電験三種 学習ノート

はじめに

フィードバックをかければ、制御はいつでもうまくいくのか

直し方が強すぎると、熱すぎと冷たすぎを行ったり来たり

速く揺らすと、出力は小さく遅れてしか返ってこない

今回の主役は、周波数応答と安定判別

ゲインと位相から、ボード線図・ナイキスト・PID制御へ

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「フィードバックをかければ、制御はいつでもうまくいくんだろうか……」

前回の記事では、フィードバック制御のしくみと、伝達関数・ブロック線図、一次遅れ要素のステップ応答を学びました。出力を測って目標とのずれを直し続けるのが、フィードバック制御でした。

ところが、直し方が強すぎると困ったことが起きます。シャワーの温度を合わせるとき、ぬるいからと蛇口を大きくひねると熱すぎ、慌てて戻すと今度は冷たすぎる。こうして行ったり来たりが大きくなっていくと、いつまでも温度が定まりません。制御が「暴れる」状態です。

実は、こうした暴れやすさは、入力をいろいろな速さで揺らしたときの出力の様子から判断できます。ゆっくり揺らすとついてくるのに、速く揺らすと小さく遅れてしか返ってこない。この「遅れ」が、暴れる原因になるのです。

そこで登場するのが、今回の主役 周波数応答 と 安定判別 です。

今回の記事では、周波数応答のゲインと位相、それをグラフにしたボード線図、ナイキスト線図を使った安定判別、そして現場でよく使われる PID 制御について解説します。

周波数応答：ゲインと位相

正弦波を入れ続けると、同じ周波数の正弦波が出てくる

ブランコをゆっくり押すと、手の動きにぴったりついてくる

速く小刻みに動かすと、ほとんど揺れず動きも遅れる

出力と入力の振幅の比がゲイン、位相の差が位相

sをjωに置きかえたG(jω)は、大きさと角度を持つ

10倍は20dB、100倍は40dB、1倍は0dB、0.1倍は−20dB

ω＝10では分母が1＋j1で、約−3dB・−45°

ω＝100では分母が1＋j10で、約−20dB・約−84.3°

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はじめに、周波数応答について紹介します。

1. 正弦波を入れると、正弦波が出てくる

前回学んだような線形の要素に、正弦波の入力を加え続けると、しばらくして出力も同じ周波数の正弦波になります。ただし、大きさと、山の来るタイミングが変わります。入力の周波数を変えたときに、この大きさの比とタイミングのずれがどう変わるかを表したものを 周波数応答 と呼びます。

ブランコを押すところを思い浮かべてください。ゆっくり押すと、ブランコは手の動きにぴったりついてきます。ところが、手を速く小刻みに動かすと、ブランコはほとんど揺れず、動きもずれて遅れます。周波数応答は、「どの速さで揺らすと、どれだけついてくるか」を表したものです。

2. ゲインと位相

周波数応答は、伝達関数 $G(s)$ の $s$ を $j\omega$ に置きかえた $G(j\omega)$ で求めます。$\omega$ は角周波数［rad/s］です。$G(j\omega)$ は複素数なので、大きさと角度を持ちます。

出力と入力の振幅の比を ゲイン、出力と入力の位相の差を 位相 と呼びます。

$$\text{ゲイン} = \lvert G(j\omega) \rvert, \quad \text{位相} = \angle G(j\omega)$$

ゲインは、デシベル［dB］で表すことがよくあります。

$$g = 20 \log_{10} \lvert G(j\omega) \rvert$$

ゲインが 10 倍なら 20dB、100 倍なら 40dB、1 倍なら 0dB、0.1 倍なら −20dB です。

例題：一次遅れ要素の周波数応答

一次遅れ要素 $G(s) = \dfrac{1}{1 + 0.1s}$ について、$\omega = 10$ rad/s と $\omega = 100$ rad/s のときのゲイン［dB］と位相を求めましょう。

【解き方】

1. $s$ を $j\omega$ に置きかえる： $G(j\omega) = \dfrac{1}{1 + j0.1\omega}$
2. $\omega = 10$ のとき、分母は $1 + j1$。大きさは $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ なので、ゲインは $1/\sqrt{2} \fallingdotseq 0.707$、つまり $20\log_{10} 0.707 \fallingdotseq -3$ dB
3. 位相は、分母の角度 $\tan^{-1} 1 = 45°$ にマイナスを付けて $-45°$
4. $\omega = 100$ のとき、分母は $1 + j10$。大きさは $\sqrt{101} \fallingdotseq 10.05$ なので、ゲインは約 0.0995、つまり約 $-20$ dB。位相は $-\tan^{-1} 10 \fallingdotseq -84.3°$

