電験三種 学習ノート

はじめに

長い延長コードの先でストーブを使うと、コードが温かくなる

長い送電線では、電圧が少しずつ下がり、電力の一部が熱になる

送電線の電圧が高いのは、途中で失われる分を小さくするため

今回の主役は、電圧降下と送電損失

線路定数、電圧降下、降下率と変動率、損失と効率の順に学ぶ

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「長い延長コードの先で電気ストーブを使うと、なんだかコードが温かくなる……。電気の一部が、途中で消えている？」

延長コードを何本もつないで使うと、コードがほんのり温かくなることがあります。電線にもわずかな抵抗があり、電流が流れると熱が出るからです。熱になった分の電気は、もう使えません。

送電線は、延長コードとは比べものにならないほど長い電線です。発電所から街まで何十km、何百kmと電気を運ぶ間に、電圧は少しずつ下がり、電力の一部は熱になって失われます。

実は、送電線の電圧が何万ボルト、何十万ボルトと高いのは、この「途中で失われる分」を小さくするためです。電圧を高くすると、損失がどれだけ減るのかは、計算ではっきり示せます。

そこで登場するのが、今回の主役 電圧降下 と 送電損失 です。送電線の途中で、どれだけ電圧が下がり、どれだけ電力が失われるかを表します。

前回の記事では、地中送電線路の敷設方式やケーブルの充電電流、損失を学びました。今回の記事では、送電線の性質を表す線路定数と、電圧降下・電圧降下率・電圧変動率、そして送電損失と送電効率の計算について解説します。

線路定数：送電線が持つ4つの性質

送電線は、抵抗・コイル・コンデンサのような性質を持つ

R・L・C・Gの4つをまとめて線路定数と呼ぶ

線路定数は長さにほぼ比例。1kmあたりの値にこう長を掛ける

1.3mH/kmの線が20km、50Hzなら、リアクタンスは約8.17Ω

短距離はR・Xだけ、中距離はCも、長距離は4つが分布

水道管なら、ざらつき・慣性・ふくらみ・にじみ出し

電験の計算の多くは、短距離線路としてRとXだけで解く

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はじめに、線路定数について紹介します。

送電線は、ただの「電気の通り道」ではありません。電線そのものが、抵抗やコイル、コンデンサのような性質を持っています。この性質を表す4つの値をまとめて 線路定数 と呼びます。

【4つの線路定数】

• 抵抗 $R$［Ω］： 電線の材料と太さで決まる。電流が流れると熱が出る
• インダクタンス $L$［H］： 電流のまわりにできる磁界による。交流では誘導性リアクタンス $X = \omega L$ になる
• 静電容量 $C$［F］： 電線どうし、電線と大地が向かい合ってできるコンデンサ
• 漏れコンダクタンス $G$［S］： がいしの表面などをわずかに漏れる電流の通りやすさ

線路定数は、電線の長さにほぼ比例します。そのため、1kmあたりの値で表すことが多く、こう長を掛けて線路全体の値にします。

具体的に計算してみましょう。1kmあたりのインダクタンスが 1.3mH の送電線が 20km あり、周波数が 50Hz のとき、線路全体のリアクタンスは次のとおりです。

$$X = 2\pi f L = 2\pi \times 50 \times 1.3 \times 10^{-3} \times 20 \fallingdotseq 8.17\ \Omega$$

送電線の計算では、線路の長さによって、どの定数まで考えるかを変えます。

【線路の長さと考える定数】

• 短距離線路（数十km程度まで）： 抵抗 $R$ とリアクタンス $X$ だけを考える
• 中距離線路： $R$、$X$ に静電容量 $C$ を加えて考える
• 長距離線路： 4つの定数が線路全体に連続して分布していると考える

水道管にたとえると、抵抗は管の内側のざらつき、インダクタンスは水の勢いの「慣性」、静電容量は管が水圧でわずかにふくらんで水をためる性質、漏れコンダクタンスは継ぎ目からのにじみ出しです。管が短ければ、ざらつきと慣性だけ考えれば十分です。

