電験三種 学習ノート

はじめに

電子レンジを使うと、照明が少し暗くなる気がする

100Vの負荷がかたよると、電圧が下がる部屋と上がる部屋

配電線の先には、力率の違う負荷がたくさんつながる

オームの法則と、有効分・無効分に分ける考えでほぼ解ける

単相3線式、バランサ、力率と損失、V結線の順に学ぶ

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「電子レンジを使うと、部屋の照明が少し暗くなる気がする……」

そんな経験をした人もいるかもしれません。大きな電流が流れると、電線で電圧が下がり、同じ線につながった照明の明るさが変わるのです。家の中で 100V の負荷が片側にかたよると、ある部屋では電圧が下がり、別の部屋では逆に上がる、ということも起こります。

配電線の先には、照明、エアコン、工場のモーターなど、性質の違う負荷がたくさんつながっています。力率もばらばらです。こうした負荷が混ざった線路で、電圧がどれだけ下がり、電力がどれだけ失われるかを計算できなければ、適切な設備を選べません。

実は、配電線路の計算は、オームの法則と、電流を「有効分」と「無効分」に分ける考え方の2つで、ほとんど解けます。

そこで登場するのが、今回の主役 単相3線式の計算 と、負荷の力率 を考えた計算です。家庭の配電と、工場などの三相の配電の両方で使う計算の方法を学びます。

前回の記事では、配電の電気方式と、柱上変圧器などの配電設備を学びました。今回の記事では、単相3線式の電圧と中性線の電流、バランサ、力率の違う負荷の電圧降下と線路損失、そして変圧器2台で三相を送る V 結線について解説します。

単相3線式の計算：中性線の電流と負荷の電圧

中性線には、上と下の負荷の電流の差が流れる

中性線はシーソーの支点。重さの差だけ負担がかかる

両側がつり合えば、中性線の電流は0で損失もない

重い負荷の側は電圧が下がり、軽い負荷の側は上がる

105V・各線0.1Ωで50Aと30Aなら、98Vと104V

損失は中性線も入れた3本ぶんを足して380W

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はじめに、単相3線式の計算について紹介します。

前回学んだように、単相3線式は、中性線と外側の2本の線（外線）で、100V と 200V を取り出す方式です。ここでは、中性線と外線の間につながった 100V の負荷を、上側の負荷 a と下側の負荷 b と呼ぶことにします。

1. 中性線の電流

負荷 a に流れる電流を $I_a$、負荷 b に流れる電流を $I_b$ とします。負荷が抵抗だけ（力率 1）のとき、中性線 を流れる電流は、2つの電流の差になります。

$$I_n = I_a - I_b$$

言葉で言うと、「上と下の負荷の電流が打ち消し合い、残りの差だけが中性線を流れる」ということです。

シーソーにたとえると分かりやすいです。左右に同じ重さの子どもが乗れば、シーソーはつり合い、支点には余計な力がかかりません。重さが違うと、その差の分だけ支点に負担がかかります。中性線は、このシーソーの支点のようなものです。

両側の負荷がつり合っていれば、中性線の電流は 0 になり、中性線での電圧降下も損失もなくなります。だから、単相3線式では、100V の負荷を両側にできるだけ均等に分けることが大切です。

2. 負荷の電圧

電源の電圧を両側とも $E$、外線1本の抵抗を $r$、中性線の抵抗を $r_n$ とします。$I_a > I_b$ のとき、各負荷の電圧は次のようになります。

$$V_a = E - r I_a - r_n (I_a - I_b)$$ $$V_b = E - r I_b + r_n (I_a - I_b)$$

中性線の電流は、負荷 a にとっては電圧を下げる向き、負荷 b にとっては電圧を上げる向きにはたらきます。つまり、重い負荷の側は電圧が下がり、軽い負荷の側は電圧が上がります。

例題：単相3線式の負荷の電圧と損失

電源の電圧が両側とも 105V の単相3線式で、外線と中性線の抵抗はどれも 1 本あたり 0.1Ω です。負荷 a に 50A、負荷 b に 30A が流れています（力率 1）。各負荷の電圧と、線路全体の損失はいくらでしょうか？