答えは、$\omega = 10$ で約 −3dB・−45°、$\omega = 100$ で約 −20dB・約 −84.3° です。周波数が高くなるほど、出力は小さく、遅れも大きくなります。

試験のポイント：一次遅れ要素 $\dfrac{1}{1+j\omega T}$ は、$\omega T = 1$ のときにゲインが約 −3dB、位相が −45° になります。この $\omega = 1/T$ を折点角周波数と呼びます。

このように、周波数応答は正弦波の入力に対する出力の大きさの比（ゲイン）と遅れ（位相）で、$G(j\omega)$ から計算できます。

以上が、周波数応答についてです。

ボード線図：ゲインと位相を周波数で並べる

ボード線図は上がゲイン、下が位相。横軸は対数目盛り

対数目盛りなら、広い範囲の周波数を1枚に収められる

比例は一定、積分は−20dB、微分は＋20dB/デカード

一次遅れは2本の漸近線で近似。折点で約3dB下を通る

一次遅れの位相は0°から−90°へ移り、折点で−45°

T＝0.1sなら折点は10rad/s。100rad/sで約−20dB

比例の20dBを足すと上へずれ、10rad/sで約17dB

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次に、ボード線図について紹介します。

1. ボード線図とは

周波数応答を、横軸に角周波数をとってグラフにしたものを ボード線図 と呼びます。上下2段になっていて、上はゲイン［dB］、下は位相［°］です。横軸の角周波数は対数目盛りで、1、10、100 のように 10 倍ごとに同じ間隔で目盛ります。

対数目盛りを使うのは、低い周波数から高い周波数まで、広い範囲を1枚に収めるためです。地図で、近所は詳しく、遠くは縮めて描くのに似ています。

2. 基本の要素のボード線図

ボード線図は、要素ごとに覚えておくと便利です。周波数が 10 倍になることを「1デカード」と呼びます。

【要素ごとのボード線図】

• 比例要素 $K$： ゲインは $20\log_{10} K$ で一定。位相は 0°
• 積分要素 $\dfrac{1}{j\omega T}$： ゲインは 1デカードあたり −20dB で下がる直線。位相はいつも −90°
• 微分要素 $j\omega T$： ゲインは 1デカードあたり +20dB で上がる直線。位相はいつも +90°
• 一次遅れ要素 $\dfrac{1}{1 + j\omega T}$： 折点角周波数 $1/T$ より低い所ではほぼ 0dB、高い所では 1デカードあたり −20dB。位相は 0° から −90° へ移り、折点で −45°

一次遅れ要素のゲインは、折点の左は 0dB の水平な線、右は −20dB/デカードの斜めの線という、2本の直線（漸近線）で近似できます。実際の曲線は、折点で漸近線より約 3dB 下を通ります。

先ほどの例題で確かめてみましょう。$T = 0.1$ s なので、折点角周波数は $1/0.1 = 10$ rad/s です。そこから1デカード上の 100 rad/s では、ゲインが約 −20dB でした。漸近線の読みとぴったり合っています。

3. 直列の要素は足し算

ボード線図のよいところは、直列につないだ要素のゲイン［dB］と位相を、それぞれ足すだけで全体が描けることです。例えば $G(s) = \dfrac{10}{1 + 0.1s}$ なら、比例要素の 20dB を、一次遅れ要素のグラフ全体に足して、上へずらすだけです。低い周波数では 20dB、10 rad/s で約 17dB、100 rad/s で約 0dB になります。

このように、ボード線図はゲインと位相を対数目盛りの周波数で並べたグラフで、要素ごとの線を足し合わせて描けます。

以上が、ボード線図についてです。

ナイキスト線図と安定判別

机の上のボールは安定、山の頂上のボールは不安定

出力がやがて落ち着けば安定、揺れが大きくなれば不安定

特性方程式の根の実部がすべて負なら安定

一巡伝達関数のωを0から∞まで変えた軌跡がナイキスト線図

位相−180°で戻ると、引き算が足し算になり揺れが大きくなる

点(−1, j0)を左に見て通れば安定、右に見れば不安定

K＝3なら軌跡は−0.5で横切り、ゲイン余裕は約6dB

交点−K/6が−1より右なら安定。答えは0＜K＜6

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続いて、ナイキスト線図と安定判別について紹介します。

1. 安定とは

制御系に目標値の変化や外乱が加わったとき、出力がやがて落ち着くなら 安定、揺れが大きくなり続けたり、どこまでも大きくなったりするなら 不安定 です。机の上のボールは、少し押してもまた止まるので安定です。山の頂上に置いたボールは、少し押すと転げ落ちていくので不安定です。