電験三種の計算問題の多くは、短距離線路として、$R$ と $X$ だけで解きます。この記事でも、ここから先は短距離線路で考えます。

このように、線路定数は送電線の抵抗・インダクタンス・静電容量・漏れコンダクタンスの4つで、短距離線路では抵抗とリアクタンスだけを考えます。

以上が、線路定数についてです。

電圧降下：送電端と受電端の電圧の差

受電端の電圧は送電端より低い。この差が電圧降下

RIとXIを受電端の電圧の向きに写した分が、電圧の差になる

荷物が重く道が長く険しいほど、着いたときの体力は減る

電力で表すと(PR+QX)/Vr。Qを減らせば電圧降下が小さい

3Ω・4Ωの線で22kV・4000kW・力率0.8なら、約1091V

無効電力3000kvarを使い電力の形で解いても、同じ約1091V

単相2線式は2I、三相3線式は√3I。取り違えないように

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次に、電圧降下について紹介します。

送電線に電流が流れると、線路の抵抗とリアクタンスで電圧が下がります。そのため、受け取る側（受電端）の電圧は、送り出す側（送電端）の電圧より低くなります。この差を 電圧降下 と呼びます。

三相3線式の送電線の電圧降下は、次の近似式で求めます。

$$v = V_s - V_r \fallingdotseq \sqrt{3}\, I (R \cos\theta + X \sin\theta)$$

記号の意味は、$v$ が電圧降下［V］、$V_s$ が送電端の線間電圧［V］、$V_r$ が受電端の線間電圧［V］、$I$ が線電流［A］、$R$ と $X$ が1線あたりの抵抗とリアクタンス［Ω］、$\cos\theta$ が負荷の力率です。

なぜこの形になるのでしょうか？ 電流が抵抗を通ると、電流と同じ向き（同相）に $RI$ の電圧が下がります。リアクタンスを通ると、電流より 90° 進んだ向きに $XI$ の電圧が下がります。遅れ力率の負荷では、この2つを受電端の電圧の向きに写し取った分が、およそ電圧の差になります。それが $R\cos\theta + X\sin\theta$ です。最後の $\sqrt{3}$ は、1相分の電圧降下を線間電圧に直すための係数です。

言葉で言うと、「電圧降下は、電流と、力率で重み付けした抵抗・リアクタンスの積」です。

坂道を荷物を運んで歩くたとえで考えましょう。荷物が重い（電流が大きい）ほど、また道が長く険しい（$R$ と $X$ が大きい）ほど、たどり着いたときの体力（電圧）は減ります。

電力で表した形も、よく使います。三相の負荷の有効電力を $P$［W］、無効電力を $Q$［var］とすると、次のようになります。

$$v \fallingdotseq \frac{P R + Q X}{V_r}$$

この形を見ると、無効電力 $Q$ を減らせば電圧降下を小さくできることが分かります。これが、次の記事で学ぶ調相設備の考え方につながります。

例題：三相送電線の電圧降下

1線あたりの抵抗が 3Ω、リアクタンスが 4Ω の三相3線式の送電線があります。受電端の線間電圧が 22kV で、遅れ力率 0.8、4000kW の負荷に電力を送っています。電圧降下は何Vでしょうか？

【解き方】

1. 単位をそろえる： 22kV = 22,000V、4000kW = 4,000,000W
2. 線電流を求める： $I = \dfrac{4{,}000{,}000}{\sqrt{3} \times 22{,}000 \times 0.8} \fallingdotseq 131.2$ A
3. $\sin\theta$ を求める： $\sin\theta = \sqrt{1 - 0.8^2} = 0.6$
4. 電圧降下を求める： $v = \sqrt{3} \times 131.2 \times (3 \times 0.8 + 4 \times 0.6) \fallingdotseq 1091$ V

答えは約 1091V です。

電力の形でも確かめてみましょう。無効電力は $4000 \times 0.6 \div 0.8 = 3000$ kvar なので、$v = (4{,}000{,}000 \times 3 + 3{,}000{,}000 \times 4) \div 22{,}000 \fallingdotseq 1091$ V と、同じ答えになります。

試験のポイント：単相2線式では、電線が行きと帰りの2本なので、電圧降下は $2I(R\cos\theta + X\sin\theta)$ になります（$R$、$X$ は電線1本あたり）。三相の $\sqrt{3}$ と取り違えないようにします。