【解き方】

1. 中性線の電流を求める： 50 − 30 = 20A
2. 負荷 a の電圧： $105 - 0.1 \times 50 - 0.1 \times 20 = 98$ V
3. 負荷 b の電圧： $105 - 0.1 \times 30 + 0.1 \times 20 = 104$ V
4. 損失を求める： $0.1 \times (50^2 + 30^2 + 20^2) = 0.1 \times 3800 = 380$ W

答えは、負荷 a が 98V、負荷 b が 104V、損失が 380W です。中性線にも電流が流れるので、損失は3本ぶんを足すところがポイントです。

このように、単相3線式では中性線に両側の電流の差が流れ、重い負荷の側の電圧が下がり、軽い負荷の側の電圧が上がります。

以上が、単相3線式の計算についてです。

中性線の断線とバランサ：かたよりの怖さと対策

中性線が切れると、2つの負荷が200Vに直列につながる

100Vで2kWの負荷は5Ω、1kWの負荷は10Ω

200Vが抵抗の比で分かれ、66.7Vと133.3Vになる

100V用の軽い負荷に133V。壊れたり燃えたりするおそれ

中性線には、ヒューズを入れないのが原則

バランサは巻数比1:1の単巻変圧器。末端につなぐ

外線の電流は両側の平均の40A。中性線は0A

損失は380Wから320Wに減り、電圧は101Vにそろう

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次に、中性線の断線とバランサについて紹介します。

単相3線式で最も怖いのは、中性線が切れることです。また、両側の負荷のかたよりを打ち消す道具として、バランサがあります。1つずつ見ていきましょう。

1. 中性線が切れると

中性線が切れると、負荷 a と負荷 b は、外線の間の 200V に直列につながった形になります。すると、200V が2つの負荷の抵抗の比で分けられます。

具体的に計算してみましょう。100V で 2kW の負荷 a と、100V で 1kW の負荷 b があるとします。抵抗は、$R = V^2 / P$ より、負荷 a が $100^2 \div 2000 = 5$ Ω、負荷 b が $100^2 \div 1000 = 10$ Ω です。

中性線が切れると、電流は $200 \div (5 + 10) \fallingdotseq 13.3$ A です。負荷 a の電圧は $13.3 \times 5 \fallingdotseq 66.7$ V、負荷 b の電圧は $13.3 \times 10 \fallingdotseq 133.3$ V になります。

容量の小さい負荷 b に、100V 用なのに 133V もの電圧がかかってしまいます。このままでは、機器が壊れたり、火災につながったりするおそれがあります。このため、単相3線式の中性線には、ヒューズを入れないのが原則です。ヒューズが切れることで中性線が切れた状態になるのを防ぐためです。

2. バランサ

バランサ は、巻数比 1:1 の単巻変圧器です。単相3線式の末端で、2本の外線の間につなぎ、巻線の真ん中を中性線につなぎます。

バランサを付けると、巻線の真ん中の電圧が、2本の外線のちょうど真ん中に保たれます。その結果、両側の負荷電流がかたよっていても、2本の外線の電流は等しくなり、中性線の電流は 0 になります。

$$I_{\text{外線}} = \frac{I_a + I_b}{2}$$

両側の差の半分 $\dfrac{I_a - I_b}{2}$ を、バランサが受け持って、重い側へ回してくれるイメージです。荷物の重さがかたよった天秤棒の真ん中を、支えの人が持ち直して、両端の人が同じ重さを持てるようにするのに似ています。

先ほどの例題（105V、各線 0.1Ω、50A と 30A）の末端にバランサを付けると、外線の電流はどちらも $(50 + 30) \div 2 = 40$ A、中性線は 0A です。損失は $0.1 \times (40^2 + 40^2) = 320$ W で、380W より小さくなります。負荷の電圧も、どちらも $105 - 0.1 \times 40 = 101$ V にそろいます。

試験のポイント：中性線が切れると、容量の小さい（抵抗の大きい）負荷に高い電圧がかかります。バランサを付けると、外線の電流は両側の平均になり、中性線の電流は 0 になります。

このように、中性線の断線は軽い負荷側に過電圧を生み、バランサは両側の電流をならして、中性線の電流と線路損失を小さくします。

以上が、中性線の断線とバランサについてです。

負荷の力率と線路損失：電流を分けて足す

力率の違う負荷の電流は向きが違い、そのまま足せない

電流を有効分Icosθと無効分Isinθに分ける

東へ何m・北へ何mと分けて足してから、まっすぐの距離

有効分110A・無効分100Aで、合計は約148.7A

電圧降下は約147V、線路損失は約33.2kW

力率0.8を1にすると、損失は0.64倍に減る

電力用コンデンサで力率を上げるのは、損失を減らすため

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続いて、負荷の力率と線路損失について紹介します。

工場の配電線には、モーターなどの遅れ力率の負荷がつながっています。負荷の力率 が違う負荷が混ざっているときは、電流をそのまま足してはいけません。電流の向き（位相）が違うからです。

