自動制御の基礎

機械-19　電気機器・パワーエレクトロニクス・応用・制御

シーケンス制御
フィードバック制御
伝達関数
ブロック線図
一次遅れ要素
ステップ応答

はじめに

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「エアコンは、どうやって設定した温度ぴったりに部屋を保っているんだろう……」

前回の記事では、電気分解と電池、電気めっきと放電加工を学びました。ここまでは、電気を動力・光・熱・化学の力に変える「使い道」を見てきました。今回からは、それらの機械を思いどおりに動かす「制御」の話に入ります。

身の回りには、人が操作しなくても自動で動く機械がたくさんあります。決まった順番で洗い・すすぎ・脱水を進める洗濯機。設定した温度を保つエアコン。呼ばれた階にぴたりと止まるエレベーター。発電所でも、周波数や電圧を一定に保つために、自動で出力を調整しています。

実は、こうした自動の動きは、大きく2つの考え方に分かれます。「決められた順番どおりに進める」やり方と、「結果を見て、ずれを直し続ける」やり方です。そして後者は、どんな機械でも同じ形の式と図で表せます。

そこで登場するのが、今回の主役 フィードバック制御 と、それを表す道具の 伝達関数 と ブロック線図 です。

今回の記事では、シーケンス制御とフィードバック制御の違い、伝達関数とブロック線図の使い方、そして一次遅れ要素のステップ応答について解説します。

シーケンス制御とフィードバック制御

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はじめに、シーケンス制御とフィードバック制御について紹介します。

1. シーケンス制御

シーケンス制御 は、あらかじめ決めた順番や条件に従って、制御の各段階を順に進めていく制御です。全自動洗濯機は、「水を入れる → 洗う → 排水する → すすぐ → 脱水する」という手順を、時間や水位の条件に従って順に進めます。

料理のレシピどおりに作るイメージです。「玉ねぎを5分炒めたら、肉を入れる」のように、手順と切り替えの条件が決まっています。信号機の色の切り替えや、ベルトコンベヤの起動・停止、エレベーターの扉の開け閉めも、シーケンス制御の例です。

2. フィードバック制御

一方、フィードバック制御 は、制御した結果を測って目標と比べ、そのずれをなくすように操作を続ける制御です。

エアコンの暖房で考えてみましょう。設定温度が 22℃ で、今の室温が 18℃ だとします。エアコンは室温を測り、「4℃ 足りない」と分かると暖房を強めます。室温が 22℃ に近づけば暖房を弱めます。窓を開けて冷たい風が入っても、また室温を測って暖房を強めます。結果（室温）を入口に戻して（フィードバックして）使うので、この名前があります。

フィードバック制御の部分には、次のような名前が付いています。

【フィードバック制御の用語】

目標値：制御量をこうしたいという値。設定温度 22℃
制御量：制御したい量。室温
偏差：目標値と制御量の差。 $22 - 18 = 4$ ℃
操作量：制御対象に加える量。暖房の強さ
外乱：制御量を乱す外からの影響。開いた窓から入る冷気
制御対象：制御される物。部屋

流れで言うと、検出部が制御量を測り、偏差を調節部（制御装置）に送ります。調節部は偏差に応じて操作量を決め、操作部がそれを制御対象に加えます。この一周を、休まず繰り返します。

自転車をまっすぐこぐのも、フィードバック制御です。体が右に傾いたと感じたら、ハンドルを右に切って立て直します。目で見て、ずれを感じて、直す。この繰り返しで、風や道の凸凹という外乱があってもまっすぐ進めます。

試験のポイント：シーケンス制御は「決められた順序で進める」、フィードバック制御は「制御量を目標値と比べ、偏差をなくすように操作する」制御です。外乱があっても目標を保てるのがフィードバック制御の強みです。