このように、電圧降下は送電端と受電端の電圧の差で、$\sqrt{3}\,I(R\cos\theta + X\sin\theta)$ で近似して求めます。

以上が、電圧降下についてです。

電圧降下率と電圧変動率

同じ1000Vでも、100kVと6.6kVの線路では重みが違う

電圧降下率は、電圧降下を受電端の電圧で割る。例題は約4.96%

電圧変動率は、負荷を外したときとつないだときの受電端の差

降下率は元栓と蛇口の差、変動率は蛇口を閉じたときと開いたとき

無負荷6900V、全負荷6600Vなら、電圧変動率は約4.55%

どちらも分母は、全負荷のときの受電端の電圧

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続いて、電圧降下率と電圧変動率について紹介します。

電圧降下が 1000V と聞いても、それが大きいのか小さいのかは、元の電圧によって変わります。100kV の線路の 1000V と、6.6kV の線路の 1000V では、重みがまったく違います。そこで、割合で表します。

1. 電圧降下率

電圧降下率 は、電圧降下を受電端の電圧に対する割合で表したものです。

$$\varepsilon = \frac{V_s - V_r}{V_r} \times 100\ [\%]$$

記号の意味は、$\varepsilon$ が電圧降下率［%］、$V_s$ が送電端の電圧［V］、$V_r$ が受電端の電圧［V］です。分母は送電端ではなく 受電端 の電圧です。

前の節の例題なら、$1091 \div 22000 \times 100 \fallingdotseq 4.96$% です。

2. 電圧変動率

電圧変動率 は、負荷をつないだときと外したときで、受電端の電圧がどれだけ変わるかを表したものです。送電端の電圧を一定にしたまま考えます。

$$\delta = \frac{V_{r0} - V_r}{V_r} \times 100\ [\%]$$

記号の意味は、$\delta$ が電圧変動率［%］、$V_{r0}$ が無負荷のときの受電端の電圧［V］、$V_r$ が全負荷のときの受電端の電圧［V］です。

2つの違いを、水道にたとえてみましょう。電圧降下率は「蛇口を開いているとき、元栓と蛇口でどれだけ水圧が違うか」です。電圧変動率は「同じ蛇口で、閉じているときと開いているときで、どれだけ水圧が変わるか」です。電圧変動率が小さいほど、負荷が変わっても電圧が安定していることになります。

例題：電圧変動率を求める

ある送電線で、無負荷のときの受電端の電圧が 6900V、全負荷のときの受電端の電圧が 6600V でした。電圧変動率は何%でしょうか？

【解き方】

1. 電圧の差を求める： 6900 − 6600 = 300V
2. 全負荷のときの電圧で割る： $300 \div 6600 \fallingdotseq 0.0455$
3. パーセントに直す： 約 4.55%

答えは約 4.55% です。

試験のポイント：電圧降下率も電圧変動率も、分母は全負荷のときの受電端の電圧です。送電端や無負荷の電圧で割ってしまう誤りが多いので注意します。

このように、電圧降下率は送電端と受電端の電圧の差を、電圧変動率は無負荷と全負荷の受電端の電圧の差を、受電端の電圧に対する割合で表したものです。

以上が、電圧降下率と電圧変動率についてです。

送電損失と送電効率

三相3線式では、3本それぞれでRI²の熱が出て、損失は3RI²

同じ電力なら、送電損失は電圧の2乗に反比例する

電圧を2倍にすると電流は半分になり、損失は4分の1

水圧を上げ細い流れで送るほど、こすれて失われる分が少ない

力率が悪いと、同じ有効電力でも電流が増え、損失も増える

送電効率は、送り出した電力のうち受電端に届いた割合

例題の線路では、送電損失は約155kW、送電効率は約96.3%

電圧を2倍の44kVにすると、損失は4分の1の約38.7kW

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最後に、送電損失と送電効率について紹介します。

送電線の抵抗に電流が流れると、ジュール熱が出ます。この熱として失われる電力を 送電損失 と呼びます。三相3線式では、3本の電線それぞれで $RI^2$ の損失が出るので、次のようになります。

$$P_\ell = 3 R I^2$$

記号の意味は、$P_\ell$ が送電損失［W］、$R$ が1線あたりの抵抗［Ω］、$I$ が線電流［A］です。

ここで、線電流は $I = P / (\sqrt{3} V \cos\theta)$ と表せるので、これを代入すると次の式になります。

$$P_\ell = \frac{P^2 R}{V^2 \cos^2\theta}$$

ここがポイントです。同じ電力 $P$ を送るとき、送電損失は 電圧の2乗に反比例 し、力率の2乗に反比例 します。電圧を2倍にすれば、電流が半分になり、損失は4分の1になります。送電線の電圧が高いのは、このためです。