前回学んだフィードバック結合 $\dfrac{G}{1+GH}$ の分母を 0 とおいた式を、特性方程式と呼びます。

$$1 + G(s)H(s) = 0$$

この式の根（解）の実部が、すべて負であれば安定です。例えば、特性方程式が $s^2 + 4s + 3 = 0$ なら、根は $-1$ と $-3$ で、どちらも負なので安定です。$s^2 - s - 2 = 0$ なら、根に $+2$ があるので不安定です。

2. ナイキスト線図

一巡伝達関数 $G(j\omega)H(j\omega)$ の $\omega$ を 0 から ∞ まで変えて、複素平面の上に描いた点の軌跡を ナイキスト線図（ベクトル軌跡）と呼びます。ボード線図が大きさと角度を別々のグラフにしたのに対して、ナイキスト線図は1本の曲線にまとめたものです。

3. ナイキストの安定判別

フィードバック制御が暴れるのは、一巡してきた信号が、ちょうど逆向き（位相 −180°）で、元の大きさ以上になって戻ってくるときです。引き算で戻すはずの信号が、逆向きで戻ると足し算になり、揺れがどんどん大きくなります。シャワーの温度合わせで、直すたびに行き過ぎが大きくなるのと同じです。

この「位相が −180° で大きさ 1」の点が、複素平面の $(-1, j0)$ です。そこで、一巡伝達関数そのものが安定な場合は、次のように 安定判別 できます。

【ナイキストの安定判別（簡単な形）】

• $\omega$ を 0 から ∞ に増やしたとき、ナイキスト線図が点 $(-1, j0)$ を左に見て通れば安定
• 点 $(-1, j0)$ を右に見て通れば不安定
• 点 $(-1, j0)$ の上を通れば安定限界（一定の振幅で振動し続ける）

軌跡が実軸と交わる点が $-1$ よりどれだけ 0 に近いかを、ゲイン余裕と呼びます。安定の「ゆとり」を表す値です。

例題：安定になるゲインの範囲

一巡伝達関数が $G(s)H(s) = \dfrac{K}{s(s+1)(s+2)}$ のフィードバック制御系があります。この系が安定になる $K$ の範囲を求めましょう。ただし、$K > 0$ とします。

【解き方】

1. $s = j\omega$ を入れて分母を展開する： $j\omega(j\omega + 1)(j\omega + 2) = -3\omega^2 + j(2\omega - \omega^3)$
2. 軌跡が実軸を横切るのは、分母の虚部が 0 のとき： $2\omega - \omega^3 = 0$ より $\omega^2 = 2$
3. そのときの分母は $-3 \times 2 = -6$ なので、一巡伝達関数は $-\dfrac{K}{6}$
4. この点が $-1$ より右（0 に近い側）にあれば安定： $\dfrac{K}{6} < 1$ より $K < 6$

答えは $0 < K < 6$ です。例えば $K = 3$ なら、軌跡は $-0.5$ で実軸を横切り、まだ2倍のゆとりがあります。ゲイン余裕で言うと $20\log_{10} 2 \fallingdotseq 6$ dB です。

試験のポイント：ナイキストの安定判別では、点 $(-1, j0)$ との位置関係を見ます。ゲインを大きくすると軌跡全体が外へ広がり、この点を越えると不安定になります。

このように、安定判別では特性方程式の根や、ナイキスト線図と点 $(-1, j0)$ の位置関係を調べ、制御系が暴れないかを確かめます。

以上が、ナイキスト線図と安定判別についてです。

PID制御：比例・積分・微分の組み合わせ

工場やプラントの制御で、いちばん使われるのがPID制御

今のずれ・たまったずれ・ずれの速さで操作量を決める

比例動作だけでは、目標との間に定常偏差が残る

積分動作は定常偏差をなくすが、効きすぎると行き過ぎる

近づく速さを見て早めにブレーキを踏むのが微分動作

微分動作は揺れを抑えて、応答を落ち着かせる

一巡のゲインは9。制御量は0.9、定常偏差は0.1

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最後に、PID制御について紹介します。

工場やプラントの温度・圧力・流量の制御で、いちばんよく使われているのが PID制御 です。偏差 $e$ に対して、比例（P）・積分（I）・微分（D）の3つの動作を組み合わせて操作量を決めます。

$$G_c(s) = K_P\left(1 + \frac{1}{T_I s} + T_D s\right)$$

記号の意味は、$K_P$ が比例ゲイン、$T_I$ が積分時間［s］、$T_D$ が微分時間［s］です。1つずつ見ていきましょう。

1. 比例動作（P動作）

偏差に比例した操作量を出す動作です。ずれが大きいほど強く直します。シンプルで反応が速い一方、偏差が 0 になると操作量も 0 になってしまうため、目標値との間にわずかなずれが残ります。このずれを 定常偏差（オフセット）と呼びます。