このように、シーケンス制御は決めた順に手順を進め、フィードバック制御は結果を測って目標とのずれを直し続けます。

以上が、シーケンス制御とフィードバック制御についてです。

伝達関数：入力と出力の関係を1つの式に

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次に、伝達関数について紹介します。

フィードバック制御を設計するには、制御対象や制御装置が「入力に対してどう出力するか」を式で表す必要があります。そのための道具が伝達関数です。

1. 伝達関数の考え方

時間とともに変わる入力と出力の関係は、ふつう微分を含む式（微分方程式）になります。そのままでは扱いにくいので、ラプラス変換という方法で、時間の関数を $s$ という文字の関数に置きかえます。細かい部分は覚えなくて大丈夫です。ここでは、「微分は $s$ を掛けること、積分は $s$ で割ることに置きかわる」という点だけ押さえておきましょう。

すべての初期値を 0 としたとき、出力のラプラス変換 $Y(s)$ と入力のラプラス変換 $X(s)$ の比を 伝達関数 と呼びます。

G(s) = \frac{Y(s)}{X(s)}

言葉で言うと、伝達関数は「入力を何倍にして出力するか」を、 $s$ を含めて表したものです。 $s$ を含むことで、「すぐには反応しない」「ためてから出す」といった時間の性質も、掛け算の形で書けるようになります。

2. RC回路の伝達関数

具体的に求めてみましょう。抵抗 $R$ とコンデンサ $C$ を直列につなぎ、入力電圧 $v_i$ を全体にかけ、コンデンサの電圧を出力 $v_o$ とします。

$s$ の世界では、コンデンサは $\dfrac{1}{sC}$ という抵抗のように扱えます。すると、この回路は抵抗の分圧と同じ形になります。

G(s) = \frac{V_o(s)}{V_i(s)} = \frac{\dfrac{1}{sC}}{R + \dfrac{1}{sC}} = \frac{1}{1 + sCR}

前に学んだ分圧の式に、コンデンサを入れただけです。この形は、すぐあとで学ぶ一次遅れ要素の代表例です。

3. 基本的な要素

制御の部品は、いくつかの基本的な要素の組み合わせで表せます。

【基本的な要素の伝達関数】

比例要素： $K$ 。入力をそのまま $K$ 倍する。てこ、増幅器
積分要素： $\dfrac{1}{sT}$ 。入力をためていく。タンクに流れ込む水の量と水位
微分要素： $sT$ 。入力の変わる速さに反応する
一次遅れ要素： $\dfrac{K}{1 + sT}$ 。少し遅れて、ゆっくり追いつく

このように、伝達関数は入力と出力の関係を $s$ の式で表したもので、時間の遅れや蓄積も掛け算の形で扱えます。

以上が、伝達関数についてです。

ブロック線図：信号の流れを図で計算する

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続いて、ブロック線図について紹介します。

1. ブロック線図の部品

制御の全体を、伝達関数を書いた箱と矢印でつないで表したものを ブロック線図 と呼びます。駅の路線図のように、信号がどこからどこへ流れるかを一目で見られます。

【ブロック線図の部品】

ブロック：伝達関数を書いた箱。入ってきた信号に伝達関数を掛けて出す
加え合わせ点：信号を足したり引いたりする点。丸で描き、＋や−の符号を付ける
引出し点： 1つの信号を、値を変えずに2つ以上に分ける点

2. 3つの基本の結合

ブロック線図は、次の3つの決まりで1つのブロックにまとめられます。

【基本の結合】

直列結合： $G_1$ と $G_2$ を順につなぐと、 $G_1 G_2$
並列結合：同じ入力を $G_1$ と $G_2$ に入れて出力を足すと、 $G_1 + G_2$
フィードバック結合：前向きに $G$ 、帰り道に $H$ があり、出力を引き算で戻すと次の式

W(s) = \frac{G(s)}{1 + G(s) H(s)}

$W(s)$ は、目標値から制御量までの伝達関数で、閉ループ伝達関数と呼びます。 $G(s)H(s)$ は、信号が輪を一周するときの伝達関数で、一巡伝達関数と呼びます。言葉で言うと、「前向きの伝達関数 ÷（1 ＋一巡の伝達関数）」です。

