの大事な量が流量です。流量は、1秒間に流れる水の体積で、記号は $Q$ 、単位は［m³/s］です。

理論で学んだ電流が「1秒間に通る電荷の量」だったのと同じで、流量は「1秒間に通る水の量」です。例えば、25m × 10m × 深さ 1.2m のプールの水は 300m³ です。流量 20m³/s なら、このプールが 300 ÷ 20 = 15 秒で空になります。それだけの水が、水車に流れ込んでいるのです。

試験のポイント：出力の計算に使う落差は、有効落差です。問題文に総落差と損失落差が書いてあれば、先に引き算をします。

このように、水車が使える高さは総落差から損失落差を引いた有効落差で、それに1秒間の水の量である流量を組み合わせて出力を計算します。

以上が、落差と流量についてです。

理論水力と発電機出力：出力の計算

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最後に、理論水力と発電機出力について紹介します。

落差と流量がそろえば、発電所の出力が計算できます。まずは損失がまったくない場合の出力を求め、次に水車と発電機の効率を掛けていきます。1つずつ見ていきましょう。

1. 理論水力

流量 $Q$ ［m³/s］の水が、有効落差 $H$ ［m］を落ちるとします。1秒間に流れる水の質量は $1000Q$ ［kg］なので、1秒間に放出される位置エネルギーは $1000Q \times 9.8 \times H$ ［J］です。

1秒あたりのエネルギー［J/s］は、電力の単位のワット［W］と同じです。これを kW に直すと 1000 で割るので、次の式になります。

P_0 = 9.8\, Q H\ \ [\text{kW}]

この $P_0$ を 理論水力 と呼びます。水が持つ力を、損失なしにすべて取り出せたときの出力です。

言葉で言うと、「流量 1m³/s の水が 1m 落ちると、9.8kW の力になる」ということです。9.8 は重力加速度の 9.8 から来ています。式を覚えるときは、この意味もいっしょに押さえておきましょう。

具体的に計算してみましょう。流量 10m³/s、有効落差 192m なら、理論水力は $9.8 \times 10 \times 192 = 18816$ kW です。

2. 発電機出力

実際には、水の力がすべて電気になるわけではありません。水車で水の力を回転の力に変えるときと、発電機で回転の力を電気に変えるときに、それぞれ少しずつ失われます。

それぞれの変換のうまさを、水車効率 $\eta_t$ （イータ・ティー）と 発電機効率 $\eta_g$ で表します。発電所から出てくる電気の出力、つまり 発電機出力 は次の式です。

P = 9.8\, Q H \eta_t \eta_g\ \ [\text{kW}]

水車効率と発電機効率の積 $\eta_t \eta_g$ を、総合効率 と呼びます。

伝言ゲームにたとえると、水 → 水車 → 発電機と話が伝わるたびに、内容が少しずつ減っていくイメージです。最初の 100 のうち、水車で 90 になり、発電機でさらにその 96% になれば、最後に残るのは 100 × 0.9 × 0.96 = 86.4 です。効率は、足すのではなく掛け算でつなぎます。