1. 電流を有効分と無効分に分ける

理論で学んだように、電流 $I$ は、電圧と同じ向きの 有効分 $I\cos\theta$ と、直角の向きの 無効分 $I\sin\theta$ に分けられます。力率の違う負荷の電流を合わせるときは、有効分どうし、無効分どうしを別々に足します。

$$I = \sqrt{(\textstyle\sum I\cos\theta)^2 + (\textstyle\sum I\sin\theta)^2}$$

地図の上で、東へ何 m、北へ何 m と分けて歩いた距離を足してから、まっすぐの距離を求めるのと同じです。向きの違う矢印は、成分に分けてから足します。

2. 電圧降下と線路損失

三相3線式の電圧降下は、線路の電圧降下の記事で学んだ近似式で求めます。

$$v \fallingdotseq \sqrt{3}\,(R\, I\cos\theta + X\, I\sin\theta)$$

記号の意味は、$v$ が電圧降下［V］、$R$・$X$ が電線1線の抵抗とリアクタンス［Ω］です。力率の違う負荷が混ざっていても、$I\cos\theta$ と $I\sin\theta$ に、有効分と無効分の合計を入れれば計算できます。

電線で熱になって失われる電力を 線路損失 と呼びます。三相3線式では、3本の電線それぞれで $I^2 R$ が失われます。

$$P_l = 3 I^2 R$$

例題：力率の違う2つの負荷

三相3線式の配電線の末端に、2つの負荷がつながっています。負荷 A は電流 100A・力率 0.8（遅れ）、負荷 B は電流 50A・力率 0.6（遅れ）です。電線1線の抵抗は 0.5Ω、リアクタンスは 0.3Ω です。電圧降下と線路損失はいくらでしょうか？

【解き方】

1. 有効分を足す： $100 \times 0.8 + 50 \times 0.6 = 80 + 30 = 110$ A
2. 無効分を足す： $\sin\theta$ はそれぞれ 0.6 と 0.8 なので、$100 \times 0.6 + 50 \times 0.8 = 60 + 40 = 100$ A
3. 電圧降下： $\sqrt{3} \times (0.5 \times 110 + 0.3 \times 100) = \sqrt{3} \times 85 \fallingdotseq 147$ V
4. 線路損失： $I^2 = 110^2 + 100^2 = 22100$ なので、$3 \times 22100 \times 0.5 = 33150$ W ≒ 33.2kW

答えは、電圧降下が約 147V、線路損失が約 33.2kW です。合計の電流は $\sqrt{22100} \fallingdotseq 148.7$ A で、100 + 50 = 150A にはなりません。

3. 力率を改善すると損失が減る

同じ電力 $P$ を送るとき、三相の電流は $I = \dfrac{P}{\sqrt{3} V \cos\theta}$ です。力率が低いほど電流が増え、損失は電流の2乗で増えます。つまり、線路損失は力率の2乗に反比例 します。

例えば、力率 0.8 の負荷を力率 1 に改善すると、損失は $0.8^2 = 0.64$ 倍、つまり 36% 減ります。電力用コンデンサで力率を改善するのは、このためです。

試験のポイント：力率の違う負荷の電流は、有効分と無効分に分けて足します。同じ電力なら、線路損失は $\cos^2\theta$ に反比例します。

このように、力率の違う負荷が混ざった配電線では、電流を有効分と無効分に分けて足せば、電圧降下も線路損失も計算でき、力率を上げると損失は2乗で減ります。

以上が、負荷の力率と線路損失についてです。

V結線：変圧器2台で三相を送る

Δ結線の3台から1台を除いた形がV結線

2辺だけでも、3つの頂点の間の電圧は保たれる

V結線の容量は1台の√3倍。利用率は約0.866

3台のΔ結線と比べると、出力は約0.577倍

容量86.6kV·Aに負荷80kV·A。過負荷にならない

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最後に、V結線について紹介します。

前回学んだように、柱上変圧器はふつう単相です。三相の電気を送るには、単相変圧器を3台使って Δ（デルタ）につなぐのが基本です。ところが、2台だけでも三相を送る方法があります。それが V結線 です。