なぜこうなるのでしょうか？入力を $X$ 、出力を $Y$ とすると、加え合わせ点の出力は $X - HY$ です。これに $G$ を掛けたものが出力なので、 $Y = G(X - HY)$ です。 $Y$ を左にまとめると $Y(1 + GH) = GX$ となり、 $Y/X = G/(1+GH)$ が出てきます。

例題：フィードバック結合をまとめる

前向きに $G_1 = 5$ と $G_2 = 4$ のブロックが直列にあり、出力が $H = 0.2$ のブロックを通って加え合わせ点で引き算されています。全体の伝達関数 $Y/X$ はいくつでしょうか？

【解き方】

前向きの直列をまとめる： $G = 5 \times 4 = 20$
一巡伝達関数を求める： $GH = 20 \times 0.2 = 4$
フィードバックの式に入れる： $W = \dfrac{20}{1 + 4} = 4$

答えは 4 です。前向きだけなら 20 倍ですが、フィードバックをかけると 4 倍に下がります。そのかわり、 $G$ が多少変わっても全体の倍率は変わりにくくなります。例えば $G$ が 20 から 40 へ倍になっても、全体は $40 \div (1 + 8) \fallingdotseq 4.4$ にしか増えません。これがフィードバックの安定させる力です。

試験のポイント：フィードバックが引き算（負帰還）なら分母は $1 + GH$ です。符号を取り違えて $1 - GH$ としないように注意しましょう。

このように、ブロック線図は直列・並列・フィードバックの3つの決まりで、1つの伝達関数にまとめられます。

以上が、ブロック線図についてです。

一次遅れ要素とステップ応答

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最後に、一次遅れ要素とステップ応答について紹介します。

1. ステップ応答

制御の性質を調べるとき、入力を 0 から一定の値へ急に切り替えて、出力がどう変わるかを見ます。この急な切り替えの入力をステップ入力、そのときの出力の変化を ステップ応答 と呼びます。電灯のスイッチを入れる、ヒーターの電源を入れる、といった「ぱっと切り替える」操作にあたります。

2. 一次遅れ要素

伝達関数が次の形の要素を、一次遅れ要素 と呼びます。

G(s) = \frac{K}{1 + sT}

記号の意味は、 $K$ がゲイン定数（最後に落ち着く倍率）、 $T$ が時定数［s］です。大きさ 1 のステップ入力を加えると、出力は次のように変わります。

y(t) = K\left(1 - e^{-t/T}\right)

言葉で言うと、「出力はすぐには変わらず、最初は速く、だんだんゆっくりと、最終値 $K$ に近づいていく」です。

体温計を脇にはさんだときを思い浮かべてください。表示はすぐに体温にはならず、最初はぐんぐん上がり、体温に近づくほどゆっくりになります。お風呂にお湯を入れるとき、出口からも少しずつ流れ出ていると、水位が最初は速く上がり、だんだんゆっくりになって一定の高さに落ち着くのも同じです。前の節の RC 回路も、スイッチを入れるとコンデンサの電圧が同じように上がっていきます。

3. 時定数

時定数 $T$ は、応答の速さを表す値です。 $t = T$ のとき、 $e^{-1} \fallingdotseq 0.368$ なので、出力は最終値の約 63.2％に達します。

【時定数と出力の割合】

$t = T$ ：約 63.2％
$t = 2T$ ：約 86.5％
$t = 3T$ ：約 95.0％

時定数が小さいほど、すばやく最終値に近づきます。また、出力の曲線の出だしに引いた接線は、時間 $T$ のところで最終値に届きます。グラフから時定数を読み取るときに使う性質です。

RC 回路では $T = CR$ です。例えば、 $R = 10$ kΩ、 $C = 100$ μF なら $T = 10 \times 10^3 \times 100 \times 10^{-6} = 1$ s です。5V をステップで加えると、1秒後のコンデンサの電圧は約 $5 \times 0.632 \fallingdotseq 3.16$ V です。