2. 積分動作（I動作）

偏差を時間でためていき、その合計に比例した操作量を出す動作です。小さなずれでも、残っている限りどんどんたまって操作量が増えるので、定常偏差をなくせます。ただし、ためた分が効きすぎると、行き過ぎて揺れやすくなります。

3. 微分動作（D動作）

偏差の変わる速さに比例した操作量を出す動作です。ずれが急に増え始めたら、まだ小さいうちに先回りして強く直します。車の運転で、前の車が近づく速さを見て早めにブレーキを踏むのと同じです。揺れを抑えて、応答を落ち着かせるはたらきがあります。

【PID制御の3つの動作】

• 比例動作： 今のずれに応じて直す。定常偏差が残る
• 積分動作： たまったずれに応じて直す。定常偏差をなくす
• 微分動作： ずれの変わる速さに応じて先回りする。揺れを抑える

例題：比例動作の定常偏差

最終的な倍率（定常ゲイン）が 2 の制御対象を、比例ゲイン $K_P = 4.5$ の比例動作だけで、$H = 1$ のフィードバック制御をします。目標値を 1 だけステップで変えたとき、最終的な制御量と定常偏差はいくらでしょうか？

【解き方】

1. 一巡のゲインを求める： $4.5 \times 2 = 9$
2. 最終的な制御量を求める： $\dfrac{9}{1 + 9} = 0.9$
3. 定常偏差を求める： $1 - 0.9 = 0.1$

答えは、制御量 0.9、定常偏差 0.1（10％）です。比例ゲインを大きくすると定常偏差は小さくなりますが、0 にはなりません。しかも、大きくしすぎると前の節で見たように不安定になります。そこで積分動作を加えて、定常偏差を 0 にするのです。

このように、PID制御は今のずれ・たまったずれ・ずれの速さの3つを組み合わせ、速く、正確に、落ち着いて目標に近づけます。

以上が、PID制御についてです。

今回のまとめ

周波数応答はG(jω)で求め、ゲインは20log|G|［dB］

一次遅れは折点で−3dB・−45°、上では−20dB/デカード

根の実部が負、点(−1, j0)を左に見て通れば安定

比例は今のずれ、積分は定常偏差をなくし、微分は揺れを抑える

キーワードは周波数応答・ゲイン・位相・ボード線図など

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それでは、今回の内容を振り返ります。

今回は、周波数応答と安定性について紹介しました。正弦波の入力に対する出力の大きさの比がゲイン、遅れが位相で、それを周波数で並べたのがボード線図です。ナイキスト線図と点 $(-1, j0)$ の位置関係で安定かどうかを判別でき、PID制御の3つの動作で、速く正確で安定な制御を作ります。

今回のポイントを振り返りましょう。

振り返り

• 周波数応答は $G(j\omega)$ で求める。ゲインは $20\log_{10}\lvert G(j\omega) \rvert$［dB］、位相は $\angle G(j\omega)$。
• 一次遅れ要素は折点 $\omega = 1/T$ で −3dB・−45°、それより上で −20dB/デカード。
• 特性方程式の根の実部がすべて負なら安定。ナイキスト線図が点 $(-1, j0)$ を左に見て通れば安定。
• PID制御：比例は今のずれ、積分は定常偏差をなくし、微分は揺れを抑える。

キーワードのおさらい

• 周波数応答: 正弦波の入力に対する出力の大きさと位相の、周波数による変わり方
• ゲイン: 出力と入力の振幅の比。dB では $20\log_{10}\lvert G(j\omega) \rvert$
• 位相: 出力と入力の位相の差。$\angle G(j\omega)$
• ボード線図: ゲインと位相を、対数目盛りの角周波数に対して描いたグラフ
• ナイキスト線図: 一巡伝達関数 $G(j\omega)H(j\omega)$ の軌跡を複素平面に描いたもの
• 安定判別: 制御系が安定かどうかを、特性方程式の根やナイキスト線図で調べること
• PID制御: 比例・積分・微分の3つの動作を組み合わせた制御

以上が、今回のまとめです。

さて、ここまでの制御は、連続して変わる量を扱ってきました。ところが、今の制御装置の中身はコンピュータで、すべてを 0 と 1 の組み合わせで処理しています。0 と 1 だけで、どうやって数を表し、判断をしているのでしょうか？

次回は、2進数と論理演算、論理回路とフリップフロップを学ぶ「論理回路と2進数」について紹介します。

それでは、次の記事へ進んでいきましょう。