V結線は、Δ結線の3台のうち1台を取り除いた形です。3辺の三角形のうち2辺だけでも、3つの頂点の間の電圧は保たれる、というイメージです。費用を抑えたいときや、Δ結線の1台が故障したときの応急の運転に使われます。

ただし、送れる容量は 2 台ぶんにはなりません。変圧器1台の容量を $P$［kV·A］とすると、V結線で送れる三相の容量は次のとおりです。

$$P_V = \sqrt{3}\, P$$

2台の容量の合計は $2P$ なので、設備をどれだけ使えているかを表す 利用率 は次のようになります。

$$\frac{\sqrt{3}P}{2P} = \frac{\sqrt{3}}{2} \fallingdotseq 0.866$$

また、3台の Δ結線（容量 $3P$）と比べると、出力は $\dfrac{\sqrt{3}P}{3P} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \fallingdotseq 0.577$ 倍です。

例題：V結線で負荷に電気を送れるか

容量 50kV·A の単相変圧器2台を V 結線にして、三相 60kW・力率 0.75 の負荷に電気を送ります。変圧器は過負荷にならないでしょうか？

【解き方】

1. V結線の容量を求める： $\sqrt{3} \times 50 \fallingdotseq 86.6$ kV·A
2. 負荷の皮相電力を求める： $60 \div 0.75 = 80$ kV·A
3. 比べる： 80 ≦ 86.6 なので、過負荷にならない

答えは「過負荷にならない」です。容量の比較は、kW ではなく kV·A（皮相電力）どうしで行うところがポイントです。

このように、V結線は単相変圧器2台で三相を送る方法で、容量は1台の $\sqrt{3}$ 倍、利用率は約 86.6% になります。

以上が、V結線についてです。

今回のまとめ

中性線には差が流れ、重い側は下がり軽い側は上がる

断線すると軽い負荷に高い電圧。バランサで中性線は0

力率の違う負荷の電流は、有効分と無効分に分けて足す

同じ電力なら、線路損失は力率の2乗に反比例する

V結線の容量は1台の√3倍、利用率は約0.866

キーワードは中性線・バランサ・線路損失・V結線など

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それでは、今回の内容を振り返ります。

今回は、単相3線式や力率の違う負荷の、電圧降下と損失の計算を紹介しました。単相3線式では中性線に両側の電流の差が流れ、力率の違う負荷では電流を有効分と無効分に分けて足します。どちらも、電流を正しく求めれば、あとはオームの法則と $I^2R$ で計算できます。

今回のポイントを振り返りましょう。

振り返り

• 単相3線式の中性線には、両側の電流の差が流れる。重い側の電圧は下がり、軽い側は上がる。
• 中性線が切れると、軽い負荷に高い電圧がかかる。バランサを付けると中性線の電流は 0 になる。
• 力率の違う負荷の電流は、有効分と無効分に分けて足す。
• 同じ電力なら、線路損失は力率の2乗に反比例する。
• V結線の容量は1台の $\sqrt{3}$ 倍、利用率は約 0.866。

キーワードのおさらい

• 単相3線式の計算: 中性線の電流と両側の負荷の電圧・損失を求める計算
• 中性線: 単相3線式の真ん中の線。両側の電流の差が流れる
• バランサ: 巻数比 1:1 の単巻変圧器。末端につなぎ、外線の電流をそろえる
• 負荷の力率: 負荷の有効電力と皮相電力の比。電流を有効分と無効分に分けるときに使う
• 線路損失: 電線の抵抗で熱になって失われる電力。三相では $3I^2R$
• V結線: 単相変圧器2台で三相を送るつなぎ方。容量は1台の $\sqrt{3}$ 倍

以上が、今回のまとめです。

さて、ここまで電線や変圧器、遮断器など、たくさんの設備を学んできました。では、それらの設備は、どんな材料でできているのでしょうか？ 電気をよく通す材料、通さない材料、磁気を通す材料には、それぞれ選ばれる理由があります。

次回は、電気を通す・通さない・磁気を通す材料の性質と使い分けについて紹介します。

それでは、次の記事へ進んでいきましょう。