水道のホースにたとえると、同じ量の水を送るのに、水圧を上げて細い流れで送るほうが、ホースの内側でこすれて失われるエネルギーが少なくて済む、というイメージです。

また、力率が悪いと、同じ有効電力を送るのにも大きな電流が必要になり、損失が増えます。

送った電力のうち、どれだけが受電端に届いたかを表すのが 送電効率 です。

$$\eta = \frac{P}{P + P_\ell} \times 100\ [\%]$$

記号の意味は、$\eta$ が送電効率［%］、$P$ が受電端の電力［W］、$P_\ell$ が送電損失［W］です。$P + P_\ell$ は、送電端から送り出した電力です。

例題：送電損失と送電効率

電圧降下の節の例題と同じ送電線（1線あたりの抵抗 3Ω、受電端の電圧 22kV、遅れ力率 0.8、4000kW）で、送電損失と送電効率を求めましょう。

【解き方】

1. 線電流を使う： $I \fallingdotseq 131.2$ A（前の例題で求めた値）
2. 送電損失を求める： $P_\ell = 3 \times 3 \times 131.2^2 \fallingdotseq 155{,}000$ W = 155kW
3. 送電効率を求める： $\eta = \dfrac{4000}{4000 + 155} \times 100 \fallingdotseq 96.3$%

答えは、送電損失 約 155kW、送電効率 約 96.3% です。

せっかくなので、電圧を2倍の 44kV にした場合も見てみましょう。損失は電圧の2乗に反比例するので、$155 \div 4 \fallingdotseq 38.7$ kW に減ります。

補足（ここは読み飛ばしてOK）： 電線を太くして抵抗 $R$ を下げても、損失は減ります。ただし、電線が重く高価になるので、電圧を上げるほうが効果的です。

このように、送電損失は $3RI^2$ で求まり、電圧と力率の2乗に反比例するので、高い電圧でよい力率のまま送ることが、送電効率を高める鍵になります。

以上が、送電損失と送電効率についてです。

今回のまとめ

線路定数はR・L・C・Gの4つ。短距離線路ではRとXだけ

三相の電圧降下は√3I(Rcosθ+Xsinθ)、または(PR+QX)/Vr

電圧降下率も電圧変動率も、分母は全負荷のときの受電端の電圧

送電損失は3RI²で、電圧と力率の2乗に反比例する

送電効率は、受電端の電力を、それと送電損失の和で割ったもの

キーワードは線路定数・電圧降下・電圧変動率・送電損失など

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それでは、今回の内容を振り返ります。

今回は、線路定数と、線路の電圧降下・電力損失について紹介しました。送電線は抵抗とリアクタンスを持つので、電気を送るほど電圧が下がり、電力の一部が熱として失われます。電圧を高く、力率をよく保つことが、その両方を小さくする基本です。

今回のポイントを振り返りましょう。

振り返り

• 線路定数は、抵抗・インダクタンス・静電容量・漏れコンダクタンスの4つ。短距離線路では $R$ と $X$ だけを考える。
• 三相の電圧降下は $v \fallingdotseq \sqrt{3}\,I(R\cos\theta + X\sin\theta) = (PR + QX)/V_r$。
• 電圧降下率と電圧変動率は、どちらも全負荷のときの受電端の電圧を分母にする。
• 送電損失は $3RI^2 = P^2R/(V^2\cos^2\theta)$ で、電圧と力率の2乗に反比例する。
• 送電効率は、受電端の電力を、受電端の電力と送電損失の和で割ったもの。

キーワードのおさらい

• 線路定数: 送電線の抵抗・インダクタンス・静電容量・漏れコンダクタンスの4つの値
• 電圧降下: 送電端と受電端の電圧の差
• 電圧降下率: 電圧降下を、受電端の電圧に対する割合で表したもの
• 電圧変動率: 無負荷と全負荷の受電端の電圧の差を、全負荷のときの受電端の電圧に対する割合で表したもの
• 送電損失: 送電線の抵抗で熱として失われる電力
• 送電効率: 送電端から送り出した電力のうち、受電端に届いた電力の割合

以上が、今回のまとめです。

さて、送電線では、電圧を高くすれば損失は減ります。では、1本の送電線で、どこまでたくさんの電力を送れるのでしょうか？ また、負荷が変わっても電圧を保つには、どうすればよいのでしょうか？

次回は、送電電力の限界と安定度、そして電圧を保つ調相設備について紹介します。

それでは、次の記事へ進んでいきましょう。